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一、选择题
1. 已知等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$ cm，下列以点A为圆心的各圆中，半径是3 cm的圆是().
1. 已知等边三角形ABC的边长为$2\sqrt{3}$ cm，下列以点A为圆心的各圆中，半径是3 cm的圆是().
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
要判断以A为圆心、半径3cm的圆对应的选项，需先求出等边△ABC中点A到BC的距离，以及AB的长度，再结合直线与圆、点与圆的位置关系判定规则逐一筛选选项。第一步先计算等边三角形BC边上的高；第二步通过高和半径的大小关系判断BC与圆的位置关系，排除不符合的选项；第三步通过AB长度和半径的大小关系判断点B、C与圆的位置关系，最终锁定正确选项。
【解析】
已知等边△ABC的边长为$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$，取BC的中点E，连接AE，由等边三角形的性质可得$AE⊥ BC$，且$BE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3\mathrm{cm}$。
已知圆A半径$r=3\mathrm{cm}$：
1. 点A到直线BC的距离$d=AE=3\mathrm{cm}=r$，因此直线BC和圆A相切，只有1个公共点（切点为BC中点E），可排除B（BC与圆交于两点）、D（BC与圆无交点）选项；
2. $AB=2\sqrt{3}\approx3.464\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，即点B到圆心A的距离大于半径，点B在圆外，同理点C也在圆外，可排除A选项（B、C在圆上）。
因此符合条件的是C选项。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是通过计算等边三角形的高，结合位置关系的判定规则排除错误选项，是对基础几何性质和位置关系判定的综合考查。
【难度系数】
0.7
要判断以A为圆心、半径3cm的圆对应的选项，需先求出等边△ABC中点A到BC的距离，以及AB的长度，再结合直线与圆、点与圆的位置关系判定规则逐一筛选选项。第一步先计算等边三角形BC边上的高；第二步通过高和半径的大小关系判断BC与圆的位置关系，排除不符合的选项；第三步通过AB长度和半径的大小关系判断点B、C与圆的位置关系，最终锁定正确选项。
【解析】
已知等边△ABC的边长为$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$，取BC的中点E，连接AE，由等边三角形的性质可得$AE⊥ BC$，且$BE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，根据勾股定理：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{12-3}=3\mathrm{cm}$。
已知圆A半径$r=3\mathrm{cm}$：
1. 点A到直线BC的距离$d=AE=3\mathrm{cm}=r$，因此直线BC和圆A相切，只有1个公共点（切点为BC中点E），可排除B（BC与圆交于两点）、D（BC与圆无交点）选项；
2. $AB=2\sqrt{3}\approx3.464\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，即点B到圆心A的距离大于半径，点B在圆外，同理点C也在圆外，可排除A选项（B、C在圆上）。
因此符合条件的是C选项。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
等边三角形的性质，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系
【点评】
本题核心是通过计算等边三角形的高，结合位置关系的判定规则排除错误选项，是对基础几何性质和位置关系判定的综合考查。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB与$\odot O$切于点B，$AO=6\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为().
A.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
A.$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
D.$\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
遇到切线相关的计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径。因此我们可以连接圆心O和切点B，得到OB⊥AB，构造出直角三角形ABO，已知直角三角形的斜边AO和直角边AB的长度，直接用勾股定理就能求出另一条直角边OB的长度，也就是圆的半径。
【解析】
解：连接OB
∵AB与$\odot O$切于点B，根据切线的性质可得$OB⊥ AB$，即$△ ABO$是直角三角形，$∠ ABO=90°$
在$Rt△ ABO$中，$AO=6\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AO^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线相关计算的基础题型，核心解题思路是连接圆心与切点构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，掌握这个常用辅助线做法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到切线相关的计算问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径。因此我们可以连接圆心O和切点B，得到OB⊥AB，构造出直角三角形ABO，已知直角三角形的斜边AO和直角边AB的长度，直接用勾股定理就能求出另一条直角边OB的长度，也就是圆的半径。
【解析】
解：连接OB
∵AB与$\odot O$切于点B，根据切线的性质可得$OB⊥ AB$，即$△ ABO$是直角三角形，$∠ ABO=90°$
在$Rt△ ABO$中，$AO=6\ \mathrm{cm}$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AO^2-AB^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线相关计算的基础题型，核心解题思路是连接圆心与切点构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，掌握这个常用辅助线做法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB切$\odot O$于点B，连接OA交$\odot O$于点C，BD$//$OA交$\odot O$于点D，连接CD，若$∠ OCD=25°$，则$∠ A$的度数为().
A.$25°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
A.$25°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察到AB是圆的切线，根据切线性质优先连接切点与圆心OB，得到直角∠ABO，此时要求∠A，只需要求出∠AOB的度数即可。结合已知BD//OA，可利用平行线的内错角相等得到∠CDB=∠OCD，再通过圆周角定理得到∠AOB与∠CDB的数量关系，算出∠AOB后，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切$\odot O$于点B，
∴ OB⊥AB，即$∠ ABO=90°$，
∴ $∠ A + ∠ AOB = 90°$。
∵ BD$//$OA，$∠ OCD=25°$，
∴ $∠ CDB = ∠ OCD = 25°$（两直线平行，内错角相等）。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ CDB$均对应弧BC，
∴ $∠ AOB = 2∠ CDB = 2×25°=50°$。
∴ $∠ A = 90° - ∠ AOB = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质的综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线连接OB，再结合平行线性质、圆周角定理、直角三角形的角度关系逐步推导，考查了学生对基础定理的应用和角度转换的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到AB是圆的切线，根据切线性质优先连接切点与圆心OB，得到直角∠ABO，此时要求∠A，只需要求出∠AOB的度数即可。结合已知BD//OA，可利用平行线的内错角相等得到∠CDB=∠OCD，再通过圆周角定理得到∠AOB与∠CDB的数量关系，算出∠AOB后，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切$\odot O$于点B，
∴ OB⊥AB，即$∠ ABO=90°$，
∴ $∠ A + ∠ AOB = 90°$。
∵ BD$//$OA，$∠ OCD=25°$，
∴ $∠ CDB = ∠ OCD = 25°$（两直线平行，内错角相等）。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ AOB$和$∠ CDB$均对应弧BC，
∴ $∠ AOB = 2∠ CDB = 2×25°=50°$。
∴ $∠ A = 90° - ∠ AOB = 90° - 50° = 40°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题是圆的性质的综合基础题，解题的关键是正确作出辅助线连接OB，再结合平行线性质、圆周角定理、直角三角形的角度关系逐步推导，考查了学生对基础定理的应用和角度转换的能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\odot O$的直径为10 cm，点O到直线l的距离为d.
（1）若l与$\odot O$相切，则$d=$ cm；
（2）若$d=4$ cm，则l与$\odot O$有个公共点；
（3）若$d=6$ cm，则l与$\odot O$的位置关系是.
（1）若l与$\odot O$相切，则$d=$ cm；
（2）若$d=4$ cm，则l与$\odot O$有个公共点；
（3）若$d=6$ cm，则l与$\odot O$的位置关系是.
答案
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{2}$；（3）$\boldsymbol{相离}$。
解析
【分析】
解决本题首先要先求出圆的半径，已知圆的直径为10cm，可得半径r=5cm。直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d和半径r的大小关系决定：①d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；②d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点；③d＞r时，直线与圆相离，没有公共点。结合三个小问的已知条件，对应上述判定规则即可得出结果。
【解析】
先计算$\odot O$的半径：$\because$直径为10 cm，$\therefore$半径$r=10÷2=5$ cm。
（1）若l与$\odot O$相切，根据相切的判定规则，圆心到直线的距离等于半径，因此$d=r=5$ cm；
（2）若$d=4$ cm，$\because4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，$\therefore$直线l与$\odot O$相交，相交时直线与圆有2个公共点；
（3）若$d=6$ cm，$\because6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，$\therefore$直线l与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{2}$；（3）$\boldsymbol{相离}$
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定；2.圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆三种位置关系的判定，解题关键是牢记圆心到直线的距离d和圆半径r的大小对应关系，代入数值对比即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要先求出圆的半径，已知圆的直径为10cm，可得半径r=5cm。直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d和半径r的大小关系决定：①d=r时，直线与圆相切，有1个公共点；②d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点；③d＞r时，直线与圆相离，没有公共点。结合三个小问的已知条件，对应上述判定规则即可得出结果。
【解析】
先计算$\odot O$的半径：$\because$直径为10 cm，$\therefore$半径$r=10÷2=5$ cm。
（1）若l与$\odot O$相切，根据相切的判定规则，圆心到直线的距离等于半径，因此$d=r=5$ cm；
（2）若$d=4$ cm，$\because4\mathrm{cm}＜5\mathrm{cm}$，即$d＜r$，$\therefore$直线l与$\odot O$相交，相交时直线与圆有2个公共点；
（3）若$d=6$ cm，$\because6\mathrm{cm}＞5\mathrm{cm}$，即$d＞r$，$\therefore$直线l与$\odot O$的位置关系是相离。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{2}$；（3）$\boldsymbol{相离}$
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定；2.圆的半径与直径的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆三种位置关系的判定，解题关键是牢记圆心到直线的距离d和圆半径r的大小对应关系，代入数值对比即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 如图，AD是$\odot O$的直径，AB是$\odot O$的弦，BC与$\odot O$相切于点B，连接OB，若$∠ ABC = 65°$，则$∠ BOD$的度数为。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
解题时先利用切线的性质得到垂直关系，求出∠ABO的度数；再结合圆半径相等得到等腰三角形，推出底角∠OAB的度数；最后根据圆周角定理，即可求出圆心角∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵BC与$\odot O$相切于点B，由切线的性质可得$OB⊥ BC$，
∴$∠ OBC=90°$，
∵$∠ ABC=65°$，
∴$∠ ABO=∠ OBC-∠ ABC=90°-65°=25°$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$△ OAB$是等腰三角形，$∠ OAB=∠ ABO=25°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ OAB$是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BOD=2∠ OAB=2×25°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，解题核心是先通过切线性质得到垂直关系，再结合等腰三角形和圆周角定理逐步推导角度，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时先利用切线的性质得到垂直关系，求出∠ABO的度数；再结合圆半径相等得到等腰三角形，推出底角∠OAB的度数；最后根据圆周角定理，即可求出圆心角∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵BC与$\odot O$相切于点B，由切线的性质可得$OB⊥ BC$，
∴$∠ OBC=90°$，
∵$∠ ABC=65°$，
∴$∠ ABO=∠ OBC-∠ ABC=90°-65°=25°$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$△ OAB$是等腰三角形，$∠ OAB=∠ ABO=25°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，$∠ OAB$是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BOD=2∠ OAB=2×25°=50°$。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础角度计算题，解题核心是先通过切线性质得到垂直关系，再结合等腰三角形和圆周角定理逐步推导角度，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.85
6. 如图，木工用角尺的短边紧靠$\odot O$于点A，长边与$\odot O$相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知$AC=6\ \mathrm{cm}$，$CB=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为 cm. 
(第6题)
(第6题)答案
解：连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D。
∵ 长边与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥BC，OB=r。
∵ ∠C=90°，AD⊥OB，
∴ 四边形ACBD是矩形，
∴ AD=CB=8 cm，BD=AC=6 cm，∠ADO=90°。
∴ OD=OB - BD = r - 6。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA² = AD² + OD²，
又OA=r，代入得：
r² = 8² + (r - 6)²，
展开整理得12r=100，
解得r=25/3。
故答案为：$\dfrac{25}{3}$。
∵ 长边与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥BC，OB=r。
∵ ∠C=90°，AD⊥OB，
∴ 四边形ACBD是矩形，
∴ AD=CB=8 cm，BD=AC=6 cm，∠ADO=90°。
∴ OD=OB - BD = r - 6。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA² = AD² + OD²，
又OA=r，代入得：
r² = 8² + (r - 6)²，
展开整理得12r=100，
解得r=25/3。
故答案为：$\dfrac{25}{3}$。
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB，得到OA⊥AC，OB⊥BC。已知∠C是直角，此时四边形ACBD有三个直角，因此过点A作AD⊥OB，即可构造出矩形ACBD，将已知的AC=6cm、CB=8cm转化为直角三角形AOD的边长，设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D。
∵ 长边与⊙O相切于点B，短边紧靠⊙O于点A，
∴ OB⊥BC，OA⊥AC，OA=OB=r。
∵ ∠C=90°，AD⊥OB，
∴ 四边形ACBD是矩形，
∴ AD=CB=8 cm，BD=AC=6 cm，∠ADO=90°。
∴ OD=OB - BD = r - 6。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA² = AD² + OD²，
将OA=r代入得：
$r^2 = 8^2 + (r - 6)^2$，
展开整理得：$r^2=64+r^2-12r+36$，
消去$r^2$后得$12r=100$，
解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\dfrac{25}{3}$
【知识点】
切线的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关计算的典型题，解题的关键是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线做法，通过构造矩形和直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB，得到OA⊥AC，OB⊥BC。已知∠C是直角，此时四边形ACBD有三个直角，因此过点A作AD⊥OB，即可构造出矩形ACBD，将已知的AC=6cm、CB=8cm转化为直角三角形AOD的边长，设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形的各边，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：连接OA、OB，过点A作AD⊥OB于点D。
∵ 长边与⊙O相切于点B，短边紧靠⊙O于点A，
∴ OB⊥BC，OA⊥AC，OA=OB=r。
∵ ∠C=90°，AD⊥OB，
∴ 四边形ACBD是矩形，
∴ AD=CB=8 cm，BD=AC=6 cm，∠ADO=90°。
∴ OD=OB - BD = r - 6。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA² = AD² + OD²，
将OA=r代入得：
$r^2 = 8^2 + (r - 6)^2$，
展开整理得：$r^2=64+r^2-12r+36$，
消去$r^2$后得$12r=100$，
解得$r=\frac{25}{3}$。
【答案】
$\dfrac{25}{3}$
【知识点】
切线的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关计算的典型题，解题的关键是掌握“见切线，连半径，得垂直”的辅助线做法，通过构造矩形和直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
