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1.二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，且$a≠0)$中的$x$与$y$的部分对应值如表，下列结论错误的是(
A.当$x＞1$时，$y$的值随$x$的增大而增大
B.当$x=1$时，$y$取最大值4
C.对称轴是直线$x=1$
D.函数图象开口向下
A
). A.当$x＞1$时，$y$的值随$x$的增大而增大
B.当$x=1$时，$y$取最大值4
C.对称轴是直线$x=1$
D.函数图象开口向下
答案
1.A
解析
【分析】
解决本题的核心是先从表格数据中找到二次函数的对称轴，再结合函数值的变化判断开口方向、增减性和最值，逐一验证选项即可。首先观察到x=0和x=2对应的y值相等，说明这两个点关于抛物线对称轴对称，可先求出对称轴；再根据对称轴两侧y随x的变化趋势判断开口方向，进而判断各选项正误。
【解析】
1. 求对称轴：观察表格，当x=0和x=2时，y的值均为3，说明两点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故C选项结论正确。
2. 判断开口方向和最值：观察x＜1时，x从-1到0到1，y从0升高到4；x＞1时，x从1到2到3，y从4降低到0，说明抛物线开口向下，顶点为(1,4)，即x=1时y取最大值4，故B、D选项结论正确。
3. 判断增减性：由开口向下，对称轴为x=1可知，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，因此A选项结论错误。
题目要求选错误的结论，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题借助表格数据考查二次函数的基本特征，解题的关键是利用对称点快速确定对称轴，再结合函数值的变化规律判断开口、增减性和最值，属于基础的二次函数性质应用题。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先从表格数据中找到二次函数的对称轴，再结合函数值的变化判断开口方向、增减性和最值，逐一验证选项即可。首先观察到x=0和x=2对应的y值相等，说明这两个点关于抛物线对称轴对称，可先求出对称轴；再根据对称轴两侧y随x的变化趋势判断开口方向，进而判断各选项正误。
【解析】
1. 求对称轴：观察表格，当x=0和x=2时，y的值均为3，说明两点关于二次函数的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，故C选项结论正确。
2. 判断开口方向和最值：观察x＜1时，x从-1到0到1，y从0升高到4；x＞1时，x从1到2到3，y从4降低到0，说明抛物线开口向下，顶点为(1,4)，即x=1时y取最大值4，故B、D选项结论正确。
3. 判断增减性：由开口向下，对称轴为x=1可知，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，因此A选项结论错误。
题目要求选错误的结论，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题借助表格数据考查二次函数的基本特征，解题的关键是利用对称点快速确定对称轴，再结合函数值的变化规律判断开口、增减性和最值，属于基础的二次函数性质应用题。
【难度系数】
0.7
2.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象经过$(-1,0),(3,0),(0,3)$三点，若点$P(m,n)$在该函数图象上，且$-1＜m＜2$，则$n$的取值范围是(
A.$-1≤n＜4$
B.$0＜n≤4$
C.$0≤n＜4$
D.$0＜n≤3$
B
).A.$-1≤n＜4$
B.$0＜n≤4$
C.$0≤n＜4$
D.$0＜n≤3$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①已知二次函数与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设解析式，代入第三个点坐标即可求出函数解析式；②将解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，得到函数的最大值；③结合给定的m的取值范围，分析区间内函数的增减性，同时注意区间端点的取值是否能取到，最终确定n的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过$(-1,0)$、$(3,0)$两点
∴ 设函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$
将$(0,3)$代入解析式得：
$3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=-1$
∴ 函数解析式为$y=-(x+1)(x-3)$，整理为顶点式：
$y=-(x^2-2x-3)=-(x-1)^2+4$
由此可知：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，即函数最大值为4
已知$-1＜m＜2$：
① 当$x=1$时，$n$取最大值4，且$1$在$(-1,2)$范围内，故$n≤4$；
② 当$x$趋近于$-1$时，$n$趋近于0，且$x＞-1$，故$n＞0$；
③ 当$x=2$时，代入得$y=-(2-1)^2+4=3$，大于0。
综上，$n$的取值范围是$0＜n≤4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图象与性质
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题关键是先求出函数解析式，再结合抛物线的开口、对称轴判断区间内的函数值变化，需格外注意区间端点是否可取，避免因端点判断错误失分。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①已知二次函数与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设解析式，代入第三个点坐标即可求出函数解析式；②将解析式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，得到函数的最大值；③结合给定的m的取值范围，分析区间内函数的增减性，同时注意区间端点的取值是否能取到，最终确定n的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象过$(-1,0)$、$(3,0)$两点
∴ 设函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$
将$(0,3)$代入解析式得：
$3=a(0+1)(0-3)$，解得$a=-1$
∴ 函数解析式为$y=-(x+1)(x-3)$，整理为顶点式：
$y=-(x^2-2x-3)=-(x-1)^2+4$
由此可知：抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，即函数最大值为4
已知$-1＜m＜2$：
① 当$x=1$时，$n$取最大值4，且$1$在$(-1,2)$范围内，故$n≤4$；
② 当$x$趋近于$-1$时，$n$趋近于0，且$x＞-1$，故$n＞0$；
③ 当$x=2$时，代入得$y=-(2-1)^2+4=3$，大于0。
综上，$n$的取值范围是$0＜n≤4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数图象与性质
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题关键是先求出函数解析式，再结合抛物线的开口、对称轴判断区间内的函数值变化，需格外注意区间端点是否可取，避免因端点判断错误失分。
【难度系数】
0.7
3.二次函数$y=x^2+mx-2$的图象与$x$轴的一个交点坐标是$(2,0)$，则与$x$轴的另一个交点坐标为________，$m=\_\_\_\_\_\_$.
答案
3.$(-1,0)$，$-1$
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步，已知二次函数图象与x轴的一个交点(2,0)，该点坐标满足二次函数解析式，将其代入解析式即可求出参数m的值；第二步，求出m后得到完整的二次函数解析式，要求与x轴的另一个交点，可令y=0，解对应的一元二次方程，得到的另一个根就是另一个交点的横坐标，也可利用一元二次方程根与系数的关系直接求另一个根，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点$(2,0)$在二次函数$y=x^2+mx-2$的图象上
∴ 将$x=2$，$y=0$代入解析式得：
$0=2^2 + 2m - 2$
化简得$0=2 + 2m$
解得：$m=-1$
2. 求与x轴的另一个交点坐标：
代入$m=-1$得二次函数解析式为$y=x^2 - x - 2$
令$y=0$，得一元二次方程：$x^2 - x - 2=0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
∴ 另一个交点坐标为$(-1,0)$
（也可利用根与系数的关系求解：设方程两根为$x_1=2$、$x_2$，则$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$，得$x_2=-1$，对应交点为$(-1,0)$）
【答案】
$(-1,0)$；$-1$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数参数求解及与x轴交点的计算，核心是理解二次函数图象上的点满足函数解析式，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握解方程或根与系数的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：第一步，已知二次函数图象与x轴的一个交点(2,0)，该点坐标满足二次函数解析式，将其代入解析式即可求出参数m的值；第二步，求出m后得到完整的二次函数解析式，要求与x轴的另一个交点，可令y=0，解对应的一元二次方程，得到的另一个根就是另一个交点的横坐标，也可利用一元二次方程根与系数的关系直接求另一个根，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
1. 求m的值：
∵ 点$(2,0)$在二次函数$y=x^2+mx-2$的图象上
∴ 将$x=2$，$y=0$代入解析式得：
$0=2^2 + 2m - 2$
化简得$0=2 + 2m$
解得：$m=-1$
2. 求与x轴的另一个交点坐标：
代入$m=-1$得二次函数解析式为$y=x^2 - x - 2$
令$y=0$，得一元二次方程：$x^2 - x - 2=0$
因式分解得：$(x-2)(x+1)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-1$
∴ 另一个交点坐标为$(-1,0)$
（也可利用根与系数的关系求解：设方程两根为$x_1=2$、$x_2$，则$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$，得$x_2=-1$，对应交点为$(-1,0)$）
【答案】
$(-1,0)$；$-1$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数参数求解及与x轴交点的计算，核心是理解二次函数图象上的点满足函数解析式，二次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，熟练掌握解方程或根与系数的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则此函数的解析式为
$y=-x^2+2x+3$
。答案
4.$y=-x^2+2x+3$
解析
【分析】
首先观察二次函数图像，可获取三个关键点坐标：与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴的交点为$(0,3)$。求二次函数解析式可使用待定系数法，既可以设一般式代入三个点求解三元一次方程组，也可以利用x轴交点设交点式，简化计算步骤。
【解析】
方法一（交点式求解）：
∵ 二次函数图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$
∴ 设二次函数解析式为 $ y=a(x+1)(x-3) $（$a≠0$）
又
∵ 函数图像过点$(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式得：
$a×(0+1)×(0-3)=3$
解得 $a=-1$
将$a=-1$代入所设解析式并展开：
$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$
方法二（一般式求解）：
将点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,3)$分别代入 $y=ax^2+bx+c$ 得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，化简得：
$\begin{cases}a-b=-3 \\3a+b=-1\end{cases}$
两式相加得$4a=-4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入$a-b=-3$，解得$b=2$
∴ 函数解析式为$y=-x^2+2x+3$
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图像交点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是从图像中提取有效坐标信息，选择交点式求解相比一般式计算更简便，熟练掌握不同形式的二次函数解析式适用场景可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察二次函数图像，可获取三个关键点坐标：与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴的交点为$(0,3)$。求二次函数解析式可使用待定系数法，既可以设一般式代入三个点求解三元一次方程组，也可以利用x轴交点设交点式，简化计算步骤。
【解析】
方法一（交点式求解）：
∵ 二次函数图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$
∴ 设二次函数解析式为 $ y=a(x+1)(x-3) $（$a≠0$）
又
∵ 函数图像过点$(0,3)$，将$x=0,y=3$代入解析式得：
$a×(0+1)×(0-3)=3$
解得 $a=-1$
将$a=-1$代入所设解析式并展开：
$y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$
方法二（一般式求解）：
将点$(-1,0)$、$(3,0)$、$(0,3)$分别代入 $y=ax^2+bx+c$ 得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0 \\9a+3b+c=0 \\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，化简得：
$\begin{cases}a-b=-3 \\3a+b=-1\end{cases}$
两式相加得$4a=-4$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入$a-b=-3$，解得$b=2$
∴ 函数解析式为$y=-x^2+2x+3$
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数图像交点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是从图像中提取有效坐标信息，选择交点式求解相比一般式计算更简便，熟练掌握不同形式的二次函数解析式适用场景可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.如图，抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点.
(1)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点$P$，当点$P$在什么位置时，满足$S_{△ PAB}=8$？求此时点$P$的坐标.
(1)求该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点$P$，当点$P$在什么位置时，满足$S_{△ PAB}=8$？求此时点$P$的坐标.
答案
5.【解】(1)
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于$(-1,0),(3,0)$两点，
∴抛物线的解析式为$y=(x+1)(x-3)$，
即$y=(x-1)^2-4$。
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)设点$P$的纵坐标为$y_P$。
∵$S_{△PAB}=8$，
∴$\frac{1}{2}AB · |y_P|=8$。
∵$AB=4$，
∴$|y_P|=4$。解得$y_P=±4$。
把$y_P=4$代入解析式$y=x^2-2x-3$，得$4=x^2-2x-3$。解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$。
把$y_P=-4$代入解析式$y=x^2-2x-3$，得$x^2-2x+1=0$。
解得$x_3=x_4=1$。
∴点$P$的坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
∵抛物线$y=x^2+bx+c$与$x$轴交于$(-1,0),(3,0)$两点，
∴抛物线的解析式为$y=(x+1)(x-3)$，
即$y=(x-1)^2-4$。
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
(2)设点$P$的纵坐标为$y_P$。
∵$S_{△PAB}=8$，
∴$\frac{1}{2}AB · |y_P|=8$。
∵$AB=4$，
∴$|y_P|=4$。解得$y_P=±4$。
把$y_P=4$代入解析式$y=x^2-2x-3$，得$4=x^2-2x-3$。解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$。
把$y_P=-4$代入解析式$y=x^2-2x-3$，得$x^2-2x+1=0$。
解得$x_3=x_4=1$。
∴点$P$的坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可先通过交点式写出抛物线解析式，再转化为顶点式，即可直接得到对称轴和顶点坐标；也可利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，再代入解析式求顶点纵坐标。
(2) 三角形PAB的底AB长度固定，先计算AB的长，再结合三角形面积公式求出点P到x轴的距离，即点P纵坐标的绝对值，分纵坐标为4和-4两种情况，分别代入抛物线解析式求解对应的横坐标，即可得到点P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，因此可写出抛物线的交点式：
$y=(x+1)(x-3)$
展开并整理为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
因此抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 设动点$P$的纵坐标为$y_P$，AB的长度为$3-(-1)=4$。
根据三角形面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× 底 × 高$，此处高为点P到x轴的距离即$|y_P|$，已知$S_{△ PAB}=8$，代入得：
$\frac{1}{2}× 4 × |y_P|=8$
解得$|y_P|=4$，即$y_P=4$或$y_P=-4$。
① 当$y_P=4$时，代入抛物线解析式$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=4$，即$x^2-2x-7=0$
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$
② 当$y_P=-4$时，代入抛物线解析式得：
$x^2-2x-3=-4$，即$x^2-2x+1=0$
解得$x_3=x_4=1$
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) 点P的坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$、$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称轴与顶点，二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题关键是灵活运用二次函数的交点式、顶点式简化计算，处理面积问题时注意将面积条件转化为点的坐标特征，同时要考虑纵坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可先通过交点式写出抛物线解析式，再转化为顶点式，即可直接得到对称轴和顶点坐标；也可利用抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值，再代入解析式求顶点纵坐标。
(2) 三角形PAB的底AB长度固定，先计算AB的长，再结合三角形面积公式求出点P到x轴的距离，即点P纵坐标的绝对值，分纵坐标为4和-4两种情况，分别代入抛物线解析式求解对应的横坐标，即可得到点P的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，因此可写出抛物线的交点式：
$y=(x+1)(x-3)$
展开并整理为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
因此抛物线的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
(2) 设动点$P$的纵坐标为$y_P$，AB的长度为$3-(-1)=4$。
根据三角形面积公式$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× 底 × 高$，此处高为点P到x轴的距离即$|y_P|$，已知$S_{△ PAB}=8$，代入得：
$\frac{1}{2}× 4 × |y_P|=8$
解得$|y_P|=4$，即$y_P=4$或$y_P=-4$。
① 当$y_P=4$时，代入抛物线解析式$y=x^2-2x-3$得：
$x^2-2x-3=4$，即$x^2-2x-7=0$
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$
② 当$y_P=-4$时，代入抛物线解析式得：
$x^2-2x-3=-4$，即$x^2-2x+1=0$
解得$x_3=x_4=1$
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$；
(2) 点P的坐标为$(1+2\sqrt{2},4)$、$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的对称轴与顶点，二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题关键是灵活运用二次函数的交点式、顶点式简化计算，处理面积问题时注意将面积条件转化为点的坐标特征，同时要考虑纵坐标的正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
