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例1 根据题意列方程.
（1）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大4，两个数字的平方和比这个两位数大21，设这个两位数十位数字为x，可列方程
（2）《九章算术》中“勾股定理”这一章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（一丈=10尺，1尺=10寸），设门的宽为x尺，可列方程
（1）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大4，两个数字的平方和比这个两位数大21，设这个两位数十位数字为x，可列方程
x²+(x+4)²=10x+(x+4)+21
.（2）《九章算术》中“勾股定理”这一章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”其大意是：“已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？”（一丈=10尺，1尺=10寸），设门的宽为x尺，可列方程
x²+(x+6.8)²=10²
.答案
(1) $x^{2}+(x+4)^{2}=10x+(x+4)+21$
(2) $x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
(2) $x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
解析
【分析】
（1）解题时先根据十位数字为x，结合个位数字比十位数字大4，表示出个位数字，再根据两位数的表示方法（10×十位数字+个位数字）写出这个两位数，最后根据“两个数字的平方和比这个两位数大21”的等量关系列方程即可。
（2）先统一单位，将6尺8寸转换为6.8尺，1丈转换为10尺，再根据高比宽多6.8尺表示出门的高，最后利用长方形中宽、高与对角线满足勾股定理的等量关系列方程。
【解析】
（1）设这个两位数十位数字为x，则个位数字为(x+4)，这个两位数可表示为$10x+(x+4)$，两个数字的平方和为$x^2+(x+4)^2$。
根据“两个数字的平方和比这个两位数大21”，可得等量关系：两个数字的平方和 = 两位数 + 21，代入表达式得方程：$x^{2}+(x+4)^{2}=10x+(x+4)+21$。
（2）先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。设门的宽为x尺，则门的高为$(x+6.8)$尺，门的对角线长为10尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这里门的宽和高为直角边，对角线为斜边，代入得方程：$x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$。
【答案】
(1) $x^{2}+(x+4)^{2}=10x+(x+4)+21$
(2) $x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 两位数的表示
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是根据实际情境列方程的基础题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，同时要注意数位表示的规则和单位的统一，为后续一元二次方程的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
（1）解题时先根据十位数字为x，结合个位数字比十位数字大4，表示出个位数字，再根据两位数的表示方法（10×十位数字+个位数字）写出这个两位数，最后根据“两个数字的平方和比这个两位数大21”的等量关系列方程即可。
（2）先统一单位，将6尺8寸转换为6.8尺，1丈转换为10尺，再根据高比宽多6.8尺表示出门的高，最后利用长方形中宽、高与对角线满足勾股定理的等量关系列方程。
【解析】
（1）设这个两位数十位数字为x，则个位数字为(x+4)，这个两位数可表示为$10x+(x+4)$，两个数字的平方和为$x^2+(x+4)^2$。
根据“两个数字的平方和比这个两位数大21”，可得等量关系：两个数字的平方和 = 两位数 + 21，代入表达式得方程：$x^{2}+(x+4)^{2}=10x+(x+4)+21$。
（2）先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。设门的宽为x尺，则门的高为$(x+6.8)$尺，门的对角线长为10尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这里门的宽和高为直角边，对角线为斜边，代入得方程：$x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$。
【答案】
(1) $x^{2}+(x+4)^{2}=10x+(x+4)+21$
(2) $x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 两位数的表示
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是根据实际情境列方程的基础题，解题核心是准确提取题目中的等量关系，同时要注意数位表示的规则和单位的统一，为后续一元二次方程的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
例2 填空.
(1) 一元二次方程$(x+1)(x-1)=3x$化成一般式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________.
(2) 如果$m$是方程$x^2 -2x -5=0$的一个根，那么代数式$3m^2 -6m +1$的值为________.
(3) 下列选项:① $x+5=3-2x$;② $2x^2 -3y -5=0$;③ $(x+2)^2=x^2 -3x +1$;④ $(x-3)·(x+2)=0$;⑤ $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-1=0$.其中是一元二次方程的是________(填序号).
(1) 一元二次方程$(x+1)(x-1)=3x$化成一般式是________，其中二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________.
(2) 如果$m$是方程$x^2 -2x -5=0$的一个根，那么代数式$3m^2 -6m +1$的值为________.
(3) 下列选项:① $x+5=3-2x$;② $2x^2 -3y -5=0$;③ $(x+2)^2=x^2 -3x +1$;④ $(x-3)·(x+2)=0$;⑤ $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-1=0$.其中是一元二次方程的是________(填序号).
答案
(1) $x^2-3x-1=0$，二次项系数1，一次项系数-3，常数项-1
(2) 16
(3) ④
(2) 16
(3) ④
解析
【分析】
(1) 本题考查一元二次方程一般式的改写，解题思路是先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，再对应提取二次项系数、一次项系数和常数项，注意系数要包含正负号。
(2) 本题考查一元二次方程根的应用，已知m是方程的根，代入方程可得到关于m的等式，观察所求代数式的结构，可将得到的等式整体变形后代入计算，无需解出m的具体值，简化运算。
(3) 本题考查一元二次方程的判定，需紧扣一元二次方程的三个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，注意需先将能化简的方程化简后再判断。
【解析】
(1) 先展开方程左边：$(x+1)(x-1)=x^2-1$，原方程化为$x^2-1=3x$，移项得$x^2-3x-1=0$，即为一般式；其中二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-1。
(2) 把$x=m$代入方程$x^2-2x-5=0$，得$m^2-2m-5=0$，即$m^2-2m=5$。
对代数式变形：$3m^2-6m+1=3(m^2-2m)+1$，将$m^2-2m=5$代入得：$3×5+1=16$。
(3) 逐个分析选项：
① $x+5=3-2x$：未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合；
② $2x^2-3y-5=0$：含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合；
③ 化简左边得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，方程化为$x^2+4x+4=x^2-3x+1$，移项合并同类项后得$7x+3=0$，是一元一次方程，不符合；
④ 展开得$x^2-x-6=0$，满足一元二次方程的全部条件，符合；
⑤ $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-1=0$：分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，只有④是一元二次方程。
【答案】
(1) $x^2-3x-1=0$，1，-3，-1
(2) 16
(3) ④
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式，一元二次方程根的意义
【点评】
本组题目属于一元二次方程的基础题，重点考查对核心概念的理解和简单应用，解题时要注意细节，比如系数的符号、方程化简后再判断类型、灵活运用整体代入思想简化计算，夯实基础对后续解一元二次方程及相关应用有重要作用。
【难度系数】
0.75
(1) 本题考查一元二次方程一般式的改写，解题思路是先利用平方差公式展开方程左边，再通过移项、合并同类项将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，再对应提取二次项系数、一次项系数和常数项，注意系数要包含正负号。
(2) 本题考查一元二次方程根的应用，已知m是方程的根，代入方程可得到关于m的等式，观察所求代数式的结构，可将得到的等式整体变形后代入计算，无需解出m的具体值，简化运算。
(3) 本题考查一元二次方程的判定，需紧扣一元二次方程的三个判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，注意需先将能化简的方程化简后再判断。
【解析】
(1) 先展开方程左边：$(x+1)(x-1)=x^2-1$，原方程化为$x^2-1=3x$，移项得$x^2-3x-1=0$，即为一般式；其中二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-1。
(2) 把$x=m$代入方程$x^2-2x-5=0$，得$m^2-2m-5=0$，即$m^2-2m=5$。
对代数式变形：$3m^2-6m+1=3(m^2-2m)+1$，将$m^2-2m=5$代入得：$3×5+1=16$。
(3) 逐个分析选项：
① $x+5=3-2x$：未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合；
② $2x^2-3y-5=0$：含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合；
③ 化简左边得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，方程化为$x^2+4x+4=x^2-3x+1$，移项合并同类项后得$7x+3=0$，是一元一次方程，不符合；
④ 展开得$x^2-x-6=0$，满足一元二次方程的全部条件，符合；
⑤ $\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-1=0$：分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合。
综上，只有④是一元二次方程。
【答案】
(1) $x^2-3x-1=0$，1，-3，-1
(2) 16
(3) ④
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式，一元二次方程根的意义
【点评】
本组题目属于一元二次方程的基础题，重点考查对核心概念的理解和简单应用，解题时要注意细节，比如系数的符号、方程化简后再判断类型、灵活运用整体代入思想简化计算，夯实基础对后续解一元二次方程及相关应用有重要作用。
【难度系数】
0.75
