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1. 9的算术平方根是 （
A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm 3$
D.$\pm\sqrt{3}$
A
）A.3
B.$\sqrt{3}$
C.$\pm 3$
D.$\pm\sqrt{3}$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心定义，牢记算术平方根的运算结果为非负数这一关键特征。先找到平方后等于9的数，再从中选取正的数就是9的算术平方根，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。
因为$3^2=9$，且3是正数，因此9的算术平方根是3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果一定是非负数，避免混淆概念误选带负号的选项。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心定义，牢记算术平方根的运算结果为非负数这一关键特征。先找到平方后等于9的数，再从中选取正的数就是9的算术平方根，最后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：如果一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个正数$x$就叫做$a$的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。
因为$3^2=9$，且3是正数，因此9的算术平方根是3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果一定是非负数，避免混淆概念误选带负号的选项。
【难度系数】
0.9
2. 在平面直角坐标系中，点$(-3,a)$位于第三象限，$a$的值可能是 （
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
A
）A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$3$
答案
2. A
解析
【分析】
解题的核心是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号规律。首先回忆第三象限的坐标特征：第三象限内的点横坐标为负、纵坐标也为负。已知题中点的横坐标是-3，已经满足横坐标为负的要求，因此只需判断纵坐标a为负数，再对应选项筛选即可。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
点$(-3,a)$位于第三象限，其横坐标$-3＜0$符合第三象限横坐标要求，
∴纵坐标需满足$a＜0$。
观察选项：A选项$-2＜0$，符合要求；B选项0对应的点在坐标轴上，不属于第三象限；C选项1、D选项3均为正数，对应点位于第二象限，均不符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对第三象限点坐标符号规律的掌握，只要牢记各象限点横、纵坐标的符号特点，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号规律。首先回忆第三象限的坐标特征：第三象限内的点横坐标为负、纵坐标也为负。已知题中点的横坐标是-3，已经满足横坐标为负的要求，因此只需判断纵坐标a为负数，再对应选项筛选即可。
【解析】
解：
∵平面直角坐标系中，第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
点$(-3,a)$位于第三象限，其横坐标$-3＜0$符合第三象限横坐标要求，
∴纵坐标需满足$a＜0$。
观察选项：A选项$-2＜0$，符合要求；B选项0对应的点在坐标轴上，不属于第三象限；C选项1、D选项3均为正数，对应点位于第二象限，均不符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查对第三象限点坐标符号规律的掌握，只要牢记各象限点横、纵坐标的符号特点，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.9
3. 地球的平均半径大约为$6.4× 10^3$ km，这个近似值精确到 （
A.个位
B.十分位
C.十位
D.百位
D
）A.个位
B.十分位
C.十位
D.百位
答案
3. D
解析
【分析】
要判断科学记数法表示的近似数的精确数位，需先将科学记数法还原为原数，再看科学记数法中乘号前数字的末位，对应原数的哪一个数位，该数位就是近似值精确到的数位。本题先将$6.4×10^3$还原为普通整数，再定位数字4的数位即可。
【解析】
首先将科学记数法表示的数还原为原数：
$6.4×10^3 = 6.4×1000 = 6400$
观察$6.4$的末位数字是4，对应原数6400中的数位为百位，因此这个近似值精确到百位。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度，科学记数法
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型题型，易错点是直接根据$6.4$的十分位误选B，解题核心是牢记科学记数法表示的近似数要还原后判断数位，掌握方法就能快速得分。
【难度系数】
0.7
要判断科学记数法表示的近似数的精确数位，需先将科学记数法还原为原数，再看科学记数法中乘号前数字的末位，对应原数的哪一个数位，该数位就是近似值精确到的数位。本题先将$6.4×10^3$还原为普通整数，再定位数字4的数位即可。
【解析】
首先将科学记数法表示的数还原为原数：
$6.4×10^3 = 6.4×1000 = 6400$
观察$6.4$的末位数字是4，对应原数6400中的数位为百位，因此这个近似值精确到百位。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度，科学记数法
【点评】
本题是近似数精确度判断的典型题型，易错点是直接根据$6.4$的十分位误选B，解题核心是牢记科学记数法表示的近似数要还原后判断数位，掌握方法就能快速得分。
【难度系数】
0.7
4. 在实数$\frac{1}{2}, -3.14, π, |-2|, \sqrt{4}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{9}, 0.808008···$中，无理数有 （
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确无理数的定义（无限不循环小数），常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中带有绝对值、根号的数化简，再逐一判断每个数是否为无理数，最后统计无理数的个数对应选项即可。
【解析】
先对题中可化简的数进行计算：
$|-2|=2$，$\sqrt{4}=2$；
再逐个判断每个数的类型：
1. $\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
2. $-3.14$是有限小数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $|-2|=2$是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{7}$是开平方开不尽的数，属于无理数；
7. $\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数，属于无理数；
8. $0.808008···$是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义，绝对值的运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于无理数识别的基础题型，解题时注意不要直接对带根号的数下结论，需先化简再判断，同时要区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，只有无限不循环的才是无理数。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确无理数的定义（无限不循环小数），常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先将题目中带有绝对值、根号的数化简，再逐一判断每个数是否为无理数，最后统计无理数的个数对应选项即可。
【解析】
先对题中可化简的数进行计算：
$|-2|=2$，$\sqrt{4}=2$；
再逐个判断每个数的类型：
1. $\frac{1}{2}$是分数，属于有理数；
2. $-3.14$是有限小数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $|-2|=2$是整数，属于有理数；
5. $\sqrt{4}=2$是整数，属于有理数；
6. $\sqrt{7}$是开平方开不尽的数，属于无理数；
7. $\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数，属于无理数；
8. $0.808008···$是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义，绝对值的运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于无理数识别的基础题型，解题时注意不要直接对带根号的数下结论，需先化简再判断，同时要区分“有规律的无限小数”和“无限循环小数”，只有无限不循环的才是无理数。
【难度系数】
0.7
5. 下列函数中，正比例函数是（
A.$y=\frac{2}{5x}$
B.$y=\frac{2}{5}x -1$
C.$y=\frac{4}{5}x^2$
D.$y=-\frac{2}{5}x$
D
）A.$y=\frac{2}{5x}$
B.$y=\frac{2}{5}x -1$
C.$y=\frac{4}{5}x^2$
D.$y=-\frac{2}{5}x$
答案
5. D
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确正比例函数的定义及判断标准：正比例函数需满足四个条件：①形式为$y=kx$；②$k$是不为0的常数；③自变量$x$的次数为1；④不含常数项。解题时我们带着这四个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2}{5x}$的自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项B：$y=\frac{2}{5}x -1$含有常数项$-1$，是一次函数但不是正比例函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=\frac{4}{5}x^2$的自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项D：$y=-\frac{2}{5}x$符合$y=kx$的形式，其中$k=-\frac{2}{5}≠0$，自变量$x$次数为1且无常数项，是正比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数类型的识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对正比例函数定义的理解，解题关键是牢记正比例函数的形式特点，注意区分正比例函数与其他类型函数的表达式差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是先明确正比例函数的定义及判断标准：正比例函数需满足四个条件：①形式为$y=kx$；②$k$是不为0的常数；③自变量$x$的次数为1；④不含常数项。解题时我们带着这四个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：一般地，形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2}{5x}$的自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项B：$y=\frac{2}{5}x -1$含有常数项$-1$，是一次函数但不是正比例函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=\frac{4}{5}x^2$的自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项D：$y=-\frac{2}{5}x$符合$y=kx$的形式，其中$k=-\frac{2}{5}≠0$，自变量$x$次数为1且无常数项，是正比例函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 函数类型的识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对正比例函数定义的理解，解题关键是牢记正比例函数的形式特点，注意区分正比例函数与其他类型函数的表达式差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
6. 关于函数$y=-2x+1$，下列结论中，正确的是 （
A.图象必经过点$(-2,1)$
B.$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过第一、二、三象限
D.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D
）A.图象必经过点$(-2,1)$
B.$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过第一、二、三象限
D.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
答案
6. D
解析
【分析】
这是一道一次函数基础应用题，解题思路是逐一验证每个选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标是否一致即可；②判断增减性看一次项系数k的符号，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；③判断图象经过的象限，结合k、b的符号共同判断；④判断x取某范围时y的符号，可通过解对应不等式得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将$x=-2$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×(-2)+1=5≠1$，故图象不经过点$(-2,1)$，A错误；
B. 函数中$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，B错误；
C. 由$k=-2＜0$可知图象过第二、四象限，由$b=1＞0$可知图象与$y$轴正半轴相交，因此图象经过第一、二、四象限，C错误；
D. 令$y＜0$，即$-2x+1＜0$，解不等式得：$-2x＜-1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＞\frac{1}{2}$，即当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象特征；一次函数与不等式
【点评】
本题属于一次函数的基础考察题，核心是考查一次函数中系数k、b对函数增减性、图象位置的影响，以及点与函数图象的关系、一次函数和不等式的关联，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这是一道一次函数基础应用题，解题思路是逐一验证每个选项：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的纵坐标与点的纵坐标是否一致即可；②判断增减性看一次项系数k的符号，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；③判断图象经过的象限，结合k、b的符号共同判断；④判断x取某范围时y的符号，可通过解对应不等式得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 将$x=-2$代入$y=-2x+1$，得$y=-2×(-2)+1=5≠1$，故图象不经过点$(-2,1)$，A错误；
B. 函数中$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，B错误；
C. 由$k=-2＜0$可知图象过第二、四象限，由$b=1＞0$可知图象与$y$轴正半轴相交，因此图象经过第一、二、四象限，C错误；
D. 令$y＜0$，即$-2x+1＜0$，解不等式得：$-2x＜-1$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＞\frac{1}{2}$，即当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象特征；一次函数与不等式
【点评】
本题属于一次函数的基础考察题，核心是考查一次函数中系数k、b对函数增减性、图象位置的影响，以及点与函数图象的关系、一次函数和不等式的关联，熟练掌握基础性质即可快速得分。
【难度系数】
0.8
7. 如图,一次函数$y=x+1$的图象与一次函数$y=mx+n$的图象相交于点$P(a,2)$,则关于$x$的不等式$x+1≥mx+n$的解集为 （
A.$x≤1$
B.$x＜1$
C.$x＞1$
D.$x≥1$
D
）A.$x≤1$
B.$x＜1$
C.$x＞1$
D.$x≥1$
答案
7. D
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求出交点P的横坐标a：已知点P(a,2)在一次函数y=x+1的图象上，将点坐标代入解析式即可求出a的值；第二步明确一元一次不等式与一次函数图象的关系：不等式x+1≥mx+n的解集，对应一次函数y=x+1的图象位于y=mx+n图象上方（包含交点）时x的取值范围，结合图象即可得到解集。
【解析】
首先求点P的横坐标：
∵点P(a,2)在一次函数y=x+1的图象上
∴将y=2代入y=x+1，得2=a+1，解得a=1，即点P的坐标为(1,2)
不等式x+1≥mx+n的几何意义是：y=x+1的函数值大于等于y=mx+n的函数值，对应图象上为y=x+1的图象在y=mx+n图象的上方（含交点）
观察图象可得，当x≥1时，满足y=x+1的图象在y=mx+n图象上方或重合
因此不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象，点的坐标特征
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将不等式的求解转化为两个一次函数图象的位置关系判断，无需复杂计算，结合图象即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步先求出交点P的横坐标a：已知点P(a,2)在一次函数y=x+1的图象上，将点坐标代入解析式即可求出a的值；第二步明确一元一次不等式与一次函数图象的关系：不等式x+1≥mx+n的解集，对应一次函数y=x+1的图象位于y=mx+n图象上方（包含交点）时x的取值范围，结合图象即可得到解集。
【解析】
首先求点P的横坐标：
∵点P(a,2)在一次函数y=x+1的图象上
∴将y=2代入y=x+1，得2=a+1，解得a=1，即点P的坐标为(1,2)
不等式x+1≥mx+n的几何意义是：y=x+1的函数值大于等于y=mx+n的函数值，对应图象上为y=x+1的图象在y=mx+n图象的上方（含交点）
观察图象可得，当x≥1时，满足y=x+1的图象在y=mx+n图象上方或重合
因此不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象，点的坐标特征
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题的关键是将不等式的求解转化为两个一次函数图象的位置关系判断，无需复杂计算，结合图象即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8. 如图①，在等腰直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，点D为边AB的中点，动点P从点A出发，沿边AC—CB方向匀速运动，运动到点B时停止。设点P的运动路程为x，$△ APD$的面积为y，y关于x的函数图象如图②所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为 （
A.$\sqrt{6}$
B.4
C.8
D.16
B
）A.$\sqrt{6}$
B.4
C.8
D.16
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先结合动点运动路径和函数图象分析：动点P在AC上运动时，△APD的面积随运动路程x的增大而增大，当P到达点C时面积达到最大值16；再利用D是AB中点的性质，可知此时的面积是△ABC面积的一半，由此求出等腰直角△ABC的直角边长；最后通过坐标法结合勾股定理计算PD的长度即可。
【解析】
1. 求等腰直角△ABC的直角边长
由函数图象可知，当P运动到点C时，△APD的面积最大，为16。
∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积是△ABC面积的一半，即$\frac{1}{2}S_{△ ABC}=16$，得$S_{△ ABC}=32$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2}AC^2=32$，解得$AC=BC=8$（边长为正数，舍去负解）。
2. 建立坐标系计算PD长度
以点C为原点，CB为x轴、CA为y轴建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$C(0,0)$，$A(0,8)$，$B(8,0)$。
∵D是AB中点，由中点坐标公式得$D(\frac{0+8}{2},\frac{8+0}{2})$即$D(4,4)$。
当P运动到CB中点时，P点坐标为$(4,0)$，根据勾股定理计算PD：
$PD=\sqrt{(4-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形性质，函数图象分析，勾股定理
【点评】
本题结合动点问题、函数图象和三角形相关知识考查，需要从图象中提取关键的面积最值信息，再结合三角形面积公式、勾股定理求解，体现了数形结合的思想，侧重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合动点运动路径和函数图象分析：动点P在AC上运动时，△APD的面积随运动路程x的增大而增大，当P到达点C时面积达到最大值16；再利用D是AB中点的性质，可知此时的面积是△ABC面积的一半，由此求出等腰直角△ABC的直角边长；最后通过坐标法结合勾股定理计算PD的长度即可。
【解析】
1. 求等腰直角△ABC的直角边长
由函数图象可知，当P运动到点C时，△APD的面积最大，为16。
∵D是AB的中点，
∴△ACD的面积是△ABC面积的一半，即$\frac{1}{2}S_{△ ABC}=16$，得$S_{△ ABC}=32$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2}AC^2=32$，解得$AC=BC=8$（边长为正数，舍去负解）。
2. 建立坐标系计算PD长度
以点C为原点，CB为x轴、CA为y轴建立平面直角坐标系，可得各点坐标：$C(0,0)$，$A(0,8)$，$B(8,0)$。
∵D是AB中点，由中点坐标公式得$D(\frac{0+8}{2},\frac{8+0}{2})$即$D(4,4)$。
当P运动到CB中点时，P点坐标为$(4,0)$，根据勾股定理计算PD：
$PD=\sqrt{(4-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形性质，函数图象分析，勾股定理
【点评】
本题结合动点问题、函数图象和三角形相关知识考查，需要从图象中提取关键的面积最值信息，再结合三角形面积公式、勾股定理求解，体现了数形结合的思想，侧重考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
