10.(南通市中考)有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为
（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

10.C

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，先不重不漏地列举出从四条线段中任选3条的所有组合；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，简便判断方法是：两条较短边的和大于最长边即可）逐个判断组合能否构成三角形，最后统计符合要求的组合个数。
【解析】
首先列出从4条线段中任选3条的所有4种组合，再逐一判断：
1. 取3cm，6cm，8cm：两条短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9\mathrm{cm}＞8\mathrm{cm}$，满足三边关系，能构成三角形；
2. 取3cm，6cm，9cm：两条短边和为$3+6=9\mathrm{cm}$，$9\mathrm{cm}=9\mathrm{cm}$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
3. 取3cm，8cm，9cm：两条短边和为$3+8=11\mathrm{cm}$，$11\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，满足三边关系，能构成三角形；
4. 取6cm，8cm，9cm：两条短边和为$6+8=14\mathrm{cm}$，$14\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，满足三边关系，能构成三角形。
综上，能组成三角形的组合共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系，枚举法
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题关键是先完整列举所有组合，再用简便判断方法验证，要特别注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免错判。
【难度系数】
0.8

11.若一个三角形的三边长分别为$a,a+3,a+4$($a$为正整数),则满足条件的三角形中周长最短的是 （）

A.7
B.9
C.11
D.13

11.D

【分析】
要解决这道题，首先需要利用三角形三边关系确定a的取值范围：三角形任意两边之和大于第三边，观察三边长度可知a+4是最长边，因此只需验证两条较短边的和大于最长边即可列出关于a的不等式，再结合a是正整数的条件找到最小的a，最后代入计算周长即可得到最短周长。
【解析】
第一步：确定最长边
∵a是正整数，
∴$a ＜ a+3 ＜ a+4$，即最长边为$a+4$。
第二步：根据三角形三边关系列不等式
根据“三角形两边之和大于第三边”，两条较短边的和需大于最长边，即：
$a + (a+3) ＞ a+4$
第三步：解不等式
化简得：$2a + 3 ＞ a + 4$
移项得：$2a - a ＞ 4 - 3$
解得：$a ＞ 1$
第四步：确定最小的正整数a，计算周长
∵a是正整数且$a＞1$，
∴a的最小值为2。
此时三边长分别为2，$2+3=5$，$2+4=6$，周长为$2+5+6=13$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是先判断出最长边，简化三边验证的步骤，再结合正整数的限制条件求出最小边长，进而得到最短周长。
【难度系数】
0.7

12.已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有个。

12.3

【分析】
要确定符合条件的等腰三角形个数，我们可以按以下思路思考：首先，等腰三角形两腰长度相等，我们可以设腰长为a，底边长为b，结合周长为13列出关于a和b的等式；其次，三角形的边长必须为正整数，同时要满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，由此推导腰长a的取值范围；最后在取值范围内找出所有符合条件的正整数a，对应的b也满足条件的即为有效情况，统计有效情况的个数即可。
【解析】
设等腰△ABC的腰长为$a$，底边长为$b$，$a$、$b$均为正整数。
1. 根据周长公式可得：$2a + b = 13$，变形得$b = 13 - 2a$。
2. 根据三角形边长的限制条件列不等式：
① 边长为正，故$b ＞ 0$，即$13 - 2a ＞ 0$，解得$a ＜ 6.5$；
② 两边之和大于第三边，两腰之和大于底边，故$2a ＞ b$，代入$b = 13 - 2a$得$2a ＞ 13 - 2a$，解得$a ＞ 3.25$。
3. 因为$a$是正整数，所以$a$的可能取值为4、5、6，逐一验证：
当$a=4$时，$b=13-2×4=5$，三边长为4、4、5，满足三边关系，符合条件；
当$a=5$时，$b=13-2×5=3$，三边长为5、5、3，满足三边关系，符合条件；
当$a=6$时，$b=13-2×6=1$，三边长为6、6、1，满足三边关系，符合条件。
综上，符合条件的等腰三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长的计算
【点评】
本题是三角形边的关系的典型应用题型，解题的关键是既要利用等腰三角形边的特征建立等量关系，也要注意三角形三边关系的隐含约束，避免忽略约束条件导致多算不符合要求的情况。
【难度系数】
0.7

13.(浙江省中考改编)如图是琪琪制作的一个不规则四边形框架ABCD，由于框架不稳定，现需要在BD之间加固一根木条(木条长度为整数)，则选择木条的最大长度为。

13.14cm

【分析】
要确定加固木条BD的最大整数长度，需利用三角形三边关系，分别求出BD在△ABD和△BCD中的取值范围，再取两个范围的公共部分，最后在公共范围内选取最大的整数即可。用到的依据为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
【解析】
解：在△ABD中，根据三角形三边关系可得：
$AD - AB ＜ BD ＜ AD + AB$
代入$AB=5\mathrm{cm}$，$AD=11\mathrm{cm}$，得：
$11-5 ＜ BD ＜ 11+5$，即$6\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 16\mathrm{cm}$。
在△BCD中，根据三角形三边关系可得：
$CD - BC ＜ BD ＜ CD + BC$
代入$BC=7\mathrm{cm}$，$CD=8\mathrm{cm}$，得：
$8-7 ＜ BD ＜ 8+7$，即$1\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 15\mathrm{cm}$。
结合两个取值范围取公共部分，可得BD的取值范围为：$6\mathrm{cm} ＜ BD ＜ 15\mathrm{cm}$。
因为木条长度为整数，所以BD的最大长度为14cm。
【答案】
14cm
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用类题目，解题的核心是明确BD同时属于两个三角形，需同时满足两个三角形的边长限制，取交集后再结合整数要求求解，解题时容易遗漏其中一个三角形的限制条件导致结果错误。
【难度系数】
0.7

14.在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框.
（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm.试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由；
（2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB=4cm和CD=8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请求出符合条件的CP的整数长度.

14. (1)解:第一段的长不能为3cm;理由如下:根据题意,第一段长a cm,第二段的长为$(3a-2)$cm,第三段的长为$[12-a-(3a-2)]=(14-4a)$cm,当$a=3$cm时,$3a-2=7$cm,$14-4a=2$cm,$\because 3+2＜7$,$\therefore$三段木棒不能制作一个三角形木框,$\therefore$第一段的长不能为3cm;
(2)设$CP=x$ cm,则$PD=(8-x)$ cm,$\because AB、CP、PD$能组成三角形,$\therefore x+4＞8-x$且$4+8-x＞x$,解得$2＜x＜6$,$\therefore$整数$x$为3或4或5,即符合条件的$CP$的整数长度为3cm或4cm或5cm.

【分析】
（1）要判断第一段长能否为3cm，首先根据题意用含a的代数式表示出另外两段木棒的长度，再将a=3代入算出三段的具体长度，最后根据三角形三边关系验证是否满足构成三角形的条件即可。
（2）要求符合条件的CP的整数长度，先设CP长为x cm，即可表示出PD的长度，再结合三根木棒的长度，利用三角形三边关系列出不等式组，求解得到x的取值范围后，在范围内取整数即可。
【解析】
（1）第一段的长不能为3cm，理由如下：
根据题意，第一段长a cm，第二段的长为$(3a-2)$cm，第三段的长为$12-a-(3a-2)=(14-4a)$cm。
当$a=3$cm时，$3a-2=3×3-2=7$cm，$14-4a=14-4×3=2$cm，
此时三段木棒长度分别为3cm、7cm、2cm，
$\because 3+2＜7$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
$\therefore$这三段木棒不能制作成三角形木框，即第一段的长不能为3cm。
（2）设$CP=x$ cm，则$PD=(8-x)$ cm，
要使AB、CP、PD三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，根据三角形三边关系可得：
$\begin{cases}x + 4 ＞ 8 - x \\4 + (8 - x) ＞ x\end{cases}$
解第一个不等式：$x + 4 ＞ 8 - x$，移项得$2x＞4$，解得$x＞2$；
解第二个不等式：$12 - x ＞ x$，移项得$2x＜12$，解得$x＜6$；
$\therefore$不等式组的解集为$2＜x＜6$，
$\because$x取整数，
$\therefore$x的取值为3、4、5。
【答案】
（1）第一段的长不能为3cm，理由见解析；
（2）符合条件的CP的整数长度为3cm、4cm或5cm。
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是三角形三边关系在实际生活中的应用，解题的关键是准确表示出各段木棒的长度，再结合三角形三边关系列式求解，判断三边能否构成三角形时，只需验证较小两边之和大于最长边即可简化计算过程。
【难度系数】
0.7

15.【新考法·日常生活情境】某校为教师团队举办了趣味运动会，其中一个项目为定向寻宝，固定距离处均放置“宝物”.有如图所示三条路线供大家选择，每条路线仅一人通行.路线一:A→B;路线二:A→C→B;路线三:A→D→E→B.李老师认为路线三经过的拐点多，所以路程长，“宝物”更多，所以选择了该路线，王老师以同样原因选择路线二，结果王老师获得的“宝物”多，请你说明其中的原因.(其中DE段平行于AB)

15. 解:如图,延长ED交AC于点M,延长DE交BC于点N,在$△ ADM$中,$AM+MD＞AD$,在$△ CMN$中,$CM+CN＞MN$,即$CM+CN＞MD+DE+NE$. 在$△ BNE$中,$BN+NE＞BE$,所以$AM+MD+CM+CN+BN+NE＞AD+MD+DE+NE+BE$,所以$AM+CM+CN+BN＞AD+DE+BE$,即$AC+CB＞AD+DE+BE$,所以路线二的路程更长,放置的“宝物”更多.

【分析】
要判断路线二和路线三的长短，本质是比较$AC+BC$与$AD+DE+BE$的长度大小，我们可以利用三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”推导。已知$DE// AB$，我们可以通过延长$ED$、$DE$分别交$AC$、$BC$于$M$、$N$，构造出$△ ADM$、$△ CMN$、$△ BNE$三个小三角形，分别在三个三角形中应用三边关系，再将得到的不等式相加、消去公共线段，即可得到两条路线的长度关系。
【解析】
如图，延长$ED$交$AC$于点$M$，延长$DE$交$BC$于点$N$。
根据三角形三边关系：
1. 在$△ ADM$中，两边之和大于第三边，可得$AM + MD ＞ AD$；
2. 在$△ CMN$中，两边之和大于第三边，可得$CM + CN ＞ MN$，又$MN=MD+DE+NE$，因此$CM + CN ＞ MD + DE + NE$；
3. 在$△ BNE$中，两边之和大于第三边，可得$BN + NE ＞ BE$。
将三个不等式左右两边分别相加，得：
$AM + MD + CM + CN + BN + NE ＞ AD + MD + DE + NE + BE$
两边同时减去公共线段$MD$和$NE$，化简得：
$AM + CM + CN + BN ＞ AD + DE + BE$
其中$AM+CM=AC$，$CN+BN=BC$，因此$AC + CB ＞ AD + DE + BE$，即路线二的路程更长。
由于固定距离处均放置宝物，路程越长宝物越多，因此王老师获得的宝物更多。
【答案】
如图,延长ED交AC于点M,延长DE交BC于点N,在$△ ADM$中,$AM+MD＞AD$,在$△ CMN$中,$CM+CN＞MN$,即$CM+CN＞MD+DE+NE$. 在$△ BNE$中,$BN+NE＞BE$,所以$AM+MD+CM+CN+BN+NE＞AD+MD+DE+NE+BE$,所以$AM+CM+CN+BN＞AD+DE+BE$,即$AC+CB＞AD+DE+BE$,所以路线二的路程更长,放置的“宝物”更多.
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 线段大小比较
【点评】
本题结合生活情境考查几何知识的实际应用，解题关键是合理构造辅助线，将待比较的线段拆分到不同三角形中，借助三角形三边关系推导线段和的大小关系，能够有效考查学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6