登录
4. 有下列说法:① $△ ABC$中两个内角$∠ B,∠ C$的外角平分线(或延长线)与另一个内角$∠ A$的平分线交于一点;② $△ ABC$三个内角的平分线交于一点;③ $△ ABC$三条边的垂直平分线交于一点;④ $△ ABC$中到三条边距离都相等的点只有一个.
其中,说法正确的是.(填序号)
其中,说法正确的是.(填序号)
答案
解：
① 设∠B、∠C的外角平分线交于点P，根据角平分线的性质，点P到AB、BC、AC的距离相等，因此点P在∠A的平分线上，即∠B、∠C的外角平分线与∠A的平分线交于一点，①正确；
② 三角形三个内角的平分线交于一点，该点为三角形的内心，到三角形三边距离相等，②正确；
③ 三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点为三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等，③正确；
④ 三角形中到三条边距离都相等的点，包含1个内心和3个旁心，共4个，并非只有1个，④错误。
综上，说法正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
① 设∠B、∠C的外角平分线交于点P，根据角平分线的性质，点P到AB、BC、AC的距离相等，因此点P在∠A的平分线上，即∠B、∠C的外角平分线与∠A的平分线交于一点，①正确；
② 三角形三个内角的平分线交于一点，该点为三角形的内心，到三角形三边距离相等，②正确；
③ 三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点为三角形的外心，到三角形三个顶点的距离相等，③正确；
④ 三角形中到三条边距离都相等的点，包含1个内心和3个旁心，共4个，并非只有1个，④错误。
综上，说法正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3$,$BC=4$,将三角形沿DE折叠,使点C与A重合,则$△ ABE$的周长为.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
解：由折叠的性质可知，$AE = CE$。
$△ ABE$的周长$= AB + BE + AE$
$= AB + BE + CE$
$= AB + BC$
$\because AB=3$，$BC=4$，
$\therefore △ ABE$的周长$= 3 + 4 = 7$。
$△ ABE$的周长$= AB + BE + AE$
$= AB + BE + CE$
$= AB + BC$
$\because AB=3$，$BC=4$，
$\therefore △ ABE$的周长$= 3 + 4 = 7$。
6. 直角三角形斜边上中线的长为5，则这个直角三角形的斜边长为。
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知该直角三角形斜边上中线的长为5，
因此斜边长为 $ 2×5=10 $。
最终
已知该直角三角形斜边上中线的长为5，
因此斜边长为 $ 2×5=10 $。
最终
7. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，点$D$为$BC$的中点，$DE⊥ AC$，垂足为$E$，$AE=2$，则$CE$的长为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：连接AD。
∵ AB=AC，点D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 60°，∠C = $\frac{180°-120°}{2}$ = 30°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=∠DEC=90°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠DAE=30°，
∴ AD = 2AE = 2×2 = 4。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴ AC = 2AD = 8。
∴ CE = AC - AE = 8 - 2 = 6。
∵ AB=AC，点D为BC的中点，
∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵ ∠BAC=120°，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 60°，∠C = $\frac{180°-120°}{2}$ = 30°。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=∠DEC=90°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠DAE=30°，
∴ AD = 2AE = 2×2 = 4。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴ AC = 2AD = 8。
∴ CE = AC - AE = 8 - 2 = 6。
