登录
1.如图，点B在线段AD上，且$BD=3AB$，点C是线段BD的中点，若$CD=6\ \mathrm{cm}$，求线段AC的长.
答案
解:因为点C是线段BD的中点,所以$BC=CD=6\ \mathrm{cm}$,$BD=2CD=2×6=12(\mathrm{cm})$.因为$BD=3AB$,所以$AB=4\ \mathrm{cm}$,所以$AC=AB+BC=4+6=10(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先已知点C是BD的中点，且CD=6cm，根据线段中点的性质，可先求出BC和BD的长度；再结合BD=3AB的倍分关系，算出AB的长度；最后观察线段AC的组成，AC由AB和BC两部分组成，将二者长度相加即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵点C是线段BD的中点，
∴BC=CD=6 cm，BD=2CD=2×6=12(cm)。
又
∵BD=3AB，
∴AB=BD÷3=12÷3=4(cm)。
∵AC=AB+BC，
∴AC=4+6=10(cm)。
【答案】
10 cm
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、线段倍分关系
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，从已知的线段长度和特殊点（中点）的性质入手逐步推导，即可求出未知线段的长度。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先已知点C是BD的中点，且CD=6cm，根据线段中点的性质，可先求出BC和BD的长度；再结合BD=3AB的倍分关系，算出AB的长度；最后观察线段AC的组成，AC由AB和BC两部分组成，将二者长度相加即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵点C是线段BD的中点，
∴BC=CD=6 cm，BD=2CD=2×6=12(cm)。
又
∵BD=3AB，
∴AB=BD÷3=12÷3=4(cm)。
∵AC=AB+BC，
∴AC=4+6=10(cm)。
【答案】
10 cm
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、线段倍分关系
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，从已知的线段长度和特殊点（中点）的性质入手逐步推导，即可求出未知线段的长度。
【难度系数】
0.8
2.已知点C在线段AB上，AC=2BC，AB=48.点D,E在线段AB上，点D在点E的左侧，点E在点C的右侧，DE=16，线段DE在线段AB上移动.
(1)如图①，当点E为BC的中点时，求AD的长；
(2)如图②，当AD=5CE时，求BE的长.
(1)如图①，当点E为BC的中点时，求AD的长；
(2)如图②，当AD=5CE时，求BE的长.
答案
(1)因为$AC=2BC$,$AB=48$,所以$AB=AC+BC=2BC+BC=3BC$,所以$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×48=16$,所以$AC=2BC=2×16=32$.因为点E为BC的中点,所以$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$.因为$DE=16$,所以$AD=AB-BE-DE=48-8-16=24$;
(2)因为$AC=32$,$DE=16$,所以$DC=AC-AD=32-AD$,$DC=DE-CE=16-CE$,所以$32-AD=16-CE$.又因为$AD=5CE$,所以$32-5CE=16-CE$,所以$CE=4$,所以$BE=BC-CE=16-4=12$.
(2)因为$AC=32$,$DE=16$,所以$DC=AC-AD=32-AD$,$DC=DE-CE=16-CE$,所以$32-AD=16-CE$.又因为$AD=5CE$,所以$32-5CE=16-CE$,所以$CE=4$,所以$BE=BC-CE=16-4=12$.
解析
【分析】
解决本题首先要先求出AC、BC的长度，这是两问共用的前提条件：根据AC与BC的倍数关系及AB的总长，利用线段和的关系即可算出二者长度。(1)问中，先利用线段中点的性质求出BE的长度，再根据AB总长等于AD、DE、BE三段之和，代入数值就能求出AD；(2)问中，找到公共线段DC的两种不同表示方式，结合AD=5CE的条件建立关于CE的方程，求出CE后再用BC减CE就能得到BE的长度。
【解析】
(1) 已知$AC=2BC$，$AB=48$，根据线段和的关系$AB=AC+BC$，代入得：
$AB=2BC+BC=3BC$，因此$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×48=16$，则$AC=2BC=2×16=32$。
因为点E为BC的中点，根据线段中点的定义，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$。
又已知$DE=16$，结合线段和差关系$AB=AD+DE+BE$，可得：
$AD=AB-DE-BE=48-16-8=24$。
(2) 由前面计算已知$AC=32$，$BC=16$，$DE=16$。
观察线段可得DC的两种表达形式：
① $DC=AC-AD=32-AD$；
② $DC=DE-CE=16-CE$。
因此可得等式：$32-AD=16-CE$。
又已知$AD=5CE$，将其代入上式得：
$32-5CE=16-CE$，
移项合并得$4CE=16$，解得$CE=4$。
根据线段和差关系$BE=BC-CE$，代入得：
$BE=16-4=12$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，第一问直接考查线段和差与中点性质的基础应用，第二问通过同一线段的不同表达建立等量关系，是解决线段动态问题的常用思路，熟练掌握这类方法能有效提升线段相关计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要先求出AC、BC的长度，这是两问共用的前提条件：根据AC与BC的倍数关系及AB的总长，利用线段和的关系即可算出二者长度。(1)问中，先利用线段中点的性质求出BE的长度，再根据AB总长等于AD、DE、BE三段之和，代入数值就能求出AD；(2)问中，找到公共线段DC的两种不同表示方式，结合AD=5CE的条件建立关于CE的方程，求出CE后再用BC减CE就能得到BE的长度。
【解析】
(1) 已知$AC=2BC$，$AB=48$，根据线段和的关系$AB=AC+BC$，代入得：
$AB=2BC+BC=3BC$，因此$BC=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×48=16$，则$AC=2BC=2×16=32$。
因为点E为BC的中点，根据线段中点的定义，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$。
又已知$DE=16$，结合线段和差关系$AB=AD+DE+BE$，可得：
$AD=AB-DE-BE=48-16-8=24$。
(2) 由前面计算已知$AC=32$，$BC=16$，$DE=16$。
观察线段可得DC的两种表达形式：
① $DC=AC-AD=32-AD$；
② $DC=DE-CE=16-CE$。
因此可得等式：$32-AD=16-CE$。
又已知$AD=5CE$，将其代入上式得：
$32-5CE=16-CE$，
移项合并得$4CE=16$，解得$CE=4$。
根据线段和差关系$BE=BC-CE$，代入得：
$BE=16-4=12$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{12}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题是线段计算的常规题型，第一问直接考查线段和差与中点性质的基础应用，第二问通过同一线段的不同表达建立等量关系，是解决线段动态问题的常用思路，熟练掌握这类方法能有效提升线段相关计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 如图,已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$,$CD=2\ \mathrm{cm}$,线段$CD$在线段$AB$上运动,点$E$,$F$分别是$AC$,$BD$的中点.
(1)若$AC=4\ \mathrm{cm}$,则$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$;
(2)当线段$CD$在线段$AB$上运动时,试判断$EF$的长度是否发生变化?如果不变,请求出$EF$的长度;如果变化,请说明理由.
(1)若$AC=4\ \mathrm{cm}$,则$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$;
(2)当线段$CD$在线段$AB$上运动时,试判断$EF$的长度是否发生变化?如果不变,请求出$EF$的长度;如果变化,请说明理由.
答案
(1)7
(2)EF的长度不发生变化.因为$AB=12\ \mathrm{cm}$,$CD=2\ \mathrm{cm}$,所以$AC+BD=AB-CD=12-2=10(\mathrm{cm})$.因为点E,F分别是AC,BD的中点,所以$CE=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}BD$,所以$CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以$EF=CE+DF+CD=5+2=7(\mathrm{cm})$.
(2)EF的长度不发生变化.因为$AB=12\ \mathrm{cm}$,$CD=2\ \mathrm{cm}$,所以$AC+BD=AB-CD=12-2=10(\mathrm{cm})$.因为点E,F分别是AC,BD的中点,所以$CE=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}BD$,所以$CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以$EF=CE+DF+CD=5+2=7(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
第（1）问解题思路：先根据线段AB、AC、CD的长度求出BD的长度，再结合点E、F分别是AC、BD中点的性质，求出CE和DF的长度，最后根据EF=CE+CD+DF代入数值计算即可。
第（2）问解题思路：要判断EF长度是否变化，只需将EF用已知的固定长度AB、CD表示即可。首先推导可得AC+BD=AB-CD为定值，再结合中点性质得到CE+DF是(AC+BD)的一半，同样为定值，最后将CE+DF与CD相加即可得到EF的固定值。
【解析】
(1) 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，因此$BD=AB-AC-CD=12-4-2=6\ \mathrm{cm}$。
因为点E是AC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$；
因为点F是BD的中点，所以$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$；
因此$EF=CE+CD+DF=2+2+3=7\ \mathrm{cm}$。
(2) EF的长度不发生变化，理由如下：
因为$AB=12\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，所以$AC+BD=AB-CD=12-2=10\ \mathrm{cm}$。
因为点E，F分别是AC，BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$，
因此$CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
所以$EF=CE+DF+CD=5+2=7\ \mathrm{cm}$，即EF长度固定为7cm，不随CD的运动发生变化。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) EF的长度不发生变化，EF的长度为$\boxed{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义
【点评】
本题重点考查线段和差运算与线段中点性质的应用，解决动态线段定值问题的核心是找到图形中的不变量，将待求线段拆分为已知线段的和或差的形式，结合性质推导即可得到结论。
【难度系数】
0.7
第（1）问解题思路：先根据线段AB、AC、CD的长度求出BD的长度，再结合点E、F分别是AC、BD中点的性质，求出CE和DF的长度，最后根据EF=CE+CD+DF代入数值计算即可。
第（2）问解题思路：要判断EF长度是否变化，只需将EF用已知的固定长度AB、CD表示即可。首先推导可得AC+BD=AB-CD为定值，再结合中点性质得到CE+DF是(AC+BD)的一半，同样为定值，最后将CE+DF与CD相加即可得到EF的固定值。
【解析】
(1) 已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，因此$BD=AB-AC-CD=12-4-2=6\ \mathrm{cm}$。
因为点E是AC的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$；
因为点F是BD的中点，所以$DF=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$；
因此$EF=CE+CD+DF=2+2+3=7\ \mathrm{cm}$。
(2) EF的长度不发生变化，理由如下：
因为$AB=12\ \mathrm{cm}$，$CD=2\ \mathrm{cm}$，所以$AC+BD=AB-CD=12-2=10\ \mathrm{cm}$。
因为点E，F分别是AC，BD的中点，所以$CE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$，
因此$CE+DF=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，
所以$EF=CE+DF+CD=5+2=7\ \mathrm{cm}$，即EF长度固定为7cm，不随CD的运动发生变化。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) EF的长度不发生变化，EF的长度为$\boxed{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段的和差计算、线段中点的定义
【点评】
本题重点考查线段和差运算与线段中点性质的应用，解决动态线段定值问题的核心是找到图形中的不变量，将待求线段拆分为已知线段的和或差的形式，结合性质推导即可得到结论。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知点 D 是线段 AB 上一点,点 C 是线段 AB 的中点,若 $AB=8\ \mathrm{cm},BD=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求线段 CD 的长;
(2)若点 E 是直线 AB 上一点,且 $BE=\frac{1}{3}BD$,求线段 AE 的长.
(1)求线段 CD 的长;
(2)若点 E 是直线 AB 上一点,且 $BE=\frac{1}{3}BD$,求线段 AE 的长.
答案
(1)因为点C是线段AB的中点,$AB=8\ \mathrm{cm}$,所以$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$,所以$CD=BC-BD=4-3=1(\mathrm{cm})$;
(2)因为$BD=3\ \mathrm{cm}$,所以$BE=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}×3=1(\mathrm{cm})$.分以下两种情况讨论:①当点E在点B的右侧时,如答图①
.$AE=AB+BE=8+1=9(\mathrm{cm})$.②当点E在点B的左侧时,如答图②
.$AE=AB-BE=8-1=7(\mathrm{cm})$.综上所述,AE的长为9 cm或7 cm.解析
【分析】
(1) 求解线段CD的长度时，首先利用线段中点的性质求出BC的长度，再根据线段的和差关系，CD等于BC减去BD，代入已知数值即可得到结果。
(2) 先根据BD的长度求出BE的长度，由于点E在直线AB上，位置不固定，因此需要分两种情况讨论：当E在B点右侧时，AE为AB与BE的和；当E在B点左侧时，AE为AB与BE的差，分别计算两种情况即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 已知点C是线段AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据线段中点的定义：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$
又$BD=3\ \mathrm{cm}$，由线段的和差关系可得$CD=BC-BD$，代入数值计算：
$CD=4-3=1(\mathrm{cm})$
(2) 已知$BD=3\ \mathrm{cm}$，$BE=\frac{1}{3}BD$，因此：
$BE=\frac{1}{3}×3=1(\mathrm{cm})$
因为点E在直线AB上，位置不确定，分两种情况讨论：
①当点E在点B的右侧时，如答图①，此时$AE=AB+BE$，代入得：
$AE=8+1=9(\mathrm{cm})$
②当点E在点B的左侧时，如答图②，此时$AE=AB-BE$，代入得：
$AE=8-1=7(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)线段CD的长为$1\ \mathrm{cm}$；
(2)线段AE的长为$9\ \mathrm{cm}$或$7\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，第一问直接利用线段中点性质和和差关系即可求解，第二问需要注意直线可以向两端无限延伸的特点，点的位置存在两种可能，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解线段CD的长度时，首先利用线段中点的性质求出BC的长度，再根据线段的和差关系，CD等于BC减去BD，代入已知数值即可得到结果。
(2) 先根据BD的长度求出BE的长度，由于点E在直线AB上，位置不固定，因此需要分两种情况讨论：当E在B点右侧时，AE为AB与BE的和；当E在B点左侧时，AE为AB与BE的差，分别计算两种情况即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 已知点C是线段AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据线段中点的定义：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{cm})$
又$BD=3\ \mathrm{cm}$，由线段的和差关系可得$CD=BC-BD$，代入数值计算：
$CD=4-3=1(\mathrm{cm})$
(2) 已知$BD=3\ \mathrm{cm}$，$BE=\frac{1}{3}BD$，因此：
$BE=\frac{1}{3}×3=1(\mathrm{cm})$
因为点E在直线AB上，位置不确定，分两种情况讨论：
①当点E在点B的右侧时，如答图①
，此时$AE=AB+BE$，代入得：$AE=8+1=9(\mathrm{cm})$
②当点E在点B的左侧时，如答图②
，此时$AE=AB-BE$，代入得：$AE=8-1=7(\mathrm{cm})$
【答案】
(1)线段CD的长为$1\ \mathrm{cm}$；
(2)线段AE的长为$9\ \mathrm{cm}$或$7\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于线段计算的常规题型，第一问直接利用线段中点性质和和差关系即可求解，第二问需要注意直线可以向两端无限延伸的特点，点的位置存在两种可能，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
