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9.下列图形中:①线段,②等腰直角三角形,③矩形,④角,⑤正方形.是中心对称图形的是
①③⑤
.(填序号)答案
9.①③⑤
解析
【分析】
解题的核心是先明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合即为中心对称图形。接下来我们逐一判断每个给出的图形是否符合该标准，最终筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
首先明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。
对题干中的5个图形逐一判断：
①线段：将线段绕其中点旋转180°后，旋转后的线段与原线段完全重合，属于中心对称图形；
②等腰直角三角形：无论绕哪个点旋转180°，旋转后的图形都无法和原等腰直角三角形重合，不属于中心对称图形；
③矩形：将矩形绕两条对角线的交点旋转180°后，旋转后的矩形与原矩形完全重合，属于中心对称图形；
④角：将角绕任意点旋转180°后，角的开口方向与原角相反，无法与原图形重合，不属于中心对称图形；
⑤正方形：将正方形绕两条对角线的交点旋转180°后，旋转后的正方形与原正方形完全重合，属于中心对称图形。
综上，是中心对称图形的为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
中心对称图形的判定；常见几何图形的对称性
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对中心对称图形概念的掌握情况，解题时要注意区分中心对称图形和轴对称图形的判定差异，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
解题的核心是先明确中心对称图形的判定标准：平面内一个图形绕某点旋转180°后，旋转后的图形与原图形完全重合即为中心对称图形。接下来我们逐一判断每个给出的图形是否符合该标准，最终筛选出符合要求的序号即可。
【解析】
首先明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一固定点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形完全重合，该图形就是中心对称图形。
对题干中的5个图形逐一判断：
①线段：将线段绕其中点旋转180°后，旋转后的线段与原线段完全重合，属于中心对称图形；
②等腰直角三角形：无论绕哪个点旋转180°，旋转后的图形都无法和原等腰直角三角形重合，不属于中心对称图形；
③矩形：将矩形绕两条对角线的交点旋转180°后，旋转后的矩形与原矩形完全重合，属于中心对称图形；
④角：将角绕任意点旋转180°后，角的开口方向与原角相反，无法与原图形重合，不属于中心对称图形；
⑤正方形：将正方形绕两条对角线的交点旋转180°后，旋转后的正方形与原正方形完全重合，属于中心对称图形。
综上，是中心对称图形的为①③⑤。
【答案】
①③⑤
【知识点】
中心对称图形的判定；常见几何图形的对称性
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对中心对称图形概念的掌握情况，解题时要注意区分中心对称图形和轴对称图形的判定差异，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.9
10.如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A=60°，O是对角线的交点，过点O的三条线将菱形分成阴影和空白部分，则阴影部分的面积为
25√3
。答案
10.25√3
解析
【分析】
解题时首先利用中心对称的性质：菱形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，因此过O的直线分割出的阴影部分可与对应空白部分重合，可知阴影总面积等于菱形面积的一半；接下来计算菱形的总面积，将其除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算菱形ABCD的面积：
已知菱形边长为10，∠A=60°，过点D作AB边上的高h，
在含60°角的直角三角形中，$h = AD·\sin60° = 10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
菱形面积 $S_{\mathrm{菱形}} = \mathrm{底}×\mathrm{高} = AB× h = 10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
2. 计算阴影部分面积：
∵ 菱形是中心对称图形，对称中心为点O，
∴ 图中阴影部分的面积和为菱形面积的一半，
即 $S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×50\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
【答案】
$25\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，菱形面积计算
【点评】
本题将不规则阴影面积的计算转化为规则图形面积的计算，核心是利用中心对称的性质简化运算，无需分别计算各块阴影的面积，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用中心对称的性质：菱形是中心对称图形，对角线交点O是它的对称中心，因此过O的直线分割出的阴影部分可与对应空白部分重合，可知阴影总面积等于菱形面积的一半；接下来计算菱形的总面积，将其除以2即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算菱形ABCD的面积：
已知菱形边长为10，∠A=60°，过点D作AB边上的高h，
在含60°角的直角三角形中，$h = AD·\sin60° = 10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$，
菱形面积 $S_{\mathrm{菱形}} = \mathrm{底}×\mathrm{高} = AB× h = 10×5\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
2. 计算阴影部分面积：
∵ 菱形是中心对称图形，对称中心为点O，
∴ 图中阴影部分的面积和为菱形面积的一半，
即 $S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}×50\sqrt{3}=25\sqrt{3}$。
【答案】
$25\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，中心对称的性质，菱形面积计算
【点评】
本题将不规则阴影面积的计算转化为规则图形面积的计算，核心是利用中心对称的性质简化运算，无需分别计算各块阴影的面积，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$D$,$E$分别是边$AB$,$AC$的中点,将$△ ADE$绕点$E$旋转$180°$得到$△ CFE$.
求证:四边形$ADCF$是矩形.
求证:四边形$ADCF$是矩形.
答案
11.【证明】
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D是边AB的中点，
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
另证:
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点，
∴BC=2DE.
∴AC=2DE，
即AC=DF.
∴四边形ADCF是矩形.
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D是边AB的中点，
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
另证:
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点，
∴BC=2DE.
∴AC=2DE，
即AC=DF.
∴四边形ADCF是矩形.
解析
【分析】
要证明四边形ADCF是矩形，需遵循“先证平行四边形，再补充矩形判定条件”的思路：首先根据旋转180°的性质，可得对应点连线被旋转中心平分，即AE=CE、DE=EF，由此可判定对角线互相平分的四边形ADCF是平行四边形；接下来可通过两种思路推导矩形条件：一是利用等腰三角形三线合一的性质，证明∠ADC为直角；二是利用三角形中位线的性质，证明平行四边形的对角线AC和DF相等，两种思路均可完成证明。
【解析】
证明：
方法1：
∵△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
又
∵AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，即∠ADC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可证得平行四边形ADCF是矩形。
方法2：
∵△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，因此BC=2DE，结合AC=BC可得AC=2DE，而DF=DE+EF=2DE，即AC=DF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可证得平行四边形ADCF是矩形。
【答案】
证明：
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D是边AB的中点，
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
（或另证：
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点，
∴BC=2DE.
∴AC=2DE，
即AC=DF.
∴四边形ADCF是矩形.）
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于常规几何证明题，将旋转性质与特殊四边形的判定相结合，解题的关键是先通过旋转性质判定平行四边形，再结合等腰三角形或中位线的性质得到矩形的判定条件，需要同学们熟练掌握各类特殊四边形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要证明四边形ADCF是矩形，需遵循“先证平行四边形，再补充矩形判定条件”的思路：首先根据旋转180°的性质，可得对应点连线被旋转中心平分，即AE=CE、DE=EF，由此可判定对角线互相平分的四边形ADCF是平行四边形；接下来可通过两种思路推导矩形条件：一是利用等腰三角形三线合一的性质，证明∠ADC为直角；二是利用三角形中位线的性质，证明平行四边形的对角线AC和DF相等，两种思路均可完成证明。
【解析】
证明：
方法1：
∵△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
又
∵AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，即∠ADC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可证得平行四边形ADCF是矩形。
方法2：
∵△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ADCF是平行四边形。
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，DE是△ABC的中位线，因此BC=2DE，结合AC=BC可得AC=2DE，而DF=DE+EF=2DE，即AC=DF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可证得平行四边形ADCF是矩形。
【答案】
证明：
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D是边AB的中点，
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
（或另证：
∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE,DE=EF.
∴四边形ADCF是平行四边形.
又AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点，
∴BC=2DE.
∴AC=2DE，
即AC=DF.
∴四边形ADCF是矩形.）
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题属于常规几何证明题，将旋转性质与特殊四边形的判定相结合，解题的关键是先通过旋转性质判定平行四边形，再结合等腰三角形或中位线的性质得到矩形的判定条件，需要同学们熟练掌握各类特殊四边形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
12.如图,在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)在图①中确定格点D,并画出以A,B,C,D为顶点的四边形,使其为轴对称图形(画一个即可);
(2)在图②中确定格点E,并画出以A,B,C,E为顶点的四边形,使其为中心对称图形(画一个即可).
(1)在图①中确定格点D,并画出以A,B,C,D为顶点的四边形,使其为轴对称图形(画一个即可);
(2)在图②中确定格点E,并画出以A,B,C,E为顶点的四边形,使其为中心对称图形(画一个即可).
答案
12.【解】如图(答案不唯一).
解析
【分析】
要解决这两个作图问题，需紧扣两类图形的核心定义思考：
1. 第(1)问：轴对称图形的特征是沿某条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合。我们可以先观察A、B、C三点的位置，选择构造菱形、等腰梯形这类常见的轴对称图形，通过对称关系定位格点D，保证四点组成的图形满足轴对称要求即可。
2. 第(2)问：中心对称图形的特征是绕某一点旋转180°后能和自身重合，平行四边形是典型的中心对称图形，我们可以利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法，定位格点E，使四个点组成平行四边形即可满足要求。
【解析】
(1) 我们选择构造菱形ABCD（菱形属于轴对称图形）：根据格点位置，找到点D使得AB=BC=CD=DA，依次连接A、B、D、C、A，所得四边形沿AC所在直线折叠后两侧完全重合，符合轴对称图形要求。
(2) 我们选择构造平行四边形ABCE（平行四边形属于中心对称图形）：根据平行四边形对边平行且相等的性质，找到点E使得AB与CE平行且相等，依次连接A、B、E、C、A，所得四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合，符合中心对称图形要求。
（注：答案不唯一，只要符合两类图形的定义均正确）
【答案】
如图(答案不唯一).
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形、网格作图
【点评】
本题侧重考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与灵活应用，采用开放性网格作图的形式，难度不大，解题时牢牢抓住两类图形的核心特征就能快速找到符合要求的格点。
【难度系数】
0.7
要解决这两个作图问题，需紧扣两类图形的核心定义思考：
1. 第(1)问：轴对称图形的特征是沿某条直线折叠后，直线两侧的部分可以完全重合。我们可以先观察A、B、C三点的位置，选择构造菱形、等腰梯形这类常见的轴对称图形，通过对称关系定位格点D，保证四点组成的图形满足轴对称要求即可。
2. 第(2)问：中心对称图形的特征是绕某一点旋转180°后能和自身重合，平行四边形是典型的中心对称图形，我们可以利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法，定位格点E，使四个点组成平行四边形即可满足要求。
【解析】
(1) 我们选择构造菱形ABCD（菱形属于轴对称图形）：根据格点位置，找到点D使得AB=BC=CD=DA，依次连接A、B、D、C、A，所得四边形沿AC所在直线折叠后两侧完全重合，符合轴对称图形要求。
(2) 我们选择构造平行四边形ABCE（平行四边形属于中心对称图形）：根据平行四边形对边平行且相等的性质，找到点E使得AB与CE平行且相等，依次连接A、B、E、C、A，所得四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合，符合中心对称图形要求。
（注：答案不唯一，只要符合两类图形的定义均正确）
【答案】
如图(答案不唯一).
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形、网格作图
【点评】
本题侧重考查对轴对称、中心对称图形概念的理解与灵活应用，采用开放性网格作图的形式，难度不大，解题时牢牢抓住两类图形的核心特征就能快速找到符合要求的格点。
【难度系数】
0.7
