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1. 圆周角的度数由所决定。
答案
1. 由它所对弧的度数
解析
【分析】
解题时可先回忆圆周角的相关定理：首先圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，而圆心角的度数和它所对的弧的度数是相等的，由此可推导得出圆周角的度数和它所对弧的度数直接相关，即可得到结论。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半；又因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，因此可推出圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以圆周角的度数由它所对弧的度数决定。
【答案】
它所对弧的度数
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对圆周角性质的理解，熟记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可先回忆圆周角的相关定理：首先圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，而圆心角的度数和它所对的弧的度数是相等的，由此可推导得出圆周角的度数和它所对弧的度数直接相关，即可得到结论。
【解析】
根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半；又因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，因此可推出圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，所以圆周角的度数由它所对弧的度数决定。
【答案】
它所对弧的度数
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对圆周角性质的理解，熟记相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.
同弧或等弧
所对的圆周角相等
，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半
。答案
2. 同弧或等弧，相等，弧上的圆心角的一半
解析
【分析】
本题属于圆周角定理的概念识记类题目，解题时需回忆圆周角的核心性质：首先要明确圆周角相等的前提条件是所对的弧完全相同或长度、度数相等，即同弧或等弧；其次同弧或等弧对应的圆周角的大小关系为相等；最后要掌握圆周角和它所对应圆心角的数量关系，按照定理内容依次对应填空即可。
【解析】
根据苏科版教材中圆周角定理的内容：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
同弧或等弧，相等，弧上的圆心角的一半
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对圆周角核心定理的记忆掌握程度，该定理是后续解决圆周角相关计算、证明类题型的基础，需要准确熟练识记。
【难度系数】
0.9
本题属于圆周角定理的概念识记类题目，解题时需回忆圆周角的核心性质：首先要明确圆周角相等的前提条件是所对的弧完全相同或长度、度数相等，即同弧或等弧；其次同弧或等弧对应的圆周角的大小关系为相等；最后要掌握圆周角和它所对应圆心角的数量关系，按照定理内容依次对应填空即可。
【解析】
根据苏科版教材中圆周角定理的内容：同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，据此依次填入对应内容即可。
【答案】
同弧或等弧，相等，弧上的圆心角的一半
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对圆周角核心定理的记忆掌握程度，该定理是后续解决圆周角相关计算、证明类题型的基础，需要准确熟练识记。
【难度系数】
0.9
3. 如图，OA，OB是$\odot O$的半径，C是$\odot O$上的一点，$∠ AOB=42°$，$∠ ACB=$
（第3题）
21
$°$.（第3题）答案
3. 21
解析
【分析】
解题时首先观察图形，确定两个角所对的弧：∠AOB是圆心O处的角，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠ACB是圆周上的点C形成的角，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需要用已知的圆心角的度数除以2，就能得到圆周角的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB=42°$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}×42°=21°$。
【答案】
21
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧所对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形，确定两个角所对的弧：∠AOB是圆心O处的角，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，∠ACB是圆周上的点C形成的角，是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角。接下来回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需要用已知的圆心角的度数除以2，就能得到圆周角的度数。
【解析】
∵ ∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，$∠ ACB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，
又
∵ $∠ AOB=42°$，
∴ $∠ ACB=\frac{1}{2}×42°=21°$。
【答案】
21
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础类题型，直接考查圆周角定理的应用，解题关键是准确识别同弧所对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4. 如图，OB，OC是$\odot O$的半径，A是$\odot O$上一点，若$∠ B=30°$，$∠ C=20°$，则$∠ BOC=$
100
°。答案
4. 100
解析
【分析】
要求圆心角∠BOC的度数，我们可以先构造辅助线：连接OA。因为圆的所有半径长度相等，所以可得到两个等腰三角形△OAB和△OAC，利用等腰三角形两底角相等的性质先算出圆周角∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一圆周角定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵OA、OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAC=∠C=20°，
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=30°+20°=50°，
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2× 50°=100°$。
【答案】
100
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，得到圆周角的度数后即可推导出对应圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
要求圆心角∠BOC的度数，我们可以先构造辅助线：连接OA。因为圆的所有半径长度相等，所以可得到两个等腰三角形△OAB和△OAC，利用等腰三角形两底角相等的性质先算出圆周角∠BAC的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍这一圆周角定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵OA、OB、OC都是$\odot O$的半径，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠B=30°，∠OAC=∠C=20°，
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=30°+20°=50°，
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ BOC=2∠ BAC=2× 50°=100°$。
【答案】
100
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是通过连接半径构造等腰三角形，得到圆周角的度数后即可推导出对应圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
5. 如图，点A，B，C，D，E在$\odot O$上，若$∠ ACE=25°$，$∠ BDE=15°$，则圆心角$∠ AOB$的大小为（
A.$90°$
B.$85°$
C.$80°$
D.$40°$
C
）A.$90°$
B.$85°$
C.$80°$
D.$40°$
答案
5. C
解析
【分析】
解题需要用到圆周角定理，首先明确已知圆周角对应的弧：∠ACE对应弧AE，∠BDE对应弧BE，目标圆心角∠AOB对应弧AB，而弧AB由弧AE和弧BE组成。先依据圆周角定理求出两段弧对应的圆心角度数，再相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
1. ∠ACE是弧AE所对的圆周角，已知∠ACE=25°，因此弧AE对应的圆心角∠AOE=2×∠ACE=2×25°=50°。
2. ∠BDE是弧BE所对的圆周角，已知∠BDE=15°，因此弧BE对应的圆心角∠BOE=2×∠BDE=2×15°=30°。
3. 由图可得∠AOB=∠AOE+∠BOE，代入数值计算：∠AOB=50°+30°=80°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用，解题的关键是准确对应圆周角和它所对的弧，结合弧的和差关系即可求出目标圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
解题需要用到圆周角定理，首先明确已知圆周角对应的弧：∠ACE对应弧AE，∠BDE对应弧BE，目标圆心角∠AOB对应弧AB，而弧AB由弧AE和弧BE组成。先依据圆周角定理求出两段弧对应的圆心角度数，再相加即可得到∠AOB的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
1. ∠ACE是弧AE所对的圆周角，已知∠ACE=25°，因此弧AE对应的圆心角∠AOE=2×∠ACE=2×25°=50°。
2. ∠BDE是弧BE所对的圆周角，已知∠BDE=15°，因此弧BE对应的圆心角∠BOE=2×∠BDE=2×15°=30°。
3. 由图可得∠AOB=∠AOE+∠BOE，代入数值计算：∠AOB=50°+30°=80°。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆周角定理的基础应用，解题的关键是准确对应圆周角和它所对的弧，结合弧的和差关系即可求出目标圆心角的度数。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上的一点，BD平分$∠ ABC$，若$∠ D=20°$，则$∠ ABD$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
D
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角相关性质：1. 同弧所对的圆周角相等；2. 直径所对的圆周角为直角。首先利用同弧所对圆周角相等，得到∠BAC=∠D=20°；再结合AB是直径，推出△ABC是直角三角形，计算出∠ABC的度数；最后根据角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ BAC=∠ BDC=20°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是找到同弧对应的相等圆周角，结合直径的直角性质进行角度推导，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆周角相关性质：1. 同弧所对的圆周角相等；2. 直径所对的圆周角为直角。首先利用同弧所对圆周角相等，得到∠BAC=∠D=20°；再结合AB是直径，推出△ABC是直角三角形，计算出∠ABC的度数；最后根据角平分线的定义，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴$∠ BAC=∠ BDC=20°$（同弧所对的圆周角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=90°-∠ BAC=90°-20°=70°$。
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题型，解题的关键是找到同弧对应的相等圆周角，结合直径的直角性质进行角度推导，掌握基础定理就能快速求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB，CE是$\odot O$的两条直径，D是劣弧BC的中点，连接BC，DE。若$∠ ABC=24°$，则$∠ CED$的度数为 （
A.$24°$
B.$32°$
C.$33°$
D.$42°$
C
）A.$24°$
B.$32°$
C.$33°$
D.$42°$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先利用圆半径相等得到等腰△OBC，求出圆心角∠BOC的度数，再结合D是劣弧BC中点得到弧CD的度数，最后根据圆周角定理，即可求出∠CED的度数。
【解析】
1. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，已知$∠ ABC=24°$，所以$∠ OCB=∠ ABC=24°$。
2. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BOC=180°-∠ ABC-∠ OCB=180°-24°-24°=132°$，即劣弧BC的度数为$132°$。
3. 因为D是劣弧BC的中点，所以劣弧CD的度数为劣弧BC度数的一半，即$132°÷2=66°$。
4. $∠ CED$是对劣弧CD的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此$∠ CED=66°÷2=33°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，核心是掌握圆周角和圆心角、弧之间的数量关系，结合等腰三角形的性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆半径相等得到等腰△OBC，求出圆心角∠BOC的度数，再结合D是劣弧BC中点得到弧CD的度数，最后根据圆周角定理，即可求出∠CED的度数。
【解析】
1. 因为OB、OC都是$\odot O$的半径，所以$OB=OC$，$△ OBC$为等腰三角形，已知$∠ ABC=24°$，所以$∠ OCB=∠ ABC=24°$。
2. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BOC=180°-∠ ABC-∠ OCB=180°-24°-24°=132°$，即劣弧BC的度数为$132°$。
3. 因为D是劣弧BC的中点，所以劣弧CD的度数为劣弧BC度数的一半，即$132°÷2=66°$。
4. $∠ CED$是对劣弧CD的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半，因此$∠ CED=66°÷2=33°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，核心是掌握圆周角和圆心角、弧之间的数量关系，结合等腰三角形的性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$\odot O$的直径是$AB$，$∠ BPQ=45°$，圆的半径是4，则弦$BQ=$
$4\sqrt{2}$
.答案
8. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：∠BPQ是弧BQ所对的圆周角，⊙O半径为4可得OB、OQ长度均为4。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BQ对应的圆心角∠BOQ的度数；再结合OB=OQ的特点，判定△BOQ的形状，最后用勾股定理计算BQ的长度即可。
【解析】
连接OQ，
∵ ∠BPQ是弧BQ所对的圆周角，∠BOQ是弧BQ所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOQ=2∠ BPQ=2×45°=90°$，
∵ OB、OQ均为⊙O的半径，⊙O半径为4，
∴ $OB=OQ=4$，
在$Rt△ BOQ$中，由勾股定理得：
$BQ=\sqrt{OB^2+OQ^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，解题核心是通过圆周角定理将已知的圆周角转化为圆心角，构造出直角三角形后即可快速求解，掌握圆周角相关定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：∠BPQ是弧BQ所对的圆周角，⊙O半径为4可得OB、OQ长度均为4。首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BQ对应的圆心角∠BOQ的度数；再结合OB=OQ的特点，判定△BOQ的形状，最后用勾股定理计算BQ的长度即可。
【解析】
连接OQ，
∵ ∠BPQ是弧BQ所对的圆周角，∠BOQ是弧BQ所对的圆心角，
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ BOQ=2∠ BPQ=2×45°=90°$，
∵ OB、OQ均为⊙O的半径，⊙O半径为4，
∴ $OB=OQ=4$，
在$Rt△ BOQ$中，由勾股定理得：
$BQ=\sqrt{OB^2+OQ^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于圆周角相关的基础题型，解题核心是通过圆周角定理将已知的圆周角转化为圆心角，构造出直角三角形后即可快速求解，掌握圆周角相关定理是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
9. 在半径为1的圆中，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是
$45°$或$135°$
。答案
9. $45°$或$135°$
解析
【分析】
解题时首先连接弦的两个端点与圆心，构造圆心角所在的三角形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数；再根据圆周角定理得到其中一个圆周角的度数，最后注意弦所对的弧有劣弧和优弧两种，对应的圆周角有两个，结合圆内接四边形的对角互补求出另一个圆周角即可。
【解析】
设半径为1的⊙O中，弦$AB=\sqrt{2}$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=1$，$AB=\sqrt{2}$
$\therefore OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore OA^2 + OB^2 = AB^2$，即$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$
①当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90°=45°$；
②当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，根据圆内接四边形对角互补，可得该圆周角的度数为$180° - 45°=135°$。
综上，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是$45°$或$135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
勾股定理逆定理，圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，分别位于弦的两侧，解题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先连接弦的两个端点与圆心，构造圆心角所在的三角形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数；再根据圆周角定理得到其中一个圆周角的度数，最后注意弦所对的弧有劣弧和优弧两种，对应的圆周角有两个，结合圆内接四边形的对角互补求出另一个圆周角即可。
【解析】
设半径为1的⊙O中，弦$AB=\sqrt{2}$，连接$OA$、$OB$。
$\because OA=OB=1$，$AB=\sqrt{2}$
$\therefore OA^2 + OB^2 = 1^2 + 1^2 = 2$，$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$
$\therefore OA^2 + OB^2 = AB^2$，即$△ AOB$为直角三角形，$∠ AOB=90°$
①当圆周角的顶点在优弧$AB$上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得该圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×90°=45°$；
②当圆周角的顶点在劣弧$AB$上时，根据圆内接四边形对角互补，可得该圆周角的度数为$180° - 45°=135°$。
综上，长度等于$\sqrt{2}$的弦所对的圆周角的度数是$45°$或$135°$。
【答案】
$45°$或$135°$
【知识点】
勾股定理逆定理，圆周角定理，圆内接四边形性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的圆周角有两种情况，分别位于弦的两侧，解题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
