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1. [2025广西中考]在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=7$，$AC=3$，则$\sin B=$（
A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
B
）A.$\frac{7}{10}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{7}$
答案
1 B 根据题意可得 $\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{7}.$
解析
【分析】
要计算直角三角形中锐角B的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。接下来先确定角B的对边和斜边：已知∠C=90°，因此斜边为AB，∠B的对边是直角边AC，题目已经直接给出AC和AB的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
将$AB=7$，$AC=3$代入得：
$\sin B=\frac{3}{7}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础题，核心考查锐角正弦的定义，解题关键是准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，牢记三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算直角三角形中锐角B的正弦值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。接下来先确定角B的对边和斜边：已知∠C=90°，因此斜边为AB，∠B的对边是直角边AC，题目已经直接给出AC和AB的长度，直接代入定义计算即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义可得：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
将$AB=7$，$AC=3$代入得：
$\sin B=\frac{3}{7}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角正弦定义；直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础题，核心考查锐角正弦的定义，解题关键是准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边和斜边，牢记三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
变式[2026石家庄长安区期末]如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ C=90°, a=2, b=4$, 下列结论正确的是（
A.$\tan A = 2$
B.$\tan B = \frac{1}{2}$
C.$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
C
）A.$\tan A = 2$
B.$\tan B = \frac{1}{2}$
C.$\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\cos B = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
变式 C 在 $Rt△ABC$ 中, $a=2,b=4$, 由勾股定理可得$AB = \sqrt{2^2 +4^2}=2\sqrt{5},\therefore \tan A=\frac{a}{b}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\tan B=\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2,\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.\therefore$ 只有选项 C正确.
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数值的判断类题目，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算出直角三角形斜边AB的长度，因为正弦、余弦的计算都需要用到斜边；第二步，明确锐角三角函数的定义：正切值=角的对边/角的邻边，正弦值=角的对边/斜边，余弦值=角的邻边/斜边，分别计算四个选项对应的三角函数值；第三步，将计算结果和选项对比，排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a=2$，$AC=b=4$，
① 先由勾股定理求斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
② 分别计算各选项对应的三角函数值：
对A选项：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}≠2$，A错误；
对B选项：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2}=2≠\frac{1}{2}$，B错误；
对C选项：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，C正确；
对D选项：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和运用，解题时要注意准确区分每个锐角的对边和邻边，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中锐角三角函数值的判断类题目，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理计算出直角三角形斜边AB的长度，因为正弦、余弦的计算都需要用到斜边；第二步，明确锐角三角函数的定义：正切值=角的对边/角的邻边，正弦值=角的对边/斜边，余弦值=角的邻边/斜边，分别计算四个选项对应的三角函数值；第三步，将计算结果和选项对比，排除错误选项，找到正确答案。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=a=2$，$AC=b=4$，
① 先由勾股定理求斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
② 分别计算各选项对应的三角函数值：
对A选项：$\tan A=\frac{∠ A的对边}{∠ A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}≠2$，A错误；
对B选项：$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{2}=2≠\frac{1}{2}$，B错误；
对C选项：$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，C正确；
对D选项：$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}≠\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、锐角三角函数定义、二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对锐角三角函数定义的理解和运用，解题时要注意准确区分每个锐角的对边和邻边，避免混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.7
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB:BC = \sqrt{5}:2$，则$\tan A$的值为________.
答案
2 在 Rt△ABC 中, $∠C=90°.∵ AB: BC =\sqrt{5}: 2,∴$ 设 $AB =\sqrt{5}x(x＞0)$, 则 $BC=2x,∴ AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=x,∴ \tan A=\frac{BC}{AC}=2.$
解析
【分析】
本题是直角三角形中求锐角正切值的基础题，解题思路可按以下步骤梳理：第一步，明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；第二步，题目给出了斜边AB和∠A的对边BC的比例关系，我们可以通过设参数的方法，用同一个未知数表示两条已知边的长度；第三步，利用勾股定理求出∠A的邻边AC的长度；第四步，将对边、邻边长度代入正切公式计算，参数会自动约去，得到最终结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，
∵ $AB:BC = \sqrt{5}:2$，
∴ 设$AB = \sqrt{5}x$（$x＞0$），则$BC=2x$，
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5}x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5x^2-4x^2}=\sqrt{x^2}=x$，
根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
代入数值计算得：$\tan A=\frac{2x}{x}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
1. 正切的定义 2. 勾股定理 3. 比例的应用
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，主要考察对直角三角形中三角函数对应边关系的掌握，结合设参法和勾股定理即可求出边长比值，解题时需注意区分对应锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求锐角正切值的基础题，解题思路可按以下步骤梳理：第一步，明确正切的定义：直角三角形中一个锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；第二步，题目给出了斜边AB和∠A的对边BC的比例关系，我们可以通过设参数的方法，用同一个未知数表示两条已知边的长度；第三步，利用勾股定理求出∠A的邻边AC的长度；第四步，将对边、邻边长度代入正切公式计算，参数会自动约去，得到最终结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠C=90°$，
∵ $AB:BC = \sqrt{5}:2$，
∴ 设$AB = \sqrt{5}x$（$x＞0$），则$BC=2x$，
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5}x)^2-(2x)^2}=\sqrt{5x^2-4x^2}=\sqrt{x^2}=x$，
根据正切的定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}$，
代入数值计算得：$\tan A=\frac{2x}{x}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
1. 正切的定义 2. 勾股定理 3. 比例的应用
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，主要考察对直角三角形中三角函数对应边关系的掌握，结合设参法和勾股定理即可求出边长比值，解题时需注意区分对应锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.8
3. 新趋势·数学文化 [2026张掖山丹双桥学校期末] 如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若$\frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$,则$\sin∠ABE$的值为
$\frac{4}{5}$
.答案
3 $\frac{4}{5}$ 根据题意可得 $\sin∠ABE=\frac{AE}{AB}.∵ \frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$,设 $EF = x$(参数,不用计算具体值,最后可以消掉,体现"桥梁"作用),$∴ AH=3x.∵$ 四边形 EFGH 是正方形, $∴ EF=HE,∴ AE=AH+EF=4x.∵ △ABE$ 和 $△BCF$ 全等, $∴ BF=AE,∴ BE=BF-EF=3x$. 在 Rt△ABE 中, $AE=4x,BE=3x$,由勾股定理可得 $AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=5x,∴ \sin∠ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}.$
解析
【分析】
要求$\sin∠ABE$的值，根据锐角正弦的定义，在$Rt△ ABE$中，$\sin∠ABE=\frac{∠ABE的对边}{斜边}=\frac{AE}{AB}$，因此只需用同一参数表示出$AE$和$AB$的长度，求比值即可。已知$\frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，可设$EF=x$，则$AH=3x$，再结合正方形的性质、全等三角形的性质分别求出$AE$、$BE$的长度，最后用勾股定理求出$AB$的长度，代入正弦定义计算即可，参数最后会消去，不用求具体值。
【解析】
设$EF = x$，
$\because \frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，$\therefore AH=3x$，
$\because$ 四边形$EFGH$是正方形，$\therefore HE=EF=x$，
$\therefore AE = AH + HE = 3x + x = 4x$，
$\because △ ABE≌△ BCF$，$\therefore BF=AE=4x$，
$\therefore BE = BF - EF = 4x - x = 3x$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 + BE^2}=\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2}=5x$，
$\therefore \sin∠ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统数学文化“弦图”为载体，考查锐角三角函数值的求解，解题的关键是合理设参数，结合图形性质表示出直角三角形的各边长，最终消去参数得到比值，体现了参数法在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠ABE$的值，根据锐角正弦的定义，在$Rt△ ABE$中，$\sin∠ABE=\frac{∠ABE的对边}{斜边}=\frac{AE}{AB}$，因此只需用同一参数表示出$AE$和$AB$的长度，求比值即可。已知$\frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，可设$EF=x$，则$AH=3x$，再结合正方形的性质、全等三角形的性质分别求出$AE$、$BE$的长度，最后用勾股定理求出$AB$的长度，代入正弦定义计算即可，参数最后会消去，不用求具体值。
【解析】
设$EF = x$，
$\because \frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，$\therefore AH=3x$，
$\because$ 四边形$EFGH$是正方形，$\therefore HE=EF=x$，
$\therefore AE = AH + HE = 3x + x = 4x$，
$\because △ ABE≌△ BCF$，$\therefore BF=AE=4x$，
$\therefore BE = BF - EF = 4x - x = 3x$，
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2 + BE^2}=\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2}=5x$，
$\therefore \sin∠ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，全等三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统数学文化“弦图”为载体，考查锐角三角函数值的求解，解题的关键是合理设参数，结合图形性质表示出直角三角形的各边长，最终消去参数得到比值，体现了参数法在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
4. [2026烟台莱阳期末]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AC=3$,$BC=1$,$BD⊥ AC$于点$D$,则$\cos∠ CBD$的值为
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
。答案
4 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $∵ ∠ABD + ∠CBD = 90°, ∠ABD + ∠A = 90°,$$∴ ∠CBD = ∠A,∴ \cos∠CBD = \cos A =\frac{AB}{AC}$(等角转化). 在Rt△ABC中,$AC=3,BC=1$,由勾股定理可得 $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=2\sqrt{2},∴ \cos∠CBD=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$
解析
【分析】
要求$\cos∠CBD$的值，直接在$Rt△BCD$中计算需要先求出多条边长，步骤较繁琐。我们可以先观察角的关系：$∠CBD$和$∠A$都与$∠ABD$互余，根据同角的余角相等可推出$∠CBD=∠A$，将求$\cos∠CBD$转化为求$Rt△ABC$中$∠A$的余弦值。接下来只需要利用勾股定理求出$AB$的长度，再根据余弦的定义计算即可。
【解析】
∵ $∠ABC=90°$，
∴ $∠A + ∠ABD = 90°$，
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ADB=90°$，
∴ $∠CBD + ∠ABD = 90°$，
∴ $∠CBD = ∠A$（同角的余角相等）。
在$Rt△ABC$中，$AC=3$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴ $\cos∠CBD = \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
同角的余角相等；勾股定理；余弦的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数值的求解，利用等角转化将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中锐角的三角函数值是解题的关键，该方法在解直角三角形的相关题型中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
要求$\cos∠CBD$的值，直接在$Rt△BCD$中计算需要先求出多条边长，步骤较繁琐。我们可以先观察角的关系：$∠CBD$和$∠A$都与$∠ABD$互余，根据同角的余角相等可推出$∠CBD=∠A$，将求$\cos∠CBD$转化为求$Rt△ABC$中$∠A$的余弦值。接下来只需要利用勾股定理求出$AB$的长度，再根据余弦的定义计算即可。
【解析】
∵ $∠ABC=90°$，
∴ $∠A + ∠ABD = 90°$，
∵ $BD⊥AC$，
∴ $∠ADB=90°$，
∴ $∠CBD + ∠ABD = 90°$，
∴ $∠CBD = ∠A$（同角的余角相等）。
在$Rt△ABC$中，$AC=3$，$BC=1$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴ $\cos∠CBD = \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
同角的余角相等；勾股定理；余弦的定义
【点评】
本题考查锐角三角函数值的求解，利用等角转化将未知角的三角函数值转化为已知直角三角形中锐角的三角函数值是解题的关键，该方法在解直角三角形的相关题型中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
5. [2026上海徐汇区期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$AC = BC = 4$,将$△ ABC$折叠,使点$A$落在$BC$边上的点$D$处,$EF$为折痕.若$AE = 3$,则$\sin∠ BFD$的值为
$\frac{1}{3}$
. 答案
5 $\frac{1}{3}$ 根据题意可得 $∠CDE + ∠BDF + ∠EDF = ∠BFD +∠BDF + ∠B.∵ AC = BC,∴ ∠A = ∠B.$ 由折叠的性质可知$∠A = ∠EDF,∴ ∠EDF = ∠B,∴ ∠CDE = ∠BFD,$$∴ \sin∠BFD = \sin∠CDE =\frac{CE}{ED}.∵ AC = 4,AE = 3,∴ CE = 1.$$∵ AE = ED = 3,∴ \sin∠BFD =\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
要求$\sin∠ BFD$的值，直接分析$△ BFD$的边长条件不足，因此考虑通过角的等量代换将其转化为求其他可求角的正弦值。首先结合折叠性质可得对应边、对应角相等，再利用等腰直角三角形的性质得到$∠ A=∠ B$，进而结合三角形内角和、平角的性质推出$∠ CDE=∠ BFD$，最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中利用正弦的定义计算即可。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
由折叠的性质可知：$AE=DE=3$，$∠ EDF=∠ A$，
$\therefore ∠ EDF=∠ B$。
$\because ∠ CDE + ∠ EDF + ∠ BDF = 180°$，$∠ BFD + ∠ B + ∠ BDF = 180°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ BFD$。
$\because AC=4$，$AE=3$，$\therefore CE=AC-AE=4-3=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin∠ BFD=\sin∠ CDE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的核心是利用角的等量代换将所求三角函数的角转化到已知边长的直角三角形中，避免了计算$△ BFD$的边长，简化了解题过程，是求锐角三角函数值的常用方法之一。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠ BFD$的值，直接分析$△ BFD$的边长条件不足，因此考虑通过角的等量代换将其转化为求其他可求角的正弦值。首先结合折叠性质可得对应边、对应角相等，再利用等腰直角三角形的性质得到$∠ A=∠ B$，进而结合三角形内角和、平角的性质推出$∠ CDE=∠ BFD$，最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中利用正弦的定义计算即可。
【解析】
解：在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B$。
由折叠的性质可知：$AE=DE=3$，$∠ EDF=∠ A$，
$\therefore ∠ EDF=∠ B$。
$\because ∠ CDE + ∠ EDF + ∠ BDF = 180°$，$∠ BFD + ∠ B + ∠ BDF = 180°$，
$\therefore ∠ CDE=∠ BFD$。
$\because AC=4$，$AE=3$，$\therefore CE=AC-AE=4-3=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ C=90°$，
$\therefore \sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \sin∠ BFD=\sin∠ CDE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题解题的核心是利用角的等量代换将所求三角函数的角转化到已知边长的直角三角形中，避免了计算$△ BFD$的边长，简化了解题过程，是求锐角三角函数值的常用方法之一。
【难度系数】
0.6
6. [2026长春第153中期末]如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,以格点为顶点的△ABC的面积为6,则sin∠CAB的值为
$\frac{3}{5}$
。答案
6 $\frac{3}{5}$ 如图,过点 B 作 $BE⊥AC$ 于点 E,则 $\sin∠CAB=\frac{BE}{AB}$(构造$∠A$所在的直角三角形).
∵ 每个小正方形的边长均为1,$∴ AC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5},AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}.∵ △ABC$ 的面积为 $6,∴ \frac{1}{2}AC·BE=6.∴ BE=\frac{6\sqrt{5}}{5},∴ \sin∠CAB=\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{5}.$
解析
【分析】
要求$\sin∠CAB$的值，根据锐角正弦的定义，需将$∠ CAB$放在直角三角形中计算，因此先过点B作$BE⊥ AC$于点E，构造出$Rt△ ABE$，此时$\sin∠CAB=\frac{BE}{AB}$。接下来先利用网格和勾股定理求出$AC$、$AB$的长度，再结合已知的$△ ABC$的面积，利用三角形面积公式求出高$BE$的长度，最后将$BE$和$AB$的长度代入正弦定义式即可算出结果。
【解析】
解：如图，过点B作$BE⊥AC$于点E。
∵ 每个小正方形的边长均为1，
∴ 由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
已知$△ ABC$的面积为6，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}AC·BE=6$，
将$AC=2\sqrt{5}$代入得：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}·BE=6$，解得$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，$\sin∠CAB=\frac{BE}{AB}$，
代入$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$AB=2\sqrt{5}$得：
$\sin∠CAB=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，再结合勾股定理、面积公式求解，考查了学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求$\sin∠CAB$的值，根据锐角正弦的定义，需将$∠ CAB$放在直角三角形中计算，因此先过点B作$BE⊥ AC$于点E，构造出$Rt△ ABE$，此时$\sin∠CAB=\frac{BE}{AB}$。接下来先利用网格和勾股定理求出$AC$、$AB$的长度，再结合已知的$△ ABC$的面积，利用三角形面积公式求出高$BE$的长度，最后将$BE$和$AB$的长度代入正弦定义式即可算出结果。
【解析】
解：如图，过点B作$BE⊥AC$于点E。
∵ 每个小正方形的边长均为1，
∴ 由勾股定理得：$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
已知$△ ABC$的面积为6，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}AC·BE=6$，
将$AC=2\sqrt{5}$代入得：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}·BE=6$，解得$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
在$Rt△ ABE$中，$\sin∠CAB=\frac{BE}{AB}$，
代入$BE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，$AB=2\sqrt{5}$得：
$\sin∠CAB=\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作高构造包含所求角的直角三角形，再结合勾股定理、面积公式求解，考查了学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. [2026乐山实验中学月考]如图,点P在等边三角形ABC的内部,$PC=6$,$PA=8$,$PB=10$,将线段PC绕点C顺时针旋转$60°$得到$P'C$,连接$AP'$,求$\cos∠ PAP'$的值.
答案
7 解:如图,连接 $PP'$.
$∵$ 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 $60°$得到 $P'C$,
$∴ CP' = CP = 6,∠PCP' = 60°$,
$∴ △CPP'$为等边三角形,$∴ PP' = PC = 6$.
$∵ ∠ACB = ∠PCP' = 60°,∴ ∠PCB = ∠P'CA$.
在$△PCB$和$△P'CA$中,$\begin{cases} PC=P'C, \\ ∠PCB = ∠P'CA, \\ CB=CA, \end{cases}$
$∴ △PCB≅△P'CA(\mathrm{SAS}),∴ P'A = PB = 10$.
$∵ 6^2 + 8^2 = 10^2,∴ PP'^2 + PA^2 = P'A^2,∴ ∠APP' = 90°$,
$∴ △APP'$是直角三角形,$∴ \cos∠PAP' =\frac{PA}{P'A}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$
解析
【分析】
看到线段旋转60°的条件，首先考虑连接PP'构造等边三角形，得到PP'的长度；再结合等边△ABC边角相等的性质，寻找全等三角形，将已知的PB长度转化为P'A的长度，把PA、PP'、P'A三条线段整合到同一个△APP'中；接下来验证三边长满足勾股定理逆定理，确定△APP'是直角三角形，最后根据锐角余弦的定义（角的邻边比斜边）计算∠PAP'的余弦值即可。
【解析】
如图，连接 $PP'$.
$∵$ 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 $60°$得到 $P'C$,
$∴ CP' = CP = 6,∠PCP' = 60°$,
$∴ △CPP'$为等边三角形,$∴ PP' = PC = 6$.
$∵ ∠ACB = ∠PCP' = 60°,∴ ∠PCB = ∠P'CA$.
在$△PCB$和$△P'CA$中,$\begin{cases} PC=P'C, \\ ∠PCB = ∠P'CA, \\ CB=CA, \end{cases}$
$∴ △PCB≅△P'CA(\mathrm{SAS}),∴ P'A = PB = 10$.
$∵ 6^2 + 8^2 = 10^2,∴ PP'^2 + PA^2 = P'A^2,∴ ∠APP' = 90°$,
$∴ △APP'$是直角三角形,$∴ \cos∠PAP' =\frac{PA}{P'A}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题将旋转、全等三角形、勾股定理逆定理、锐角三角函数多个知识点结合考查，解题关键是通过旋转构造等边三角形和全等三角形，将分散的已知边长整合到同一三角形中，再结合直角三角形的性质求解三角函数值，是几何综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
看到线段旋转60°的条件，首先考虑连接PP'构造等边三角形，得到PP'的长度；再结合等边△ABC边角相等的性质，寻找全等三角形，将已知的PB长度转化为P'A的长度，把PA、PP'、P'A三条线段整合到同一个△APP'中；接下来验证三边长满足勾股定理逆定理，确定△APP'是直角三角形，最后根据锐角余弦的定义（角的邻边比斜边）计算∠PAP'的余弦值即可。
【解析】
如图，连接 $PP'$.
$∵$ 线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 $60°$得到 $P'C$,
$∴ CP' = CP = 6,∠PCP' = 60°$,
$∴ △CPP'$为等边三角形,$∴ PP' = PC = 6$.
$∵ ∠ACB = ∠PCP' = 60°,∴ ∠PCB = ∠P'CA$.
在$△PCB$和$△P'CA$中,$\begin{cases} PC=P'C, \\ ∠PCB = ∠P'CA, \\ CB=CA, \end{cases}$
$∴ △PCB≅△P'CA(\mathrm{SAS}),∴ P'A = PB = 10$.
$∵ 6^2 + 8^2 = 10^2,∴ PP'^2 + PA^2 = P'A^2,∴ ∠APP' = 90°$,
$∴ △APP'$是直角三角形,$∴ \cos∠PAP' =\frac{PA}{P'A}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题将旋转、全等三角形、勾股定理逆定理、锐角三角函数多个知识点结合考查，解题关键是通过旋转构造等边三角形和全等三角形，将分散的已知边长整合到同一三角形中，再结合直角三角形的性质求解三角函数值，是几何综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
