18.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=6,动点E在边BC上,连接DE,过点A作AH⊥DE,垂足为点H,AH的延长线交CD于点F.
(1)求证:△ADF∽△DCE.
(2)当FC=2时,求EC的长.

18. (1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠BCD=90°.又
∵AH⊥DE,
∴在Rt△AHD中,∠DAH+∠ADH=90°.又
∵∠ADH+∠FDH=90°.
∴∠DAH=∠FDH,即∠DAF=∠CDE,
∴△ADF∽△DCE.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴DC=AB=3.
∵FC=2,
∴DF=DC-FC=1.由(1)知△ADF∽△DCE,
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{DF}{CE}$,
∴$EC=\frac{DC · DF}{AD}=\frac{3×1}{6}=\frac{1}{2}$.

19.(10分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中点O,C,D,F,G在同一直线上,点A,B,O在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆AB的高.

19. 解:
∵AD//EG,
∴∠ADO=∠EGF.
∵∠AOD=∠EFG=90°,
∴△AOD∽△EFG,
∴$\frac{AO}{EF}=\frac{OD}{FG}$,
∴$\frac{AO}{1.8}=\frac{20}{2.4}$,
∴AO=15.
∵AD//BC,
∴△BOC∽△AOD,
∴$\frac{BO}{AO}=\frac{OC}{OD}$,
∴$\frac{BO}{15}=\frac{16}{20}$,
∴BO=12,
∴AB=AO-BO=15-12=3(米).

20.(10分)如图，直线$l$分别交$x$轴、$y$轴于$A$，$B$两点，交反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象于$P$，$Q$两点.若$AB=2BP$，且$△ AOB$的面积为4.
(1)求$k$的值.
(2)当点$P$的横坐标为$-1$时，求$△ POQ$的面积.

20. 解:(1)
∵AB=2BP,且△AOB的面积为4,
∴△POB的面积为2.如图,过点P作PM⊥y轴于点M,
∴PM//OA,
∴△PBM∽△ABO,
∴$\frac{S_{△PBM}}{S_{△ABO}}=(\frac{PB}{AB})^2=(\frac{1}{2})^2$,
∴$S_{△PBM}=1$,
∴$S_{△POM}=1+2=3$.
∵$S_{△POM}=\frac{1}{2}|k|$,且k＜0,
∴k=-6.
(2)
∵点P的横坐标为-1,
∴PM=1.
∵△PBM∽△ABO,
∴$\frac{PM}{AO}=\frac{PB}{AB}$,即$\frac{1}{OA}=\frac{1}{2}$,
∴OA=2,
∴A(2,0).把x=-1代入$y=-\frac{6}{x}$,y=6,
∴P(-1,6).设直线AB的解析式为y=mx+n.把点P,A的坐标分别代入得$\begin{cases}-m+n=6 \\2m+n=0 \end{cases}$,解得$\begin{cases}m=-2 \\n=4 \end{cases}$,
∴直线AB的解析式为y=-2x+4.解方程组$\begin{cases}y=-\frac{6}{x} \\y=-2x+4 \end{cases}$,得$\begin{cases}x=3 \\y=-2 \end{cases}$或$\begin{cases}x=-1 \\y=6 \end{cases}$,
∴Q(3,-2),
∴$S_{△POQ}=S_{△POA}+S_{△QOA}=\frac{1}{2}×2×6+\frac{1}{2}×2×2=8$.