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11. ★★ 一个不透明的盒子中装有若干个红球和4个黑球,这些球除颜色外均相同.经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率稳定在0.2左右,则盒子中红球的个数约为
16
.答案
16 解析:设盒子中红球的个数为n,由摸到黑球的频率稳定在0.2左右知,摸到黑球的概率为0.2,则$\frac{4}{n+4}$=0.2,解得n=16,即盒子中红球大约有16个.故答案为16.
解析
【分析】
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中摸到黑球的频率稳定在0.2，即可估计摸到黑球的概率为0.2。再结合概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的数量÷总数量，我们可以设红球个数为n，总球数就是红球数加黑球数（即n+4），将对应数值代入概率公式列方程，解方程即可求出红球的个数。
【解析】
设盒子中红球的个数为$n$。
∵多次摸球试验后摸到黑球的频率稳定在0.2左右，
∴可估计摸到黑球的概率为0.2，
根据概率公式列方程得：
$\frac{4}{n+4}=0.2$
解方程：
$4=0.2(n+4)$
$4=0.2n+0.8$
$0.2n=3.2$
$n=16$
经检验，$n=16$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
16
【知识点】
用频率估计概率、概率计算公式、列方程解应用题
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题关键是理解频率和概率的关系，结合概率公式建立方程求解，计算难度低，只要掌握对应概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中摸到黑球的频率稳定在0.2，即可估计摸到黑球的概率为0.2。再结合概率计算公式：某事件的概率=该事件对应的数量÷总数量，我们可以设红球个数为n，总球数就是红球数加黑球数（即n+4），将对应数值代入概率公式列方程，解方程即可求出红球的个数。
【解析】
设盒子中红球的个数为$n$。
∵多次摸球试验后摸到黑球的频率稳定在0.2左右，
∴可估计摸到黑球的概率为0.2，
根据概率公式列方程得：
$\frac{4}{n+4}=0.2$
解方程：
$4=0.2(n+4)$
$4=0.2n+0.8$
$0.2n=3.2$
$n=16$
经检验，$n=16$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
16
【知识点】
用频率估计概率、概率计算公式、列方程解应用题
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题关键是理解频率和概率的关系，结合概率公式建立方程求解，计算难度低，只要掌握对应概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
12. ★★ (2024·浙江中考)有8张卡片，上面分别写着数1,2,3,4,5,6,7,8.从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是
$\frac{1}{4}$
.答案
$\frac{1}{4}$ 解析:
∵ 一共有8张卡片,其中卡片上的数是4的整数倍的有2张,
∴ 从中随机抽取1张,该卡片上的数是4的整数倍的概率是$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$.故答案为$\frac{1}{4}$.
∵ 一共有8张卡片,其中卡片上的数是4的整数倍的有2张,
∴ 从中随机抽取1张,该卡片上的数是4的整数倍的概率是$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$.故答案为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路清晰明确：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题随机抽取1张卡片，共有8种等可能的结果；第二步筛选出符合“卡片上的数是4的整数倍”的结果，在1~8的数中找出4的整数倍即可；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，化简后得到最终概率。
【解析】
解：共有8张卡片，随机抽取1张时，总共有8种等可能的结果。
在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，是4的整数倍的数为4、8，共2种符合条件的结果。
根据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，代入数据计算得：
$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率公式应用 2. 整数倍数判断
【点评】
本题是概率类基础题型，计算量小，核心考查对概率基本计算逻辑的掌握，只要能准确统计总事件数和满足条件的事件数即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
本题考查古典概型的概率计算，解题思路清晰明确：第一步先确定所有等可能的总结果数，本题随机抽取1张卡片，共有8种等可能的结果；第二步筛选出符合“卡片上的数是4的整数倍”的结果，在1~8的数中找出4的整数倍即可；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，化简后得到最终概率。
【解析】
解：共有8张卡片，随机抽取1张时，总共有8种等可能的结果。
在数字1、2、3、4、5、6、7、8中，是4的整数倍的数为4、8，共2种符合条件的结果。
根据古典概型概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，代入数据计算得：
$P=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 概率公式应用 2. 整数倍数判断
【点评】
本题是概率类基础题型，计算量小，核心考查对概率基本计算逻辑的掌握，只要能准确统计总事件数和满足条件的事件数即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
13. ★★★ (资阳中考)如图,在3×3的方格中,A,B,C,D,E,F分别位于格点上,从C,D,E,F四点中任取一点,与点A,B为顶点作三角形,则所作三角形为等腰三角形的概率是
$\frac{3}{4}$
.答案
$\frac{3}{4}$ 解析:从C,D,E,F四个点中任意取一点,一共有4种可能,选取D,C,F时,所作三角形是等腰三角形,故P(所作三角形为等腰三角形)=$\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
这是一道结合等腰三角形判定和概率计算的综合题，解题思路分三步：第一步先确定总事件数，从C、D、E、F四个点中任取一个，共有4种等可能的结果；第二步根据等腰三角形“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定定理，结合勾股定理计算各边长度，逐个判断取每个点时与A、B组成的三角形是否为等腰三角形，统计符合条件的结果数；第三步用概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1，
1. 确定总情况数：从C、D、E、F四个点中任取一点与A、B作三角形，共有4种等可能的取法。
2. 逐个判断是否为等腰三角形：
取点C时：由勾股定理计算得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形；
取点D时：由勾股定理计算得AB=AD，因此△ABD是等腰三角形；
取点F时：由勾股定理计算得AF=BF，因此△ABF是等腰三角形；
取点E时：△ABE的三边长均不相等，不是等腰三角形。
综上，符合条件的取法共有3种，根据概率公式可得：
P(所作三角形为等腰三角形)=$\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等腰三角形的判定，概率公式，勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何与概率的基础综合题，解题的核心是准确判断每个点与A、B构成的三角形是否为等腰三角形，需要熟练掌握勾股定理计算格点线段长度的方法，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合等腰三角形判定和概率计算的综合题，解题思路分三步：第一步先确定总事件数，从C、D、E、F四个点中任取一个，共有4种等可能的结果；第二步根据等腰三角形“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定定理，结合勾股定理计算各边长度，逐个判断取每个点时与A、B组成的三角形是否为等腰三角形，统计符合条件的结果数；第三步用概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率。
【解析】
解：设每个小方格的边长为1，
1. 确定总情况数：从C、D、E、F四个点中任取一点与A、B作三角形，共有4种等可能的取法。
2. 逐个判断是否为等腰三角形：
取点C时：由勾股定理计算得AB=BC，因此△ABC是等腰三角形；
取点D时：由勾股定理计算得AB=AD，因此△ABD是等腰三角形；
取点F时：由勾股定理计算得AF=BF，因此△ABF是等腰三角形；
取点E时：△ABE的三边长均不相等，不是等腰三角形。
综上，符合条件的取法共有3种，根据概率公式可得：
P(所作三角形为等腰三角形)=$\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等腰三角形的判定，概率公式，勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何与概率的基础综合题，解题的核心是准确判断每个点与A、B构成的三角形是否为等腰三角形，需要熟练掌握勾股定理计算格点线段长度的方法，避免出现判断错误。
【难度系数】
0.7
14. 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏.三人同时各投出一枚均匀硬币,若出现三个正面向上或三个反面向上,则小强赢;若出现两个正面向上和一个反面向上,则小亮赢;若出现一个正面向上和两个反面向上,则小文赢.有下列说法:①小强赢的概率最小;②小文和小亮赢的概率相等;③小文赢的概率是$\frac{3}{8}$;④这是一个公平的游戏.其中,正确的是
①②③
.(填序号)答案
①②③ 解析:画树状图如下:
所以共有8种等可能的情况.三个正面向上或三个反面向上的情况有2种,所以P(小强赢)=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$;出现两个正面向上和一个反面向上的情况有3种,所以P(小亮赢)=$\frac{3}{8}$;出现一个正面向上和两个反面向上的情况有3种,所以P(小文赢)=$\frac{3}{8}$.
∵ $\frac{1}{4}$＜$\frac{3}{8}$,
∴ 小强赢的概率最小,①正确;小亮和小文赢的概率均为$\frac{3}{8}$,②正确;小文赢的概率为$\frac{3}{8}$,③正确;三个人赢的概率不一样,这个游戏不公平,④错误.故答案为①②③.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确三人投硬币所有等可能的总结果数，再分别统计小强、小亮、小文各自获胜对应的结果数，依据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算三人赢的概率，最后逐一验证四个说法是否正确即可。
【解析】
通过画树状图分析所有可能的结果：
由树状图可知，三人同时投硬币共有8种等可能的情况：
1. 计算小强赢的概率：出现三个正面向上或三个反面向上的情况共2种（正正正、反反反），因此$P(小强赢)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
2. 计算小亮赢的概率：出现两个正面向上和一个反面向上的情况共3种（正正反、正反正、反正正），因此$P(小亮赢)=\frac{3}{8}$。
3. 计算小文赢的概率：出现一个正面向上和两个反面向上的情况共3种（正反反、反正反、反反正），因此$P(小文赢)=\frac{3}{8}$。
逐一判断四个说法：
① 因为$\frac{1}{4}＜\frac{3}{8}$，所以小强赢的概率最小，①正确；
② 小亮和小文赢的概率均为$\frac{3}{8}$，二者概率相等，②正确；
③ 小文赢的概率是$\frac{3}{8}$，③正确；
④ 三人赢的概率不相等，因此该游戏不公平，④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
树状图求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合投硬币游戏考查概率的相关应用，解题核心是通过树状图准确枚举出所有等可能的结果，再对应计算不同事件的概率，注意统计符合条件的情况时不要漏数或多数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确三人投硬币所有等可能的总结果数，再分别统计小强、小亮、小文各自获胜对应的结果数，依据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算三人赢的概率，最后逐一验证四个说法是否正确即可。
【解析】
通过画树状图分析所有可能的结果：
由树状图可知，三人同时投硬币共有8种等可能的情况：
1. 计算小强赢的概率：出现三个正面向上或三个反面向上的情况共2种（正正正、反反反），因此$P(小强赢)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
2. 计算小亮赢的概率：出现两个正面向上和一个反面向上的情况共3种（正正反、正反正、反正正），因此$P(小亮赢)=\frac{3}{8}$。
3. 计算小文赢的概率：出现一个正面向上和两个反面向上的情况共3种（正反反、反正反、反反正），因此$P(小文赢)=\frac{3}{8}$。
逐一判断四个说法：
① 因为$\frac{1}{4}＜\frac{3}{8}$，所以小强赢的概率最小，①正确；
② 小亮和小文赢的概率均为$\frac{3}{8}$，二者概率相等，②正确；
③ 小文赢的概率是$\frac{3}{8}$，③正确；
④ 三人赢的概率不相等，因此该游戏不公平，④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
树状图求概率，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题结合投硬币游戏考查概率的相关应用，解题核心是通过树状图准确枚举出所有等可能的结果，再对应计算不同事件的概率，注意统计符合条件的情况时不要漏数或多数。
【难度系数】
0.7
三、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
15. 在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断下列事件是不确定事件、不可能事件还是必然事件.
（1）从口袋中一次任意取出1个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
15. 在一个不透明的口袋中装有大小、外形一模一样的5个红球、3个蓝球和2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了，请判断下列事件是不确定事件、不可能事件还是必然事件.
（1）从口袋中一次任意取出1个球，是白球；
（2）从口袋中一次任取5个球，全是蓝球；
（3）从口袋中一次任取5个球，只有蓝球和白球，没有红球；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、蓝、白三种颜色的球都齐了.
答案
(1)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
解析
【分析】
首先要明确三类事件的定义：必然事件是一定条件下必定发生的事件；不可能事件是一定条件下必定不发生的事件；不确定事件（随机事件）是一定条件下可能发生也可能不发生的事件。解题时结合口袋中各颜色球的数量，分别判断每个事件是否可能发生即可：
1. 第（1）问：口袋有红、蓝、白三种球，任取1个，存在取到白球的可能，也存在取到其他颜色球的可能，据此判断类型；
2. 第（2）问：蓝球总共只有3个，取5个全为蓝球显然无法实现，据此判断；
3. 第（3）问：蓝球+白球总共有5个，存在刚好取完所有蓝球和白球的情况，也存在取到红球的情况，据此判断；
4. 第（4）问：取6个球时，存在只含两种颜色的情况，也存在三种颜色都有的情况，据此判断。
【解析】
首先明确三类事件的定义：
必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；
不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
结合口袋中球的数量（5红、3蓝、2白）逐个分析：
（1）口袋中有三种颜色的球，任意取1个，可能是白球，也可能是红球或蓝球，因此该事件可能发生也可能不发生；
（2）口袋中蓝球总数仅为3个，一次取5个球全是蓝球不可能实现，因此该事件一定不会发生；
（3）蓝球和白球的总数为3+2=5个，存在“取5个球只有蓝球和白球”的可能（刚好取3个蓝球+2个白球），也存在取到红球的可能，因此该事件可能发生也可能不发生；
（4）取6个球时，存在仅含两种颜色的情况（如5个红球+1个蓝球，缺少白球），也存在三种颜色都有的情况（如3红+2蓝+1白），因此该事件可能发生也可能不发生。
【答案】
(1)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
【知识点】
事件的分类、不确定事件、不可能事件
【点评】
本题主要考查三类事件的区分，解题的核心是结合给定的球的数量情况，准确判断事件发生的可能性，只要熟练掌握三类事件的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先要明确三类事件的定义：必然事件是一定条件下必定发生的事件；不可能事件是一定条件下必定不发生的事件；不确定事件（随机事件）是一定条件下可能发生也可能不发生的事件。解题时结合口袋中各颜色球的数量，分别判断每个事件是否可能发生即可：
1. 第（1）问：口袋有红、蓝、白三种球，任取1个，存在取到白球的可能，也存在取到其他颜色球的可能，据此判断类型；
2. 第（2）问：蓝球总共只有3个，取5个全为蓝球显然无法实现，据此判断；
3. 第（3）问：蓝球+白球总共有5个，存在刚好取完所有蓝球和白球的情况，也存在取到红球的情况，据此判断；
4. 第（4）问：取6个球时，存在只含两种颜色的情况，也存在三种颜色都有的情况，据此判断。
【解析】
首先明确三类事件的定义：
必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；
不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；
不确定事件（随机事件）：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
结合口袋中球的数量（5红、3蓝、2白）逐个分析：
（1）口袋中有三种颜色的球，任意取1个，可能是白球，也可能是红球或蓝球，因此该事件可能发生也可能不发生；
（2）口袋中蓝球总数仅为3个，一次取5个球全是蓝球不可能实现，因此该事件一定不会发生；
（3）蓝球和白球的总数为3+2=5个，存在“取5个球只有蓝球和白球”的可能（刚好取3个蓝球+2个白球），也存在取到红球的可能，因此该事件可能发生也可能不发生；
（4）取6个球时，存在仅含两种颜色的情况（如5个红球+1个蓝球，缺少白球），也存在三种颜色都有的情况（如3红+2蓝+1白），因此该事件可能发生也可能不发生。
【答案】
(1)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(2)一定不会发生,是不可能事件.
(3)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
(4)可能发生,也可能不发生,是不确定事件.
【知识点】
事件的分类、不确定事件、不可能事件
【点评】
本题主要考查三类事件的区分，解题的核心是结合给定的球的数量情况，准确判断事件发生的可能性，只要熟练掌握三类事件的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
16. ★★★ (2024·常州中考)在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.将这3张小纸条做成3支签,放在不透明的盒子中搅匀.
(1)从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲获胜的概率.
(1)从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是
$\frac{1}{3}$
.(2)甲、乙两人通过抽签分胜负,规定:“石头”胜“剪子”,“剪子”胜“布”,“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签(不放回),乙再从余下的2支签中任意抽出1支签,求甲获胜的概率.
答案
(1)$\frac{1}{3}$ 解析:
∵ 一共有3支签,写有“石头”的签有1支,且每支签被抽到的概率相同,
∴ 从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是$\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
(2)设分别用A,B,C表示“石头”“剪子”“布”,列表如下:
| 甲\乙 | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | | (B,A) | (C,A) |
| B | (A,B) | | (C,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | |
由表格可知,一共有6种等可能的结果数,其中甲获胜的结果数有(B,A),(C,B),(A,C),共3种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$.
∵ 一共有3支签,写有“石头”的签有1支,且每支签被抽到的概率相同,
∴ 从盒子中任意抽出1支签,抽到“石头”的概率是$\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
(2)设分别用A,B,C表示“石头”“剪子”“布”,列表如下:
| 甲\乙 | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | | (B,A) | (C,A) |
| B | (A,B) | | (C,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | |
由表格可知,一共有6种等可能的结果数,其中甲获胜的结果数有(B,A),(C,B),(A,C),共3种,
∴ 甲获胜的概率为$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1)第一问属于基础古典概型问题，先明确所有等可能的总结果数，再找到抽到“石头”的符合条件的结果数，直接代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$计算即可。
(2)第二问是不放回的两步概率问题，首先明确试验规则：甲先抽、抽后不放回，乙再从剩余签中抽取。解题时可通过列表法枚举所有等可能的结果，再根据“石头胜剪子、剪子胜布、布胜石头”的胜负规则，筛选出甲获胜的结果，最后代入概率公式计算即可，枚举时注意排除甲乙抽到同一支签的情况，不要重复、遗漏计数。
【解析】
(1) 盒子中共有3支等可能被抽到的签，其中写有“石头”的签有1支，因此任意抽出1支签，抽到“石头”的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 设A表示“石头”，B表示“剪子”，C表示“布”，由于甲抽完不放回，甲乙抽取的签不可能相同，列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | | (B,A) | (C,A) |
| B | (A,B) | | (C,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | |
由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中甲获胜的结果有(B,A)（甲抽石头、乙抽剪子）、(C,B)（甲抽剪子、乙抽布）、(A,C)（甲抽布、乙抽石头），共3种，因此甲获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率 3. 不放回事件概率
【点评】
本题是概率基础应用题，第一问直接考查概率公式的运用，难度较低；第二问需要注意不放回的试验条件，通过列表法可以直观枚举所有等可能结果，解题时需准确理解胜负规则，避免计数或规则理解错误失分。
【难度系数】
0.7
(1)第一问属于基础古典概型问题，先明确所有等可能的总结果数，再找到抽到“石头”的符合条件的结果数，直接代入概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$计算即可。
(2)第二问是不放回的两步概率问题，首先明确试验规则：甲先抽、抽后不放回，乙再从剩余签中抽取。解题时可通过列表法枚举所有等可能的结果，再根据“石头胜剪子、剪子胜布、布胜石头”的胜负规则，筛选出甲获胜的结果，最后代入概率公式计算即可，枚举时注意排除甲乙抽到同一支签的情况，不要重复、遗漏计数。
【解析】
(1) 盒子中共有3支等可能被抽到的签，其中写有“石头”的签有1支，因此任意抽出1支签，抽到“石头”的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 设A表示“石头”，B表示“剪子”，C表示“布”，由于甲抽完不放回，甲乙抽取的签不可能相同，列表如下：
| 甲\乙 | A | B | C |
|----|----|----|----|
| A | | (B,A) | (C,A) |
| B | (A,B) | | (C,B) |
| C | (A,C) | (B,C) | |
由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中甲获胜的结果有(B,A)（甲抽石头、乙抽剪子）、(C,B)（甲抽剪子、乙抽布）、(A,C)（甲抽布、乙抽石头），共3种，因此甲获胜的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 列表法求概率 3. 不放回事件概率
【点评】
本题是概率基础应用题，第一问直接考查概率公式的运用，难度较低；第二问需要注意不放回的试验条件，通过列表法可以直观枚举所有等可能结果，解题时需准确理解胜负规则，避免计数或规则理解错误失分。
【难度系数】
0.7
四、（本题满分10分）
17. 在学习概率知识后老师设计了如下游戏:已知甲、乙两人手中各有牌面数字为2,5,7和3,6,8的三张扑克牌,每次同时各出一张牌(打出的牌不收回),谁的牌数字大谁赢.
(1)若甲、乙将手中的牌随机抽出一张,一局定胜负,请用列表或画树状图的方法,比较谁的获胜机会比较大.
(2)若规定三局两胜者为胜,已知乙按从小到大的顺序出牌,甲应该怎样出牌,才能保证获胜?
17. 在学习概率知识后老师设计了如下游戏:已知甲、乙两人手中各有牌面数字为2,5,7和3,6,8的三张扑克牌,每次同时各出一张牌(打出的牌不收回),谁的牌数字大谁赢.
(1)若甲、乙将手中的牌随机抽出一张,一局定胜负,请用列表或画树状图的方法,比较谁的获胜机会比较大.
(2)若规定三局两胜者为胜,已知乙按从小到大的顺序出牌,甲应该怎样出牌,才能保证获胜?
答案
(1)画出树状图如下:
所有可能的结果有9种,甲获胜的情况有3种,乙获胜的情况有6种,
∴ 甲获胜的概率是$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$,
∴ 乙获胜的机会大.
(2)由题意得,乙出牌的情况为(3,6,8),甲随机出牌的情况有(2,5,7),(2,7,5),(5,2,7),(5,7,2),(7,2,5),(7,5,2),
∴ 共有6种等可能结果,当甲按(5,7,2)出牌时获胜.
解析
【分析】
(1) 要比较甲乙的获胜机会，需先计算两者的获胜概率。首先通过树状图枚举甲乙各抽一张牌的所有等可能结果，再分别统计甲、乙获胜的结果数量，代入概率公式计算概率后比较大小即可得出结论。
(2) 已知乙的出牌顺序固定为3、6、8，要保证甲三局两胜，可通过枚举甲所有可能的出牌顺序，找到能让甲赢下两局的出牌方案即可，核心是用甲较小的牌消耗乙最大的牌，剩余两局用甲的大牌对阵乙的小牌赢下比赛。
【解析】
(1) 画出树状图如图所示，所有等可能的结果共9种，逐一比对每组牌的大小：甲出2时，2＜3、2＜6、2＜8，乙全胜；甲出5时，5＞3、5＜6、5＜8，甲胜1次；甲出7时，7＞3、7＞6、7＜8，甲胜2次，因此甲获胜的总情况数为3种，剩余6种均为乙获胜。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得$P(甲获胜)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(乙获胜)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}$，故乙获胜机会更大。
(2) 乙的出牌顺序固定为3、6、8，甲的出牌顺序共6种等可能情况，逐一验证：当甲按5、7、2的顺序出牌时，第一局5＞3甲胜，第二局7＞6甲胜，第三局2＜8乙胜，甲三局两胜，其余出牌顺序均无法保证甲赢下两局，因此该方案为甲的获胜出牌策略。
【答案】
(1)画出树状图如下:
所有可能的结果有9种,甲获胜的情况有3种,乙获胜的情况有6种,
∴ 甲获胜的概率是$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$,
∴ 乙获胜的机会大.
(2)由题意得,乙出牌的情况为(3,6,8),甲随机出牌的情况有(2,5,7),(2,7,5),(5,2,7),(5,7,2),(7,2,5),(7,5,2),
∴ 共有6种等可能结果,当甲按(5,7,2)出牌时获胜.
【知识点】
树状图求概率，概率计算，最优策略
【点评】
本题以纸牌游戏为载体，既考查了概率的基础计算方法，又结合实际策略问题考查知识的灵活运用能力，题目趣味性较强，难度适中，注重对基础知识和思维灵活性的双重考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要比较甲乙的获胜机会，需先计算两者的获胜概率。首先通过树状图枚举甲乙各抽一张牌的所有等可能结果，再分别统计甲、乙获胜的结果数量，代入概率公式计算概率后比较大小即可得出结论。
(2) 已知乙的出牌顺序固定为3、6、8，要保证甲三局两胜，可通过枚举甲所有可能的出牌顺序，找到能让甲赢下两局的出牌方案即可，核心是用甲较小的牌消耗乙最大的牌，剩余两局用甲的大牌对阵乙的小牌赢下比赛。
【解析】
(1) 画出树状图如图所示，所有等可能的结果共9种，逐一比对每组牌的大小：甲出2时，2＜3、2＜6、2＜8，乙全胜；甲出5时，5＞3、5＜6、5＜8，甲胜1次；甲出7时，7＞3、7＞6、7＜8，甲胜2次，因此甲获胜的总情况数为3种，剩余6种均为乙获胜。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，可得$P(甲获胜)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(乙获胜)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}＜\frac{2}{3}$，故乙获胜机会更大。
(2) 乙的出牌顺序固定为3、6、8，甲的出牌顺序共6种等可能情况，逐一验证：当甲按5、7、2的顺序出牌时，第一局5＞3甲胜，第二局7＞6甲胜，第三局2＜8乙胜，甲三局两胜，其余出牌顺序均无法保证甲赢下两局，因此该方案为甲的获胜出牌策略。
【答案】
(1)画出树状图如下:
所有可能的结果有9种,甲获胜的情况有3种,乙获胜的情况有6种,
∴ 甲获胜的概率是$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$,乙获胜的概率为$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$,
∴ 乙获胜的机会大.
(2)由题意得,乙出牌的情况为(3,6,8),甲随机出牌的情况有(2,5,7),(2,7,5),(5,2,7),(5,7,2),(7,2,5),(7,5,2),
∴ 共有6种等可能结果,当甲按(5,7,2)出牌时获胜.
【知识点】
树状图求概率，概率计算，最优策略
【点评】
本题以纸牌游戏为载体，既考查了概率的基础计算方法，又结合实际策略问题考查知识的灵活运用能力，题目趣味性较强，难度适中，注重对基础知识和思维灵活性的双重考查。
【难度系数】
0.7
