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1. [2026 济南市中区期中] 如图所示的三个三角形，相似的是 (
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①②③
A
) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ①②③答案
①
∵180°−65°−71°=44°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,65°,44°. ②
∵180°−71°−44°=65°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,65°,44°. ③
∵180°−71°−67°=42°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,67°,42°. 综上,只有①和②中的两个三角形的内角都相等,
∴①和②中的两个三角形相似.
∵180°−65°−71°=44°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,65°,44°. ②
∵180°−71°−44°=65°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,65°,44°. ③
∵180°−71°−67°=42°,
∴该三角形的三个内角分别为71°,67°,42°. 综上,只有①和②中的两个三角形的内角都相等,
∴①和②中的两个三角形相似.
解析
【分析】要判断两个三角形是否相似，可依据相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先我们需要利用三角形内角和为180°，分别计算出三个三角形的第三个内角，再对比各三角形的内角，找到内角全部对应相等的两个三角形即可。
【解析】
先计算三个三角形的第三个内角：
①号三角形：第三个角为 $180° - 65° -71°=44°$，三个内角分别为$71°、65°、44°$；
②号三角形：第三个角为 $180° - 71° -44°=65°$，三个内角分别为$71°、44°、65°$；
③号三角形：第三个角为 $180° - 71° -67°=42°$，三个内角分别为$71°、67°、42°$。
对比可知，①和②的三个内角都对应相等，符合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此①和②相似。
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】本题属于基础类题目，核心考查相似三角形的判定方法，解题时先通过三角形内角和求出未知角，再对比角的相等关系即可得出结论，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】0.8
【解析】
先计算三个三角形的第三个内角：
①号三角形：第三个角为 $180° - 65° -71°=44°$，三个内角分别为$71°、65°、44°$；
②号三角形：第三个角为 $180° - 71° -44°=65°$，三个内角分别为$71°、44°、65°$；
③号三角形：第三个角为 $180° - 71° -67°=42°$，三个内角分别为$71°、67°、42°$。
对比可知，①和②的三个内角都对应相等，符合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此①和②相似。
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】本题属于基础类题目，核心考查相似三角形的判定方法，解题时先通过三角形内角和求出未知角，再对比角的相等关系即可得出结论，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】0.8
2. 新趋势·开放题 [2024 青海中考] 如图，AC 和 BD相交于点 O，请你添加一个条件：
∠C = ∠A(答案不唯一)
，使得△AOB∽△COD.答案
∠C = ∠A(答案不唯一)
解析
【分析】
首先观察图形特征，△AOB和△COD有天然的相等角：对顶角∠AOB=∠COD。结合相似三角形的判定定理，已有一组角相等的前提下，要么补充另一组对应角相等，要么补充夹这组等角的两组边对应成比例，都可以证明两个三角形相似，我们选择最直观的补充对应角相等的思路即可。
【解析】
∵ AC、BD交于点O，
∴ ∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需再添加一组对应角相等即可。
例如添加$\boldsymbol{∠A=∠C}$：
在△AOB和△COD中，$\begin{cases}∠A=∠C \\∠AOB=∠COD\end{cases}$，
∴ △AOB∽△COD。
（注：也可添加∠B=∠D、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$、AB//CD等条件，均符合要求）
【答案】
∠C = ∠A(答案不唯一)
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.对顶角的性质
【点评】
本题为开放类基础题，答案不唯一，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合图形已有的相等条件补充对应条件即可，侧重考查对基础判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，△AOB和△COD有天然的相等角：对顶角∠AOB=∠COD。结合相似三角形的判定定理，已有一组角相等的前提下，要么补充另一组对应角相等，要么补充夹这组等角的两组边对应成比例，都可以证明两个三角形相似，我们选择最直观的补充对应角相等的思路即可。
【解析】
∵ AC、BD交于点O，
∴ ∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
根据相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，只需再添加一组对应角相等即可。
例如添加$\boldsymbol{∠A=∠C}$：
在△AOB和△COD中，$\begin{cases}∠A=∠C \\∠AOB=∠COD\end{cases}$，
∴ △AOB∽△COD。
（注：也可添加∠B=∠D、$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$、AB//CD等条件，均符合要求）
【答案】
∠C = ∠A(答案不唯一)
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.对顶角的性质
【点评】
本题为开放类基础题，答案不唯一，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，结合图形已有的相等条件补充对应条件即可，侧重考查对基础判定定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
3. [2026哈尔滨风华中学月考]如图,在$△ ABC$中,点D在AB上,$∠ ACD = ∠ ABC$,若$AC = 2AD$,$CD = 3$,则BC的长为
6
.答案
6
∵ ∠A = ∠A, ∠ACD = ∠ABC,
∴ △ACD ∽ △ABC,
∴ AC/AB = CD/BC = AD/AC.
∵ CD = 3, AC = 2AD,
∴ 3/BC = 1/2,
∴ BC = 6.
∵ ∠A = ∠A, ∠ACD = ∠ABC,
∴ △ACD ∽ △ABC,
∴ AC/AB = CD/BC = AD/AC.
∵ CD = 3, AC = 2AD,
∴ 3/BC = 1/2,
∴ BC = 6.
解析
【分析】
解题时首先观察图形和已知条件，发现△ACD和△ABC有公共角∠A，题目还给出∠ACD=∠ABC，根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似，可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式；最后结合已知AC=2AD的边的关系，代入CD的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵ ∠A是△ACD和△ABC的公共角，即∠A = ∠A，且已知∠ACD = ∠ABC，
∴ △ACD ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$。
∵ $AC = 2AD$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵ $CD=3$，代入得$\frac{3}{BC}=\frac{1}{2}$，
解得$BC=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是通过两组相等的角判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形和已知条件，发现△ACD和△ABC有公共角∠A，题目还给出∠ACD=∠ABC，根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似，可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式；最后结合已知AC=2AD的边的关系，代入CD的长度即可求出BC的长。
【解析】
∵ ∠A是△ACD和△ABC的公共角，即∠A = ∠A，且已知∠ACD = ∠ABC，
∴ △ACD ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 相似三角形对应边成比例，即$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{BC}$。
∵ $AC = 2AD$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
又
∵ $CD=3$，代入得$\frac{3}{BC}=\frac{1}{2}$，
解得$BC=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心是通过两组相等的角判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.8
4. [2026长春第二十八中学月考]如图,在菱形ABCD中,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ACB∽△ABE.
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
(1)求证:△ACB∽△ABE.
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
答案
(1)证明:
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ ∠ACD = ∠ACB(菱形的一条对角线平分菱形的两个内角).
∵ ∠ACD = ∠ABE,
∴ ∠ACB = ∠ABE.又
∵ ∠BAC = ∠EAB,
∴ △ACB∽△ABE.
(2)解:
∵ △ACB∽△ABE,
∴ AB/AE = AC/AB.
∵ AB = 6,AC = 4,
∴ 6/AE = 4/6,
∴ AE = 9.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ ∠ACD = ∠ACB(菱形的一条对角线平分菱形的两个内角).
∵ ∠ACD = ∠ABE,
∴ ∠ACB = ∠ABE.又
∵ ∠BAC = ∠EAB,
∴ △ACB∽△ABE.
(2)解:
∵ △ACB∽△ABE,
∴ AB/AE = AC/AB.
∵ AB = 6,AC = 4,
∴ 6/AE = 4/6,
∴ AE = 9.
解析
【分析】
(1) 要证明△ACB∽△ABE，优先考虑两角分别相等的相似判定定理。首先利用菱形对角线平分一组内角的性质，可得∠ACD=∠ACB，结合已知条件∠ACD=∠ABE，可推出一组对应角相等；再找到两个三角形的公共角∠BAC=∠EAB，即可满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的AB、AC的长度，求解即可得到AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC平分∠BCD，即$∠ ACD = ∠ ACB$，
又
∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$，
在$△ ACB$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}∠ ACB = ∠ ABE \\∠ BAC = ∠ EAB \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴ $△ ACB ∽ △ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ ACB ∽ △ ABE$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=6$，$AC=4$代入比例式：
$\frac{6}{AE} = \frac{4}{6}$
交叉计算得：$4AE = 6 × 6 = 36$
解得：$AE = 9$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AE=9$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合菱形性质考查相似三角形的判定与应用，解题核心是找准相等的角证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解线段长度，掌握相关基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明△ACB∽△ABE，优先考虑两角分别相等的相似判定定理。首先利用菱形对角线平分一组内角的性质，可得∠ACD=∠ACB，结合已知条件∠ACD=∠ABE，可推出一组对应角相等；再找到两个三角形的公共角∠BAC=∠EAB，即可满足相似的判定条件。
(2) 第一问已证两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的AB、AC的长度，求解即可得到AE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC平分∠BCD，即$∠ ACD = ∠ ACB$，
又
∵ $∠ ACD = ∠ ABE$，
∴ $∠ ACB = ∠ ABE$，
在$△ ACB$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}∠ ACB = ∠ ABE \\∠ BAC = ∠ EAB \quad (\mathrm{公共角})\end{cases}$
∴ $△ ACB ∽ △ ABE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得$△ ACB ∽ △ ABE$，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{AE} = \frac{AC}{AB}$
将$AB=6$，$AC=4$代入比例式：
$\frac{6}{AE} = \frac{4}{6}$
交叉计算得：$4AE = 6 × 6 = 36$
解得：$AE = 9$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AE=9$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何综合题，结合菱形性质考查相似三角形的判定与应用，解题核心是找准相等的角证明三角形相似，再利用相似的比例关系求解线段长度，掌握相关基础定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.75
5. [2026扬州宝应期末]如图,在正方形ABCD中,点G在CD上,连接AG并延长交BC的延长线于点F,连接BD与AF交于点E,连接EC.
求证:(1)$△ ADE≌△ CDE$;
(2)$AE^2 = EF· EG$.
求证:(1)$△ ADE≌△ CDE$;
(2)$AE^2 = EF· EG$.
答案
证明:(1)在正方形 ABCD 中,∠ADE = ∠CDE = 45°,AD = CD.
在△ADE 和△CDE 中,
$\begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDE(SAS).
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAF = ∠F.
∵ △ADE≌△CDE,
∴ AE = CE,∠DAF = ∠DCE,
∴ ∠GCE = ∠F.
又
∵ ∠GEC = ∠CEF,
∴ △GEC∽△CEF,
∴ $\frac{GE}{CE} = \frac{EC}{EF}$,
∴ $CE^2 = EF · EG$,
∴ $AE^2 = EF · EG$.
在△ADE 和△CDE 中,
$\begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDE(SAS).
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAF = ∠F.
∵ △ADE≌△CDE,
∴ AE = CE,∠DAF = ∠DCE,
∴ ∠GCE = ∠F.
又
∵ ∠GEC = ∠CEF,
∴ △GEC∽△CEF,
∴ $\frac{GE}{CE} = \frac{EC}{EF}$,
∴ $CE^2 = EF · EG$,
∴ $AE^2 = EF · EG$.
解析
【分析】
（1）要证明△ADE≌△CDE，首先结合正方形的性质可得：正方形对角线平分内角，因此∠ADE=∠CDE=45°，且正方形邻边相等即AD=CD，再加上公共边DE=DE，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
（2）要证明等积式$AE^2 = EF· EG$，通常先将其转化为比例式$\frac{AE}{EF}=\frac{EG}{AE}$分析。结合（1）的全等结论可得AE=CE，因此只需证明$CE^2=EF·EG$，即证$\frac{GE}{CE}=\frac{EC}{EF}$，只需证明△GEC∽△CEF即可。利用正方形对边平行的性质可得∠DAF=∠F，结合全等的角相等结论可推出∠GCE=∠F，再加上公共角∠GEC=∠CEF，即可证明两三角形相似，最后通过等量代换得到待证结论。
【解析】
证明:(1)在正方形 ABCD 中,∠ADE = ∠CDE = 45°,AD = CD.
在△ADE 和△CDE 中,
$\begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDE(SAS).
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAF = ∠F.
∵ △ADE≌△CDE,
∴ AE = CE,∠DAF = ∠DCE,
∴ ∠GCE = ∠F.
又
∵ ∠GEC = ∠CEF,
∴ △GEC∽△CEF,
∴ $\frac{GE}{CE} = \frac{EC}{EF}$,
∴ $CE^2 = EF · EG$,
∴ $AE^2 = EF · EG$.
【答案】
(1)△ADE≌△CDE得证；
(2)$AE^2 = EF· EG$得证，证明过程如上。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是充分利用正方形的边角性质，结合全等、相似的判定定理逐步推导，要熟练掌握等积式与比例式的转化、等量代换的运用，是同类几何证明的典型考法。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADE≌△CDE，首先结合正方形的性质可得：正方形对角线平分内角，因此∠ADE=∠CDE=45°，且正方形邻边相等即AD=CD，再加上公共边DE=DE，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。
（2）要证明等积式$AE^2 = EF· EG$，通常先将其转化为比例式$\frac{AE}{EF}=\frac{EG}{AE}$分析。结合（1）的全等结论可得AE=CE，因此只需证明$CE^2=EF·EG$，即证$\frac{GE}{CE}=\frac{EC}{EF}$，只需证明△GEC∽△CEF即可。利用正方形对边平行的性质可得∠DAF=∠F，结合全等的角相等结论可推出∠GCE=∠F，再加上公共角∠GEC=∠CEF，即可证明两三角形相似，最后通过等量代换得到待证结论。
【解析】
证明:(1)在正方形 ABCD 中,∠ADE = ∠CDE = 45°,AD = CD.
在△ADE 和△CDE 中,
$\begin{cases} AD = CD, \\ ∠ADE = ∠CDE, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △ADE≌△CDE(SAS).
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAF = ∠F.
∵ △ADE≌△CDE,
∴ AE = CE,∠DAF = ∠DCE,
∴ ∠GCE = ∠F.
又
∵ ∠GEC = ∠CEF,
∴ △GEC∽△CEF,
∴ $\frac{GE}{CE} = \frac{EC}{EF}$,
∴ $CE^2 = EF · EG$,
∴ $AE^2 = EF · EG$.
【答案】
(1)△ADE≌△CDE得证；
(2)$AE^2 = EF· EG$得证，证明过程如上。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是充分利用正方形的边角性质，结合全等、相似的判定定理逐步推导，要熟练掌握等积式与比例式的转化、等量代换的运用，是同类几何证明的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 新趋势·尺规作图 [2026 泉州石狮期中] 如图,在△ABC中,∠B=36°,AB=BC.
(1)尺规作图:在BC上取一点D,使得BD=AD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:△DAC∽△ABC.
(1)尺规作图:在BC上取一点D,使得BD=AD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,求证:△DAC∽△ABC.
答案
解题思路:(1)在△ABC 中,∠B = 36°,AB = BC,
∴ ∠BAC = ∠BCA = 72°. 若 BD = AD,则 ∠B = ∠BAD = 36°,
∴ AD 平分∠BAC.
(1)解:如图,点 D 即为所求.
(2)证明:
∵ AB = BC,∠B = 36°,
∴ ∠BAC = ∠C = 72°.
∵ BD = AD,
∴ ∠DAB = ∠B = 36°,
∴ ∠ADC = ∠B + ∠DAB = 36° + 36° = 72°,
∴ ∠ADC = ∠BAC.
又
∵ ∠C = ∠C,
∴ △DAC∽△ABC.
解析
【分析】
(1) 要在BC上找到点D满足BD=AD，根据等腰三角形等角对等边的性质，只需使∠BAD=∠B=36°即可。已知△ABC中AB=BC、∠B=36°，可计算得∠BAC=∠C=72°，因此作∠BAC的角平分线与BC的交点即为所求点D；也可作AB的垂直平分线，其与BC的交点同样满足BD=AD。
(2) 要证明△DAC∽△ABC，观察可得两个三角形有公共角∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理，只需再证明一组对应角相等即可。我们可以通过等腰三角形的性质计算各角的度数，推导出∠ADC=∠BAC，即可完成相似的证明。
【解析】
(1) 作图：作∠BAC的角平分线（或作AB的垂直平分线），与BC交于点D，保留作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ AB=BC，∠B=36°，
∴ ∠BAC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，
∵ BD=AD，
∴ ∠DAB=∠B=36°，
∴ ∠ADC=∠B+∠DAB=36°+36°=72°，
∴ ∠ADC=∠BAC，
又
∵ ∠C是两个三角形的公共角，
∴ △DAC∽△ABC。
【答案】
(1) 如图，点D即为所求。
(2) △DAC∽△ABC，证明成立。
【知识点】
尺规作图；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，既考查了基本作图操作能力，又考查了等腰三角形角度计算、相似三角形判定的应用，是基础的几何综合题，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要在BC上找到点D满足BD=AD，根据等腰三角形等角对等边的性质，只需使∠BAD=∠B=36°即可。已知△ABC中AB=BC、∠B=36°，可计算得∠BAC=∠C=72°，因此作∠BAC的角平分线与BC的交点即为所求点D；也可作AB的垂直平分线，其与BC的交点同样满足BD=AD。
(2) 要证明△DAC∽△ABC，观察可得两个三角形有公共角∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理，只需再证明一组对应角相等即可。我们可以通过等腰三角形的性质计算各角的度数，推导出∠ADC=∠BAC，即可完成相似的证明。
【解析】
(1) 作图：作∠BAC的角平分线（或作AB的垂直平分线），与BC交于点D，保留作图痕迹即可。
(2) 证明过程如下：
∵ AB=BC，∠B=36°，
∴ ∠BAC=∠C=(180°-36°)÷2=72°，
∵ BD=AD，
∴ ∠DAB=∠B=36°，
∴ ∠ADC=∠B+∠DAB=36°+36°=72°，
∴ ∠ADC=∠BAC，
又
∵ ∠C是两个三角形的公共角，
∴ △DAC∽△ABC。
【答案】
(1) 如图，点D即为所求。
(2) △DAC∽△ABC，证明成立。
【知识点】
尺规作图；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图与几何证明，既考查了基本作图操作能力，又考查了等腰三角形角度计算、相似三角形判定的应用，是基础的几何综合题，熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
