10. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ C=70°$，求$∠ A$的度数.

10. $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ B=∠ C=70°,\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$,即$∠ A$的度数为$40°$

【分析】
解题时首先观察已知条件，已知同圆中$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，根据圆周角的相关性质，同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等，可先得到$∠ B$和$∠ C$的等量关系；再结合已知$∠ C=70°$，就能求出$∠ B$的度数；最后根据三角形内角和为$180°$，代入两个底角的度数即可算出$∠ A$的大小。
【解析】
解：$\because$ 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
$\therefore$ 根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠ B=∠ C=70°$
又$\because$ 三角形内角和为$180°$
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-70°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
圆周角定理推论；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用同圆中等弧对等圆周角的性质得到三角形两个底角相等，再结合三角形内角和计算待求角度，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

11. 如图，在等腰三角形ABC中，$AB=AC$，$\odot O$过点B，C且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：$BD=CE$.

11. $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C,\therefore \overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BE},\therefore \overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DE},\therefore \overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{BD},\therefore BD=EC$

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先由等腰三角形AB=AC的性质，可得两底角∠B=∠C；其次观察∠B、∠C都是⊙O的圆周角，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，可推出∠B对应的$\overset{\frown}{DC}$和∠C对应的$\overset{\frown}{BE}$相等；再对这两段等弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{DE}$，即可得到$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CE}$；最后根据同圆中等弧对等弦，就能证得BD=CE。
【解析】
证明：
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=∠ C$，
$\because ∠ B$、$∠ C$是$\odot O$的圆周角，
$\therefore \overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{BE}$，
$\therefore \overset{\frown}{DC}-\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore BD=EC$。
【答案】
$BD=CE$
【知识点】
等腰三角形性质，圆周角定理，弧弦关系
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题核心是通过角的相等关系推导弧的相等关系，再经过弧的和差转化得到待证线段对应的弧相等，最终得到线段相等，侧重对基础定理的理解与应用考查。
【难度系数】
0.7

12. 如图，AB，AC，MN是$\odot O$的弦，MN分别交AB，AC于点D，E，$AB=AC$，$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$。
（1）若$∠ A=44°$，则$\overset{\frown}{AB}$的度数为°。
（2）求证：$AD=AE$。

12. （1）如图，连接$OB,OC,\because ∠ A=44°,\therefore ∠ BOC=2∠ A=88°,\therefore \overset{\frown}{BC}=88°,\because AB=AC,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}=\frac{360°-88°}{2}=136°$ （2）连接$AM,AN,\because \overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN},\therefore AM=AN. \therefore ∠ AMD=∠ ANE.$ 由(1)知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}.\therefore ∠ MAD=∠ NAE,\therefore △ ADM≌ △ AEN(ASA),\therefore AD=AE$

【分析】
（1）要求弧AB的度数，需明确弧的度数等于它所对圆心角的度数。已知圆周角∠A，根据圆周角定理可先求出弧BC对应的圆心角∠BOC，得到弧BC的度数；再结合AB=AC可知弧AB与弧AC度数相等，结合圆周总度数360°即可计算出弧AB的度数。
（2）要证明AD=AE，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。首先连接AM、AN，由弧AM=弧AN可得AM=AN，且对应底角相等；再结合弧AB=弧AC，减去相等的弧AM、AN可得弧BM=弧CN，进而得到对应圆周角∠MAD=∠NAE，即可通过ASA证明△ADM≌△AEN，从而得到AD=AE。
【解析】
（1）解：连接OB、OC，
∵ 同弧BC所对的圆心角是圆周角的2倍，∠A=44°，
∴ ∠BOC=2∠A=88°，即弧BC的度数为88°，
又
∵ AB=AC，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ 弧AB的度数为$\frac{360°-88°}{2}=136°$。
（2）证明：连接AM、AN，
∵ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AN}$，
∴ AM=AN，∠AMD=∠ANE，
由AB=AC可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{AN}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CN}$，
∴ ∠MAD=∠NAE，
在△ADM和△AEN中：
$\{\begin{array}{l}∠AMD=∠ANE \\AM=AN \\∠MAD=∠NAE\end{array} $
∴ △ADM≌△AEN（ASA），
∴ AD=AE。

【答案】
（1）$\boxed{136}$；（2）证明见上述解析。

【知识点】
圆周角定理；弧弦圆心角的关系；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、同圆中弧与弦、圆周角的对应关系，结合全等三角形的判定完成证明，作辅助线构造全等三角形是解题的突破口。
【难度系数】
0.7

13. 如图，已知在$\odot O$中，弦$AC$与弦$BD$相交于点$G$，连接$OG$，若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，求证：$OG$平分$∠ AGD$。

13. 连接$AB,CD,AO,DO,\therefore ∠ ABG=∠ DCG,∠ BAG=∠ CDG. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=DC.$ 在$△ ABG$和$△ DCG$中,$\begin{cases} ∠ ABG=∠ DCG, \\ AB=DC, \\ ∠ BAG=∠ CDG, \end{cases}$ $\therefore △ ABG≌ △ DCG(ASA). \therefore AG=DG.$ 在$△ AGO$和$△ DGO$中,$\begin{cases} AG=DG, \\ AO=DO, \\ GO=GO, \end{cases}$ $\therefore △ AGO≌ △ DGO(SSS). \therefore ∠ AGO=∠ DGO. \therefore OG$平分$∠ AGD$

【分析】
要证明OG平分∠AGD，只需证明∠AGO=∠DGO，可通过证明△AGO和△DGO全等来推导。首先由已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦可得AB=CD；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得到△ABG和△DCG的两组对应角相等，结合相等的边即可证这两个三角形全等，推得AG=DG；最后结合AO、DO都是圆的半径相等，OG为公共边，即可证△AGO≌△DGO，得到对应角相等，完成证明。
【解析】
证明：连接$AB,CD,AO,DO$，
根据圆周角定理得：$∠ ABG=∠ DCG,∠ BAG=∠ CDG$，
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，$\therefore AB=DC$，
在$△ ABG$和$△ DCG$中:
$\begin{cases} ∠ ABG=∠ DCG, \\ AB=DC, \\ ∠ BAG=∠ CDG, \end{cases}$
$\therefore △ ABG≌ △ DCG(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AG=DG$，
在$△ AGO$和$△ DGO$中:
$\begin{cases} AG=DG, \\ AO=DO(\mathrm{同圆半径相等}), \\ GO=GO(\mathrm{公共边}), \end{cases}$
$\therefore △ AGO≌ △ DGO(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AGO=∠ DGO$，即$OG$平分$∠ AGD$。
【答案】
连接$AB,CD,AO,DO,\therefore ∠ ABG=∠ DCG,∠ BAG=∠ CDG. \because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=DC.$ 在$△ ABG$和$△ DCG$中,$\begin{cases} ∠ ABG=∠ DCG, \\ AB=DC, \\ ∠ BAG=∠ CDG, \end{cases}$ $\therefore △ ABG≌ △ DCG(ASA). \therefore AG=DG.$ 在$△ AGO$和$△ DGO$中,$\begin{cases} AG=DG, \\ AO=DO, \\ GO=GO, \end{cases}$ $\therefore △ AGO≌ △ DGO(SSS). \therefore ∠ AGO=∠ DGO. \therefore OG$平分$∠ AGD$
【知识点】
弧与弦的关系，圆周角定理，全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和全等三角形的应用，解题关键是合理构造辅助线，利用等弧的性质推导边和角的等量关系，通过两次全等证明得到角相等，是圆章节的基础典型习题。
【难度系数】
0.7