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10.已知三条线段的长分别为1cm，2cm，$\sqrt{2}$cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为
$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$
或$\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cm}$或$\sqrt{2}\mathrm{cm}$
.答案
10.$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cm}$或$\sqrt{2}\mathrm{cm}$
解析
【分析】
本题考查成比例线段的相关计算，解题时首先回忆成比例线段的定义：若四条线段是成比例线段，则满足比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积。由于题目没有给出四条线段的排列顺序，未知线段的位置不固定，因此需要分三种情况讨论，分别让未知线段与三条已知线段中的一条作为比例外项，剩余两条作为比例内项，列方程求解即可。
【解析】
设另外一条线段的长为$x\ \mathrm{cm}$，根据成比例线段的性质，分以下三种情况：
1. 当$x$与$1\mathrm{cm}$为比例外项时：
$1× x=2×\sqrt{2}$
解得$x=2\sqrt{2}$
2. 当$x$与$2\mathrm{cm}$为比例外项时：
$2× x=1×\sqrt{2}$
解得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 当$x$与$\sqrt{2}\mathrm{cm}$为比例外项时：
$\sqrt{2}× x=1×2$
解得$x=\sqrt{2}$
以上三种结果均为正数，符合线段长度的要求。
【答案】
$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cm}$或$\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质
【点评】
本题易因忽略成比例线段未指定顺序的情况导致漏解，解题时需全面考虑所有可能的比例搭配，确保答案完整。
【难度系数】
0.6
本题考查成比例线段的相关计算，解题时首先回忆成比例线段的定义：若四条线段是成比例线段，则满足比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积。由于题目没有给出四条线段的排列顺序，未知线段的位置不固定，因此需要分三种情况讨论，分别让未知线段与三条已知线段中的一条作为比例外项，剩余两条作为比例内项，列方程求解即可。
【解析】
设另外一条线段的长为$x\ \mathrm{cm}$，根据成比例线段的性质，分以下三种情况：
1. 当$x$与$1\mathrm{cm}$为比例外项时：
$1× x=2×\sqrt{2}$
解得$x=2\sqrt{2}$
2. 当$x$与$2\mathrm{cm}$为比例外项时：
$2× x=1×\sqrt{2}$
解得$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
3. 当$x$与$\sqrt{2}\mathrm{cm}$为比例外项时：
$\sqrt{2}× x=1×2$
解得$x=\sqrt{2}$
以上三种结果均为正数，符合线段长度的要求。
【答案】
$2\sqrt{2}\mathrm{cm}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{cm}$或$\sqrt{2}\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段的定义，比例的基本性质
【点评】
本题易因忽略成比例线段未指定顺序的情况导致漏解，解题时需全面考虑所有可能的比例搭配，确保答案完整。
【难度系数】
0.6
11. 等腰直角三角形斜边与斜边上的高的比是（
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
B
）A.$1:2$
B.$2:1$
C.$1:\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}:1$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时可从等腰直角三角形的特殊性质入手：首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知等腰直角三角形斜边上的高同时是斜边上的中线；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接得到斜边与高的数量关系，进而求出比值；也可以通过设直角边长度，用勾股定理求斜边，再用面积法计算斜边上的高，最后作比得到结果。
【解析】
方法1：利用特殊三角形性质求解
根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰直角三角形斜边上的高与斜边上的中线重合。
又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，设斜边长为$c$，斜边上的高为$h$，则$h=\frac{1}{2}c$。
因此斜边与斜边上的高的比为$c:h = c:\frac{1}{2}c = 2:1$。
方法2：设值计算验证
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由勾股定理可得斜边长$c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2}× a× a = \frac{1}{2}× c× h$，将$c=\sqrt{2}a$代入得：
$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a× h$，解得$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$。
因此斜边与高的比为$\sqrt{2}a:\frac{a}{\sqrt{2}}=2:1$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形性质，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，将特殊三角形的性质与比例计算相结合，熟练掌握等腰直角三角形的相关性质即可快速得出答案，主要考查学生对基础知识点的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.85
解题时可从等腰直角三角形的特殊性质入手：首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知等腰直角三角形斜边上的高同时是斜边上的中线；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接得到斜边与高的数量关系，进而求出比值；也可以通过设直角边长度，用勾股定理求斜边，再用面积法计算斜边上的高，最后作比得到结果。
【解析】
方法1：利用特殊三角形性质求解
根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰直角三角形斜边上的高与斜边上的中线重合。
又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，设斜边长为$c$，斜边上的高为$h$，则$h=\frac{1}{2}c$。
因此斜边与斜边上的高的比为$c:h = c:\frac{1}{2}c = 2:1$。
方法2：设值计算验证
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由勾股定理可得斜边长$c=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
根据三角形面积相等可得：$\frac{1}{2}× a× a = \frac{1}{2}× c× h$，将$c=\sqrt{2}a$代入得：
$\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a× h$，解得$h=\frac{a}{\sqrt{2}}$。
因此斜边与高的比为$\sqrt{2}a:\frac{a}{\sqrt{2}}=2:1$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形性质，比例计算
【点评】
本题属于基础题型，将特殊三角形的性质与比例计算相结合，熟练掌握等腰直角三角形的相关性质即可快速得出答案，主要考查学生对基础知识点的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.85
12.若$3a=4b(ab≠0)$，则下列比例式正确的是（
A.$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$
B.$\frac{4}{a}=\frac{3}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$
D.$\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$
B
）A.$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$
B.$\frac{4}{a}=\frac{3}{b}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$
D.$\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$
答案
12.B
解析
【分析】
这道题考查比例基本性质的应用，解题核心思路是利用“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，再和题干给出的$3a=4b(ab≠0)$对比，等积式一致的即为正确选项，解题时逐个验证即可，避免混淆比例内外项出错。
【解析】
根据比例的基本性质：比例中两个内项的积等于两个外项的积，将各选项转化为等积式逐一验证：
1. 验证选项A：对$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，A错误；
2. 验证选项B：对$\frac{4}{a}=\frac{3}{b}$交叉相乘，得$3a=4b$，与题干条件完全一致，B正确；
3. 验证选项C：对$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，C错误；
4. 验证选项D：对$\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$交叉相乘，得$ab=12$，与题干$3a=4b$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、等积式与比例式互化
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘的方法可快速验证比例式是否符合已知的等积条件，方法固定，计算量小。
【难度系数】
0.85
这道题考查比例基本性质的应用，解题核心思路是利用“比例的两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为等积式，再和题干给出的$3a=4b(ab≠0)$对比，等积式一致的即为正确选项，解题时逐个验证即可，避免混淆比例内外项出错。
【解析】
根据比例的基本性质：比例中两个内项的积等于两个外项的积，将各选项转化为等积式逐一验证：
1. 验证选项A：对$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，A错误；
2. 验证选项B：对$\frac{4}{a}=\frac{3}{b}$交叉相乘，得$3a=4b$，与题干条件完全一致，B正确；
3. 验证选项C：对$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$交叉相乘，得$4a=3b$，与题干$3a=4b$不符，C错误；
4. 验证选项D：对$\frac{a}{3}=\frac{4}{b}$交叉相乘，得$ab=12$，与题干$3a=4b$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
比例的基本性质、等积式与比例式互化
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握比例的基本性质，通过交叉相乘的方法可快速验证比例式是否符合已知的等积条件，方法固定，计算量小。
【难度系数】
0.85
13.已知a、b、c为$△ ABC$的三边长，且$△ ABC$的周长是60cm，$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求a、b、c的长。
答案
13. 解:设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$,则$a=3k,b=4k,c=5k$. 由题意,得$3k+4k+5k=60$. 解得$k=5$. $\therefore a=15\mathrm{cm},b=20\mathrm{cm},c=25\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，可先设比例系数为k，将a、b、c三个边长都用含k的代数式表示，再结合三角形周长为60cm的条件，列出关于k的一元一次方程，求出k的取值后，再分别计算三边的长度即可。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$。
由题意，三角形周长为60cm，因此三边之和为60，列方程得：
$3k+4k+5k=60$
合并同类项得$12k=60$，解得$k=5$。
将$k=5$代入得：
$a=3×5=15\mathrm{cm}$，$b=4×5=20\mathrm{cm}$，$c=5×5=25\mathrm{cm}$。
【答案】
$a=15\mathrm{cm},b=20\mathrm{cm},c=25\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段、三角形周长公式、一元一次方程应用
【点评】
本题是比例性质的基础应用类题目，核心考查连比问题的常用解法——设参数法，结合已知的周长条件即可快速求解，掌握设参数的技巧能有效提升这类比例问题的解题效率。
【难度系数】
0.85
遇到连等的比例式时，可先设比例系数为k，将a、b、c三个边长都用含k的代数式表示，再结合三角形周长为60cm的条件，列出关于k的一元一次方程，求出k的取值后，再分别计算三边的长度即可。
【解析】
设$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$，则$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$。
由题意，三角形周长为60cm，因此三边之和为60，列方程得：
$3k+4k+5k=60$
合并同类项得$12k=60$，解得$k=5$。
将$k=5$代入得：
$a=3×5=15\mathrm{cm}$，$b=4×5=20\mathrm{cm}$，$c=5×5=25\mathrm{cm}$。
【答案】
$a=15\mathrm{cm},b=20\mathrm{cm},c=25\mathrm{cm}$
【知识点】
成比例线段、三角形周长公式、一元一次方程应用
【点评】
本题是比例性质的基础应用类题目，核心考查连比问题的常用解法——设参数法，结合已知的周长条件即可快速求解，掌握设参数的技巧能有效提升这类比例问题的解题效率。
【难度系数】
0.85
14.如图，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，$AB=10$，$\frac{AP}{BP}=\frac{AQ}{BQ}=\frac{3}{2}$，求线段PQ的长。
答案
14. 解:$\because AB=10,\frac{AP}{BP}=\frac{3}{2}, \therefore AP=6,BP=4$. 又$\because \frac{AQ}{BQ}=\frac{3}{2}, \therefore AQ=30,BQ=20, \therefore PQ=24$.
解析
【分析】
解题时先处理线段AB上的点P：根据AP与BP的比例关系，结合AP+BP=AB的和差关系，可求出BP的长度；再处理AB延长线上的点Q：根据AQ与BQ的比例关系，结合AQ-BQ=AB的和差关系，可求出BQ的长度；最后PQ的长度为BP与BQ的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：设$AP=3k$，$BP=2k$，
∵点P在线段AB上，$AB=10$，
∴$AP+BP=AB$，即$3k+2k=10$，
解得$k=2$，
∴$BP=2×2=4$。
设$AQ=3x$，$BQ=2x$，
∵点Q在线段AB的延长线上，
∴$AQ-BQ=AB$，即$3x-2x=10$，
解得$x=10$，
∴$BQ=2×10=20$。
∴$PQ=BP+BQ=4+20=24$。
【答案】
24
【知识点】
成比例线段；线段和差计算
【点评】
本题核心是结合点的位置梳理线段的和差关系，配合比例性质设参数求解即可，解题时需注意区分点在线段上、线段延长线时对应的和差关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题时先处理线段AB上的点P：根据AP与BP的比例关系，结合AP+BP=AB的和差关系，可求出BP的长度；再处理AB延长线上的点Q：根据AQ与BQ的比例关系，结合AQ-BQ=AB的和差关系，可求出BQ的长度；最后PQ的长度为BP与BQ的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：设$AP=3k$，$BP=2k$，
∵点P在线段AB上，$AB=10$，
∴$AP+BP=AB$，即$3k+2k=10$，
解得$k=2$，
∴$BP=2×2=4$。
设$AQ=3x$，$BQ=2x$，
∵点Q在线段AB的延长线上，
∴$AQ-BQ=AB$，即$3x-2x=10$，
解得$x=10$，
∴$BQ=2×10=20$。
∴$PQ=BP+BQ=4+20=24$。
【答案】
24
【知识点】
成比例线段；线段和差计算
【点评】
本题核心是结合点的位置梳理线段的和差关系，配合比例性质设参数求解即可，解题时需注意区分点在线段上、线段延长线时对应的和差关系，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是（
A.$AB^2=AC· CB$
B.$CB^2=AC· AB$
C.$AC^2=BC· AB$
D.$AC^2=2BC· AB$
C
）A.$AB^2=AC· CB$
B.$CB^2=AC· AB$
C.$AC^2=BC· AB$
D.$AC^2=2BC· AB$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：①点C是线段AB的黄金分割点；②AC＞BC，由此可知AC是较长的分割线段，BC是较短的分割线段。接下来回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比。根据定义列出比例式后，再利用比例的基本性质将比例式转化为等积式，最后和选项逐一比对即可得到正确答案。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘得：
$AC^2=BC·AB$
对比各选项，只有C选项符合该式。
【答案】
C
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握黄金分割的定义，注意题干中AC＞BC的限定条件，避免混淆较长线段和较短线段的位置导致列式错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干关键信息：①点C是线段AB的黄金分割点；②AC＞BC，由此可知AC是较长的分割线段，BC是较短的分割线段。接下来回忆黄金分割的定义：将一条线段分割为两部分，较长部分与整条线段的长度比等于较短部分与较长部分的长度比。根据定义列出比例式后，再利用比例的基本性质将比例式转化为等积式，最后和选项逐一比对即可得到正确答案。
【解析】
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC
∴根据黄金分割的定义可得：$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘得：
$AC^2=BC·AB$
对比各选项，只有C选项符合该式。
【答案】
C
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 比例的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是准确掌握黄金分割的定义，注意题干中AC＞BC的限定条件，避免混淆较长线段和较短线段的位置导致列式错误。
【难度系数】
0.8
2.若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC＞BC，则AC的长为
$4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
.答案
2.$4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先要明确黄金分割的定义：若一个点将一条线段分为长短两段，满足较长线段是较短线段与原线段的比例中项，则该点为线段的黄金分割点，且较长线段与原线段的比值为固定值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题明确给出AC＞BC，说明AC是较长线段，因此直接用AB的长度乘黄金比值即可求出AC的长度，解题时需注意不要混淆长短段对应的比例关系。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$
∴AC为较长线段，满足$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
又
∵$AB=8\mathrm{cm}$
∴$AC=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【答案】
$4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割的概念、比例线段计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记黄金分割的固定比值，同时注意题干中$AC＞BC$的限定条件，避免混淆长短线段的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确黄金分割的定义：若一个点将一条线段分为长短两段，满足较长线段是较短线段与原线段的比例中项，则该点为线段的黄金分割点，且较长线段与原线段的比值为固定值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题明确给出AC＞BC，说明AC是较长线段，因此直接用AB的长度乘黄金比值即可求出AC的长度，解题时需注意不要混淆长短段对应的比例关系。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$
∴AC为较长线段，满足$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
又
∵$AB=8\mathrm{cm}$
∴$AC=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【答案】
$4(\sqrt{5}-1)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割的概念、比例线段计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是牢记黄金分割的固定比值，同时注意题干中$AC＞BC$的限定条件，避免混淆长短线段的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：
点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足$\frac{MG}{MN}=\frac{GN}{MG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，后人把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点。如图
，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为
点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足$\frac{MG}{MN}=\frac{GN}{MG}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，后人把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点。如图
，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为$10-4\sqrt{5}$
。答案
3.$10-4\sqrt{5}$
解析
【分析】
要计算△ADE的面积，首先明确△ADE与等腰△ABC同高，所以只需分别求出BC边上的高和线段DE的长度即可：①先利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理算出BC边上的高；②根据黄金分割点的定义，算出BC上较长分割段的长度，再推导得到DE的长度；③最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC=3，BC=4，等腰三角形三线合一，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵D、E是BC的两个黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BC上的较长分割段长度为$BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，即$CD=BE=2\sqrt{5}-2$。
则$BD=BC-CD=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$，同理$EC=6-2\sqrt{5}$。
∴$DE=BC-BD-EC=4-2×(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。
△ADE的面积：$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AH=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
【答案】
$10-4\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合黄金分割的新定义考查三角形相关计算，解题核心是准确理解黄金分割点的含义，正确推导DE的长度，同时需熟练运用等腰三角形性质和勾股定理求解高。
【难度系数】
0.6
要计算△ADE的面积，首先明确△ADE与等腰△ABC同高，所以只需分别求出BC边上的高和线段DE的长度即可：①先利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理算出BC边上的高；②根据黄金分割点的定义，算出BC上较长分割段的长度，再推导得到DE的长度；③最后用三角形面积公式计算结果。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC=3，BC=4，等腰三角形三线合一，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$。
∵D、E是BC的两个黄金分割点，黄金分割比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴BC上的较长分割段长度为$BC×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$，即$CD=BE=2\sqrt{5}-2$。
则$BD=BC-CD=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$，同理$EC=6-2\sqrt{5}$。
∴$DE=BC-BD-EC=4-2×(6-2\sqrt{5})=4\sqrt{5}-8$。
△ADE的面积：$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× DE× AH=\frac{1}{2}×(4\sqrt{5}-8)×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(20-8\sqrt{5})=10-4\sqrt{5}$。
【答案】
$10-4\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题结合黄金分割的新定义考查三角形相关计算，解题核心是准确理解黄金分割点的含义，正确推导DE的长度，同时需熟练运用等腰三角形性质和勾股定理求解高。
【难度系数】
0.6
