14.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,D,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,E.
(1)若△ADE的周长为15 cm,求BC的长;
(2)分别延长MD,NE,相交于点O.
①求证点O在线段BC的垂直平分线上;
②若∠DOE=76°,则∠B+∠C=.

14.(1)$BC=15\ \mathrm{cm}$ (2)①略 ②$76°$

【分析】
(1) 解题思路：遇到垂直平分线首先回忆其性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由此可得AD=BD、AE=CE，将△ADE的周长进行等量替换，即可直接得到BC的长度。
(2) ① 解题思路：要证明点在某线段的垂直平分线上，只需证明该点到线段两个端点的距离相等。连接OA、OB、OC，利用O在AB、AC的垂直平分线上，可得OA=OB、OA=OC，等量代换得OB=OC即可得证。
② 解题思路：先在含两个直角的四边形AMON中，利用四边形内角和求出∠BAC的度数，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠B+∠C的度数。
【解析】
(1)
∵ DM是AB的垂直平分线，点D在DM上
∴ AD = BD
∵ EN是AC的垂直平分线，点E在EN上
∴ AE = CE
∵ △ADE的周长 = AD + DE + AE = 15 cm
∴ BC = BD + DE + CE = AD + DE + AE = 15 cm
(2) ① 证明：连接OA、OB、OC
∵ O在AB的垂直平分线MD上
∴ OA = OB
∵ O在AC的垂直平分线NE上
∴ OA = OC
∴ OB = OC
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
② 解：在四边形AMON中，∠AMO=90°，∠ANO=90°，∠DOE=76°
∵ 四边形内角和为360°
∴ ∠BAC = 360° - 90° - 90° - 76° = 104°
在△ABC中，∠B + ∠C + ∠BAC = 180°
∴ ∠B + ∠C = 180° - 104° = 76°
【答案】
(1) $BC=15\ \mathrm{cm}$；(2) ①证明见解析；②$76°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的核心知识点命题，考查了线段长度的等量转化、垂直平分线的判定方法，同时结合四边形和三角形内角和求解角度，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质与判定，灵活运用角度和线段的等量代换。
【难度系数】
0.7

15.如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC$的平分线$AD$与边$BC$的垂直平分线$DE$相交于点$D$，过点$D$作$DM ⊥ AB$，垂足为$M$，$DN ⊥ AC$，交$AC$的延长线于点$N$。
(1)求证$BM=CN$；
(2)若$AB=11$，$AC=5$，求$BM$的长。

15.(1)略 (2)3

【分析】
(1) 要证$BM=CN$，可通过证明二者所在的直角三角形全等推导：首先利用角平分线的性质得到$DM=DN$，再利用线段垂直平分线的性质得到$BD=CD$，最后用HL定理证明两个直角三角形全等即可得结论。
(2) 求$BM$的长时，先证明$△ AMD≌△ AND$得到$AM=AN$，再将$AM$、$AN$用$AB$、$AC$、$BM$、$CN$表示，结合第一问$BM=CN$的结论，列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接$BD$、$CD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DM⊥ AB$，$DN⊥ AC$，
$\therefore DM=DN$，$∠ DMB=∠ DNC=90°$。
$\because DE$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore BD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ DMB$和$\mathrm{Rt}△ DNC$中：
$\begin{cases}BD=CD\\DM=DN\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DMB≌\mathrm{Rt}△ DNC(\mathrm{HL})$，
$\therefore BM=CN$。
(2) 解：在$△ AMD$和$△ AND$中：
$\begin{cases}∠ AMD=∠ AND=90°\\∠ MAD=∠ NAD\\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ AMD≌△ AND(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM=AN$。
设$BM=x$，由(1)知$CN=BM=x$，
$\because AM=AB-BM=11-x$，$AN=AC+CN=5+x$，
$\therefore 11-x=5+x$，
解得$x=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何中常见的性质定理和全等三角形的应用，解题关键是正确构造全等三角形，第二问结合方程思想能快速求出线段长度。
【难度系数】
0.7