9.我们知道，$|a|$可以理解为$|a-0|$，表示数$a$到原点的距离，这是绝对值的几何意义。进一步地，数轴上两个点$A$，$B$分别用数$a$，$b$表示，那么$A$，$B$两点之间的距离为$AB=|a-b|$。例如：$|3-2|$指数轴上表示3和2的两点之间的距离，值为1；$|(-3)-(-2)|$指数轴上表示$-3$和$-2$的两点之间的距离，值为1。

问题：
(1)$|a-1|$指数轴上表示和的两点之间的距离；若$|a-1|$的值为1，则$a$的值为；
(2)$|a+2|$指数轴上表示$a$和的两点之间的距离；
(3)若$|a-3|$与$|a+2|$的和为5，且$a$为整数，则$a$可以取；
(4)若$|a-3|$与$|a+2|$的和为7，则整数$a$的值为。

9.(1)a 1 2或0 (2)-2 (3)3,2,1,0,-1,-2 (4)-3或4

【分析】
本题核心利用题目给出的绝对值几何意义：数轴上表示数a和数b的两点距离为|a-b|，所有问题围绕该结论展开：
1. 第(1)问直接套用距离公式，|a-1|对应a和1的距离，距离为1时分点在1的左侧、右侧两种情况计算a的值；
2. 第(2)问将|a+2|变形为|a-(-2)|，即可对应找到两点对应的数；
3. 第(3)问先计算3和-2本身的距离为5，可知当a在-2到3之间（含端点）时，a到两点的距离和刚好为5，提取区间内的整数即可；
4. 第(4)问距离和为7，大于3和-2的固有距离5，说明a在-2左侧或3右侧，分别计算两侧符合条件的整数a即可。
【解析】
(1) 根据两点距离公式$|a-b|$表示a、b的距离，可知$|a-1|=|a-1|$，是表示数a和数1的两点距离；
若$|a-1|=1$，则$a-1=1$或$a-1=-1$，解得$a=2$或$a=0$。
(2) $|a+2|=|a-(-2)|$，因此表示数a和数-2的两点距离。
(3) 先计算3和-2的固有距离：$|3-(-2)|=5$，因此当a在-2和3之间（包含-2和3）时，a到3和a到-2的距离和刚好为5，区间内的整数为：-2、-1、0、1、2、3。
(4) 当距离和为7，比5多2，说明a不在-2到3的区间内：
① 若a在-2左侧，设a与-2的距离为$d(d＞0)$，则总距离和为$5+2d=7$，解得$d=1$，因此$a=-2-1=-3$；
② 若a在3右侧，设a与3的距离为$d(d＞0)$，则总距离和为$5+2d=7$，解得$d=1$，因此$a=3+1=4$。
综上整数a的值为-3或4。
【答案】
(1)a，1，2或0；(2)-2；(3)3,2,1,0,-1,-2；(4)-3或4
【知识点】
绝对值的几何意义、数轴的应用、绝对值方程求解
【点评】
本题将绝对值运算和数轴的距离概念结合，把抽象的代数计算转化为直观的数轴位置问题，是绝对值章节的典型拓展题型，掌握该方法可以大幅简化同类绝对值求和问题的计算过程。
【难度系数】
0.6

10.有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则$a,b,-a,|b|$的大小关系正确的是（）


A.$|b|＞a＞-a＞b$
B.$|b|＞b＞a＞-a$
C.$a＞|b|＞b＞-a$
D.$a＞|b|＞-a＞b$

10.A

【分析】
解题时先利用数轴的性质判断a、b的正负和绝对值大小：数轴上原点左侧的数为负，右侧的数为正，点到原点的距离越远，绝对值越大，可得b＜0＜a且|b|＞a。再将待比较的数分为正数、负数两类分别比较：正数有|b|、a，结合|b|＞a可得|b|＞a；负数有-a、b，根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”，由|b|＞|-a|可得b＜-a。最后结合正数大于负数，就能得到四个数的大小顺序。
【解析】
解：由数轴可得：$ b ＜ 0 ＜ a $，且$ b $到原点的距离大于$ a $到原点的距离，即$ |b| ＞ a $。
∵ $ a＞0 $，
∴ $ -a ＜ 0 $，且$ |-a|=a $。
正数都大于负数，因此较大的两个数为$ |b| $和$ a $，结合$ |b|＞a $，可得$ |b|＞a $；
较小的两个数为负数$ -a $和$ b $，根据负数比较大小的规则：绝对值大的数反而小，
∵$ |b|＞a=|-a| $，
∴$ b ＜ -a $。
综上，大小关系为$ |b|＞a＞-a＞b $。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是数轴应用的典型题目，解题核心是通过数轴直观得到数的正负和绝对值大小关系，再分类比较数的大小，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7

11. 已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，用“＜”号或“＞”号填空：b c，|a| |c|，-a -c.

11.＞ ＜ ＜

【分析】
解题时先利用数轴的基本性质确定数的大小和距离特征：数轴上从左到右的数逐渐增大，绝对值表示数轴上的点到原点的距离，正数大于负数。首先根据数轴判断出$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且点$c$到原点的距离大于点$a$到原点的距离，再依次分析三个比较问题：①$b$在$c$右侧，所以$b$更大；②$a$到原点的距离更近，所以$|a|$更小；③$-a$是负数，$-c$是正数，所以$-a$更小。
【解析】
由数轴可得$c ＜ b ＜ 0 ＜ a$，且点$c$到原点的距离大于点$a$到原点的距离：
1. 比较$b$和$c$：数轴上右侧的数总大于左侧的数，$b$位于$c$的右侧，因此$b ＞ c$。
2. 比较$|a|$和$|c|$：绝对值是数轴上点到原点的距离，点$a$到原点的距离小于点$c$到原点的距离，因此$|a| ＜ |c|$。
3. 比较$-a$和$-c$：$a$是正数，故$-a$为负数；$c$是负数，故$-c$为正数，正数大于负数，因此$-a ＜ -c$。
【答案】
＞ ＜ ＜
【知识点】
数轴的性质；绝对值的定义；有理数大小比较
【点评】
本题是数轴应用的基础常考题，解题核心是熟练掌握数轴上数的大小规律、绝对值的几何意义，能快速根据点的位置判断数的正负和大小关系。
【难度系数】
0.8

12.如图，四个有理数在数轴上的对应点分别是M，N，P，Q.若点M，Q表示的有理数互为相反数，则图中字母表示的数中，绝对值最小的点是.

12.N

【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称，由此可以确定原点的位置是线段MQ的中点；第二步，回忆绝对值的几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示该数的点到原点的距离，因此绝对值最小的点就是离原点最近的点；第三步，观察四个点的位置，判断哪个点距离MQ的中点（原点）最近，即可得到答案。
【解析】
解：
∵点M、Q表示的有理数互为相反数，
∴数轴的原点是线段MQ的中点，原点位于点N和点P之间。
又
∵一个数的绝对值是数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越近，绝对值越小，
观察点的位置可知，点N到原点的距离比点M、P、Q都小，
∴绝对值最小的点是N。
【答案】
N
【知识点】
数轴的认识；相反数的意义；绝对值的意义
【点评】
本题将数轴、相反数、绝对值的知识点结合考查，解题的核心是先利用相反数的性质确定原点的位置，再结合绝对值的几何意义判断距离原点最近的点，掌握相关几何性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

13. 在数轴上有三个点A,B,C(如图).
(1)数轴上与点B相距5个单位长度的点M所表示的数为;
(2)在数轴上表示:将点C向左移动6个单位到达点D,点A的相反数为点E,并用“＜”号把B,D,E三点所表示的数连接起来.

13.解:(1)-6或4 (2)在数轴上表示如图所示： 由数轴,得点D表示-3,点E表示4,点B表示-1,故-3＜-1＜4。

【分析】
(1) 先确定点B在数轴上表示的数是-1，与点B相距5个单位长度的点有2个，分别位于点B的左侧和右侧：左侧的点比B小5，右侧的点比B大5，分别计算即可得到M表示的数。
(2) 首先根据“数轴上点向左移动，数值减少”的规律计算点D表示的数；再根据相反数的定义求出点E表示的数；最后根据数轴上“左边的数总小于右边的数”的规律，比较B、D、E三点的数的大小即可。
【解析】
(1) 由数轴可知，点B表示的数为-1。
当点M在点B左侧时，M表示的数为：$-1 - 5 = -6$；
当点M在点B右侧时，M表示的数为：$-1 + 5 = 4$；
因此点M表示的数为-6或4。
(2) 由数轴可知，点C表示的数为3，向左移动6个单位得到点D，则D表示的数为：$3 - 6 = -3$；
点A表示的数为-4，它的相反数是4，因此点E表示的数为4；
点B表示的数为-1，根据数轴上数的大小规律，可得大小关系为$-3 ＜ -1 ＜ 4$。
【答案】
(1)-6或4
(2)在数轴上表示如图所示： 由数轴,得点D表示-3,点E表示4,点B表示-1,故-3＜-1＜4。
【知识点】
数轴的应用，相反数，有理数大小比较
【点评】
本题考查数轴的相关应用，解题时需注意：距离某一固定点一定单位长度的点有两个，分别在该点的左右两侧，避免漏解；同时熟练掌握点的平移规律“左减右加”和数轴上数的大小比较规则，即可快速解题。
【难度系数】
0.8

14.(1)借助数轴,回答下列问题:
①从-1到1有3个整数,分别是;
②从-2到2有5个整数,分别是;
③从-3到3有7个整数,分别是;
④从-100到100有个整数;
⑤从-n到n有个整数;(n为整数)
(2)根据以上规律,从-3.9到3.9有个整数,从-10.1到10.1有个整数;
(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长度为1 000 cm的线段AB,线段AB盖住的整数点最多有多少个?

14.解:(1)①-1,0,1 ②-2,-1,0,1,2 ③-3,-2,-1,0,1,2,3 ④201 ⑤(2n+1) (2)7 21 (3)1 001个。

【分析】
解题时先结合数轴上整数的分布特征，从特殊的小数值范围入手找整数个数的规律：①整数包含负整数、0、正整数，先依次写出小范围的整数，观察数量规律；②对于包含小数的范围，先确定其覆盖的最小负整数和最大正整数，再套用得到的规律计算；③求线段覆盖最多整数点时，分端点在整数点和不在整数点两种情况讨论，对比得到最大值。
【解析】
(1)①数轴上-1到1之间的整数包含两端点和中间的0，即-1，0，1；
②同理，-2到2的整数为-2，-1，0，1，2；
③-3到3的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3；
④从-100到100，负整数有100个（-1~-100），正整数有100个（1~100），加上0，总个数为100+100+1=201；
⑤从-n到n，负整数共n个，正整数共n个，加上0，总个数为n+n+1=2n+1（n为整数）；
(2)从-3.9到3.9，覆盖的整数最小为-3，最大为3，代入规律得2×3+1=7个；从-10.1到10.1，覆盖的整数最小为-10，最大为10，代入规律得2×10+1=21个；
(3)分两种情况讨论：
①若线段AB的端点刚好在整数点上，例如左端点在整数k处，右端点就在k+1000处，覆盖的整数点为k, k+1, ..., k+1000，共1000+1=1001个；
②若线段AB的端点不在整数点上，覆盖的整数点共1000个；
对比可知，线段AB盖住的整数点最多有1001个。
【答案】
(1)①-1,0,1 ②-2,-1,0,1,2 ③-3,-2,-1,0,1,2,3 ④201 ⑤(2n+1) (2)7；21 (3)1001个
【知识点】
数轴的应用；整数的概念；规律探究
【点评】
本题通过数轴上整数点的计数问题，引导学生从特殊案例推导一般规律，再将规律应用到实际问题中，解题时需注意端点位置对整点计数的影响，避免漏考虑端点在整点的情况。
【难度系数】
0.7