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1.单独使用下面哪些图形可以实现密铺？请在能密铺的图形下面画“√”，不能密铺的图形下面画“×”。
（
（
（
（
√
） （√
） （√
）（
×
） （√
） （×
）（
×
） （√
） （√
）答案
1.√,√,√,×,√,×,×,√,√
解析
【分析】
解题时首先要明确密铺的判断标准：用形状、大小完全相同的同一种图形拼接，彼此不留空隙、不重叠地铺满平面就是密铺。单个图形能密铺的核心条件是：拼接在同一个公共顶点处的几个内角的度数和恰好等于360°。接下来逐个对应9种常见图形判断：
1. 任意三角形：内角和为180°，6个相同的三角形内角可以在公共顶点凑出360°，可密铺；
2. 正方形：每个内角90°，4个内角拼接和为90°×4=360°，可密铺；
3. 长方形：每个内角也是90°，4个内角拼接和为360°，可密铺；
4. 正五边形：每个内角108°，找不到正整数n满足108°×n=360°，不可密铺；
5. 平行四边形：相邻两内角和为180°，4个内角拼接和为360°，可密铺；
6. 圆形：边缘为曲线，拼接时一定会出现空隙，不可密铺；
7. 正八边形：每个内角135°，找不到正整数n满足135°×n=360°，不可密铺；
8. 梯形：内角和为360°，4个不同内角可以在公共顶点凑出360°，可密铺；
9. 正六边形：每个内角120°，3个内角拼接和为120°×3=360°，可密铺。
【解析】
按照图形给出的先后顺序逐个判定：
1. 第一个图形（三角形）：能密铺，画√；
2. 第二个图形（正方形）：能密铺，画√；
3. 第三个图形（长方形）：能密铺，画√；
4. 第四个图形（正五边形）：不能密铺，画×；
5. 第五个图形（平行四边形）：能密铺，画√；
6. 第六个图形（圆形）：不能密铺，画×；
7. 第七个图形（正八边形）：不能密铺，画×；
8. 第八个图形（梯形）：能密铺，画√；
9. 第九个图形（正六边形）：能密铺，画√。
【答案】
√,√,√,×,√,×,×,√,√
【知识点】
密铺的判定；多边形内角和；平面图形拼接
【点评】
本题考察密铺概念的实际应用，需要结合常见平面图形的内角特点，依据密铺的核心判定规则作答，平时可以通过动手拼接的方式加深对密铺特征的理解，记忆常见的可密铺、不可密铺图形能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确密铺的判断标准：用形状、大小完全相同的同一种图形拼接，彼此不留空隙、不重叠地铺满平面就是密铺。单个图形能密铺的核心条件是：拼接在同一个公共顶点处的几个内角的度数和恰好等于360°。接下来逐个对应9种常见图形判断：
1. 任意三角形：内角和为180°，6个相同的三角形内角可以在公共顶点凑出360°，可密铺；
2. 正方形：每个内角90°，4个内角拼接和为90°×4=360°，可密铺；
3. 长方形：每个内角也是90°，4个内角拼接和为360°，可密铺；
4. 正五边形：每个内角108°，找不到正整数n满足108°×n=360°，不可密铺；
5. 平行四边形：相邻两内角和为180°，4个内角拼接和为360°，可密铺；
6. 圆形：边缘为曲线，拼接时一定会出现空隙，不可密铺；
7. 正八边形：每个内角135°，找不到正整数n满足135°×n=360°，不可密铺；
8. 梯形：内角和为360°，4个不同内角可以在公共顶点凑出360°，可密铺；
9. 正六边形：每个内角120°，3个内角拼接和为120°×3=360°，可密铺。
【解析】
按照图形给出的先后顺序逐个判定：
1. 第一个图形（三角形）：能密铺，画√；
2. 第二个图形（正方形）：能密铺，画√；
3. 第三个图形（长方形）：能密铺，画√；
4. 第四个图形（正五边形）：不能密铺，画×；
5. 第五个图形（平行四边形）：能密铺，画√；
6. 第六个图形（圆形）：不能密铺，画×；
7. 第七个图形（正八边形）：不能密铺，画×；
8. 第八个图形（梯形）：能密铺，画√；
9. 第九个图形（正六边形）：能密铺，画√。
【答案】
√,√,√,×,√,×,×,√,√
【知识点】
密铺的判定；多边形内角和；平面图形拼接
【点评】
本题考察密铺概念的实际应用，需要结合常见平面图形的内角特点，依据密铺的核心判定规则作答，平时可以通过动手拼接的方式加深对密铺特征的理解，记忆常见的可密铺、不可密铺图形能提升解题效率。
【难度系数】
0.7
2.下面的图案是由2个基本图形组成的，其中哪些是密铺？请在密铺图形的括号里画“√”，并在横线上画出这2个基本图形，不是密铺图形的括号里画“×”。
(1)
(
(2)
(
(3)
(
(1)
(√
) [图1]
(2)
(×
) (3)
(√
) [图2]
答案
2.(1)√，两个基本图形见
(2)× (3)√，两个基本图形见
解析
【分析】
解题时首先回忆密铺的判断标准：用几种平面图形拼接，能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺满一片平面，就属于密铺。接下来逐一判断每组图形：
1. 看第一组的两个图形，尝试拼接可知它们可以做到无空隙、不重叠拼接，符合密铺要求；
2. 第二组的两个图形拼接时无法避免出现空隙或者重叠，不符合密铺要求；
3. 第三组的正六边形和菱形拼接时，可以做到无空隙、不重叠拼接，符合密铺要求。
【解析】
根据密铺的定义：形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接时，不留空隙、不重叠地铺满平面，就是密铺。
(1) 该组的两个图形拼接可满足无空隙、不重叠的要求，属于密铺，因此括号内画√，基本图形见对应图示。
(2) 该组的两个图形无法做到无空隙、不重叠地铺满平面，不属于密铺，因此括号内画×。
(3) 该组的正六边形和菱形拼接可满足无空隙、不重叠的要求，属于密铺，因此括号内画√，基本图形见对应图示。
【答案】
2.(1)√，两个基本图形见 (2)× (3)√，两个基本图形见
【知识点】
密铺的特征，平面图形拼接
【点评】
本题重点考查对密铺概念的理解和实际应用，需要学生掌握密铺的判断标准，能结合不同图形的特点判断其是否可以密铺，同时也考查了学生对基础平面图形的识别能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆密铺的判断标准：用几种平面图形拼接，能做到彼此之间不留空隙、不重叠地铺满一片平面，就属于密铺。接下来逐一判断每组图形：
1. 看第一组的两个图形，尝试拼接可知它们可以做到无空隙、不重叠拼接，符合密铺要求；
2. 第二组的两个图形拼接时无法避免出现空隙或者重叠，不符合密铺要求；
3. 第三组的正六边形和菱形拼接时，可以做到无空隙、不重叠拼接，符合密铺要求。
【解析】
根据密铺的定义：形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接时，不留空隙、不重叠地铺满平面，就是密铺。
(1) 该组的两个图形拼接可满足无空隙、不重叠的要求，属于密铺，因此括号内画√，基本图形见对应图示。
(2) 该组的两个图形无法做到无空隙、不重叠地铺满平面，不属于密铺，因此括号内画×。
(3) 该组的正六边形和菱形拼接可满足无空隙、不重叠的要求，属于密铺，因此括号内画√，基本图形见对应图示。
【答案】
2.(1)√，两个基本图形见
(2)× (3)√，两个基本图形见【知识点】
密铺的特征，平面图形拼接
【点评】
本题重点考查对密铺概念的理解和实际应用，需要学生掌握密铺的判断标准，能结合不同图形的特点判断其是否可以密铺，同时也考查了学生对基础平面图形的识别能力。
【难度系数】
0.7
3.仔细观察，(
④
)号图形与下面三个正五边形组合使用，可以实现密铺。答案
3.④
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确密铺的核心条件：多个图形拼接时，同一个公共顶点处所有内角的和必须等于360°，没有空隙也不会重叠。解题时我们可以分三步思考：第一步先算出正五边形单个内角的度数；第二步算出图中3个正五边形在公共顶点处的角度总和；第三步用360°减去这个总和，得到需要补充的角度，再匹配对应角度的图形即可。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
多边形内角和公式为$(边数-2)× 180°$，正五边形内角和为：
$(5-2)× 180°=540°$
正五边形每个内角相等，所以单个内角为：$540°÷5=108°$
2. 计算3个正五边形在公共顶点的角度和：
$108°×3=324°$
3. 计算密铺还需要的角度：
密铺要求拼接点总角度为$360°$，所以还需要的角度为$360°-324°=36°$，只有④号图形的内角符合要求，可以和三个正五边形组合实现密铺。
【答案】
④
【知识点】
密铺的特征；多边形内角计算
【点评】
这道题考查密铺条件的实际应用，解题关键是掌握密铺时拼接点处角度和为360°的规律，结合正多边形内角的计算方法就能快速判断符合要求的图形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确密铺的核心条件：多个图形拼接时，同一个公共顶点处所有内角的和必须等于360°，没有空隙也不会重叠。解题时我们可以分三步思考：第一步先算出正五边形单个内角的度数；第二步算出图中3个正五边形在公共顶点处的角度总和；第三步用360°减去这个总和，得到需要补充的角度，再匹配对应角度的图形即可。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
多边形内角和公式为$(边数-2)× 180°$，正五边形内角和为：
$(5-2)× 180°=540°$
正五边形每个内角相等，所以单个内角为：$540°÷5=108°$
2. 计算3个正五边形在公共顶点的角度和：
$108°×3=324°$
3. 计算密铺还需要的角度：
密铺要求拼接点总角度为$360°$，所以还需要的角度为$360°-324°=36°$，只有④号图形的内角符合要求，可以和三个正五边形组合实现密铺。
【答案】
④
【知识点】
密铺的特征；多边形内角计算
【点评】
这道题考查密铺条件的实际应用，解题关键是掌握密铺时拼接点处角度和为360°的规律，结合正多边形内角的计算方法就能快速判断符合要求的图形。
【难度系数】
0.6
4.下面各图都是用白色和灰色小正方形密铺而成的。密铺第4个图形时，需要摆(
22
)个白色的小正方形；密铺第n个图形时，需要摆(4n+6
)个白色的小正方形。答案
4.22,4n+6
解析
【分析】
我们可以先分别计算出前3个图形中白色小正方形的数量，再观察数量变化的规律。第一步先算每个图形的总格子数：所有图形都是3行，第1个图形有4列，第2个有6列，第3个有8列，总格子数=行数×列数；再减去每个图形里灰色小正方形的数量，就能得到白色小正方形的数量。算出前3个的白色数量后，观察变化特点，就能总结出第n个图形的白色数量规律，再代入n=4就能算出第4个图形的白色数量。
【解析】
解：先计算前3个图形的白色小正方形个数：
1. 第①个图形：总格子数=3×4=12（个），灰色小正方形有2个
白色小正方形个数：$12 - 2 = 10$（个）
2. 第②个图形：总格子数=3×6=18（个），灰色小正方形有4个
白色小正方形个数：$18 - 4 = 14$（个）
3. 第③个图形：总格子数=3×8=24（个），灰色小正方形有6个
白色小正方形个数：$24 - 6 = 18$（个）
观察可知：后一个图形的白色小正方形个数比前一个多4个，
所以第n个图形的白色小正方形个数为：$10 + 4×(n-1) = 4n + 6$
当n=4时，$4×4 + 6 = 22$（个）
【答案】
22，$4n+6$
【知识点】
图形找规律，用字母表示数
【点评】
本题需要学生通过观察、计算已知图形的数量变化归纳出通用规律，既考查了计算能力，也锻炼了归纳推理的思维，解题时可以先计算前几个的数值再找规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
我们可以先分别计算出前3个图形中白色小正方形的数量，再观察数量变化的规律。第一步先算每个图形的总格子数：所有图形都是3行，第1个图形有4列，第2个有6列，第3个有8列，总格子数=行数×列数；再减去每个图形里灰色小正方形的数量，就能得到白色小正方形的数量。算出前3个的白色数量后，观察变化特点，就能总结出第n个图形的白色数量规律，再代入n=4就能算出第4个图形的白色数量。
【解析】
解：先计算前3个图形的白色小正方形个数：
1. 第①个图形：总格子数=3×4=12（个），灰色小正方形有2个
白色小正方形个数：$12 - 2 = 10$（个）
2. 第②个图形：总格子数=3×6=18（个），灰色小正方形有4个
白色小正方形个数：$18 - 4 = 14$（个）
3. 第③个图形：总格子数=3×8=24（个），灰色小正方形有6个
白色小正方形个数：$24 - 6 = 18$（个）
观察可知：后一个图形的白色小正方形个数比前一个多4个，
所以第n个图形的白色小正方形个数为：$10 + 4×(n-1) = 4n + 6$
当n=4时，$4×4 + 6 = 22$（个）
【答案】
22，$4n+6$
【知识点】
图形找规律，用字母表示数
【点评】
本题需要学生通过观察、计算已知图形的数量变化归纳出通用规律，既考查了计算能力，也锻炼了归纳推理的思维，解题时可以先计算前几个的数值再找规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
二、解决问题。
某酒店接待大厅地面是一个面积为144 m²的长方形，该地面是用除颜色外完全相同的黑、白色方砖密铺而成的（如图所示），这种方砖的边长是多少米？
某酒店接待大厅地面是一个面积为144 m²的长方形，该地面是用除颜色外完全相同的黑、白色方砖密铺而成的（如图所示），这种方砖的边长是多少米？
答案
144÷36=4(m²),
每块方砖的面积是4 m²,这种方砖的边长就是2 m
每块方砖的面积是4 m²,这种方砖的边长就是2 m
解析
【分析】
解题时首先观察密铺图形，黑、白方砖除颜色外完全相同，所以每块方砖的面积相等。首先数出所有方砖的总数量，再根据“大厅总面积÷方砖总块数=单块方砖的面积”求出每块方砖的面积，最后结合正方形面积公式，找到两个相同的数相乘等于方砖面积，这个数就是方砖的边长。
【解析】
1. 计算方砖总块数：观察图形可得，黑砖共有3行，每行6块，总共有$3×6=18$块；白砖数量和黑砖相同，也是18块，因此方砖总数量为$18+18=36$块。
2. 计算单块方砖的面积：已知大厅总面积是$144m^2$，因此每块方砖的面积为$144÷36=4(m^2)$。
3. 求方砖的边长：方砖是正方形，正方形面积=边长×边长，因为$2×2=4$，所以方砖的边长是2m。
【答案】
这种方砖的边长是2米。
【知识点】
密铺的特征；正方形面积计算；除法的应用
【点评】
本题结合生活中的密铺场景出题，既需要观察图形准确计数总方砖数，也需要熟练运用正方形面积相关知识求解，能很好地锻炼观察能力和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察密铺图形，黑、白方砖除颜色外完全相同，所以每块方砖的面积相等。首先数出所有方砖的总数量，再根据“大厅总面积÷方砖总块数=单块方砖的面积”求出每块方砖的面积，最后结合正方形面积公式，找到两个相同的数相乘等于方砖面积，这个数就是方砖的边长。
【解析】
1. 计算方砖总块数：观察图形可得，黑砖共有3行，每行6块，总共有$3×6=18$块；白砖数量和黑砖相同，也是18块，因此方砖总数量为$18+18=36$块。
2. 计算单块方砖的面积：已知大厅总面积是$144m^2$，因此每块方砖的面积为$144÷36=4(m^2)$。
3. 求方砖的边长：方砖是正方形，正方形面积=边长×边长，因为$2×2=4$，所以方砖的边长是2m。
【答案】
这种方砖的边长是2米。
【知识点】
密铺的特征；正方形面积计算；除法的应用
【点评】
本题结合生活中的密铺场景出题，既需要观察图形准确计数总方砖数，也需要熟练运用正方形面积相关知识求解，能很好地锻炼观察能力和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
公园里有一块平行四边形的荒地(如下图),根据园林规划,要把它改造成一个休息区。在平整土地时,园林叔叔打算用边长 20 cm 的正方形地砖,以及底和高都是 20 cm 的三角形地砖铺地。请在下图中尝试画出密铺后的简单示意图,并计算每种地砖各需多少块?
答案
示意图见
20 m=2000 cm,10 m=1000 cm,
2000÷20=100(个),1000÷20=50(个),
正方形:(100-1)×50=4950(块),
三角形:2×50=100(块)
解析
【分析】
解题时首先要统一单位，荒地的长度单位是米，地砖的长度单位是厘米，单位不同无法直接计算，所以先把米换算成厘米。接下来分别计算平行四边形的底、高中包含多少个地砖的边长（20cm），得到密铺时横向、纵向的地砖排列数量。再观察密铺结构：平行四边形左右两侧是三角形地砖，中间区域是正方形地砖，分别对应计算数量即可：每行有2个三角形地砖，总行数等于纵向的排列数；每行正方形地砖的数量比横向的排列数少1，乘行数就得到正方形总数量。
【解析】
第一步：单位换算
根据长度单位换算规则1m=100cm，可得：
20 m = 20×100 = 2000 cm
10 m = 10×100 = 1000 cm
第二步：计算横、纵向的20cm长度个数
平行四边形底方向可容纳的20cm长度个数：$2000÷20=100$（个）
平行四边形高方向可容纳的20cm长度个数：$1000÷20=50$（个），即密铺共50行。
第三步：计算正方形地砖数量
每行正方形地砖的数量为$100-1=99$块，总共有50行，因此正方形地砖总数为：$99×50=4950$（块）
第四步：计算三角形地砖数量
每行左右各有1块三角形地砖，即每行共2块三角形地砖，总共有50行，因此三角形地砖总数为：$2×50=100$（块）
【答案】
示意图见
20 m=2000 cm,10 m=1000 cm,
2000÷20=100(个),1000÷20=50(个),
正方形:(100-1)×50=4950(块),
三角形:2×50=100(块)
【知识点】
单位换算、图形密铺、整数乘除应用
【点评】
本题结合生活中的铺地场景，将密铺知识和单位换算、整数运算结合，需要学生先理清密铺的图形排列规律，再分步计算，能很好地锻炼学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要统一单位，荒地的长度单位是米，地砖的长度单位是厘米，单位不同无法直接计算，所以先把米换算成厘米。接下来分别计算平行四边形的底、高中包含多少个地砖的边长（20cm），得到密铺时横向、纵向的地砖排列数量。再观察密铺结构：平行四边形左右两侧是三角形地砖，中间区域是正方形地砖，分别对应计算数量即可：每行有2个三角形地砖，总行数等于纵向的排列数；每行正方形地砖的数量比横向的排列数少1，乘行数就得到正方形总数量。
【解析】
第一步：单位换算
根据长度单位换算规则1m=100cm，可得：
20 m = 20×100 = 2000 cm
10 m = 10×100 = 1000 cm
第二步：计算横、纵向的20cm长度个数
平行四边形底方向可容纳的20cm长度个数：$2000÷20=100$（个）
平行四边形高方向可容纳的20cm长度个数：$1000÷20=50$（个），即密铺共50行。
第三步：计算正方形地砖数量
每行正方形地砖的数量为$100-1=99$块，总共有50行，因此正方形地砖总数为：$99×50=4950$（块）
第四步：计算三角形地砖数量
每行左右各有1块三角形地砖，即每行共2块三角形地砖，总共有50行，因此三角形地砖总数为：$2×50=100$（块）
【答案】
示意图见
20 m=2000 cm,10 m=1000 cm,
2000÷20=100(个),1000÷20=50(个),
正方形:(100-1)×50=4950(块),
三角形:2×50=100(块)
【知识点】
单位换算、图形密铺、整数乘除应用
【点评】
本题结合生活中的铺地场景，将密铺知识和单位换算、整数运算结合，需要学生先理清密铺的图形排列规律，再分步计算，能很好地锻炼学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
