【例】将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，已知∠FEC=64°。
(1)求∠1的度数；
(2)求证：△GEF是等腰三角形。

1. 由题意，得∠GEF=∠FEC=64°.
∵AD//BC,
∴∠1=∠GEB=180°−∠GEF−∠FEC=52°。
2. 证明：
∵AD//BC,
∴∠GFE=∠FEC=64°. 由(1)知∠GEF=64°.
∴∠GEF=∠GFE.
∴GE=GF.
∴△GEF是等腰三角形。

【分析】
(1) 求∠1的度数：首先利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠GEF=∠FEC；再结合平角为180°的定义，算出∠GEB的度数；最后根据长方形对边AD//BC的性质，利用平行线同位角相等的规律，即可求出∠1的度数。
(2) 证明△GEF是等腰三角形：要判定等腰三角形，可通过证明两个内角相等推导边相等。先利用平行线内错角相等的性质得到∠GFE=∠FEC，再结合折叠得到的∠GEF=∠FEC，可推出∠GEF=∠GFE，最后根据等角对等边即可完成证明。
【解析】
(1) 由折叠的性质可得：$∠ GEF=∠ FEC=64°$，
∵平角为$180°$，
∴$∠ GEB=180°-∠ GEF-∠ FEC=180°-64°-64°=52°$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ 1=∠ GEB=52°$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 证明：
∵$AD// BC$，
∴$∠ GFE=∠ FEC=64°$（两直线平行，内错角相等），
由(1)可知$∠ GEF=64°$，
∴$∠ GEF=∠ GFE$，
∴$GE=GF$（等角对等边），
∴$△ GEF$是等腰三角形。
【答案】
(1) $∠1=52°$；
(2) $△ GEF$是等腰三角形，证明成立。
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了折叠变换、平行线性质和等腰三角形判定三类考点，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等的特点，结合平行线的角的关系逐步推导，熟练掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

1. 如图，在△ABC中，∠A=∠B，D是边AB上任意一点，DE//BC，DF//AC，AC=5 cm，则四边形DECF的周长是。

第1题图 第2题图

1. 10 cm

【分析】
解题时首先根据等角对等边判断△ABC为等腰三角形，得到AC=BC=5cm；再由两组对边分别平行判定四边形DECF是平行四边形，得到对边相等的关系；接着结合平行线的同位角相等和已知∠A=∠B，推导出两个小等腰三角形，将平行四边形的边长进行等量替换，最终把周长转化为AC与BC的和即可求解。
【解析】
1. 在△ABC中，
∵∠A=∠B，根据等角对等边可得BC=AC=5cm。
2.
∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），根据平行四边形对边相等，可得DF=EC，DE=FC。
3.
∵DF//AC，
∴∠BDF=∠A（两直线平行，同位角相等），又
∵∠A=∠B，
∴∠BDF=∠B，根据等角对等边可得BF=DF。
4.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），又
∵∠A=∠B，
∴∠ADE=∠A，根据等角对等边可得AE=DE。
5. 四边形DECF的周长=DF + FC + CE + DE，将DF替换为BF、DE替换为AE，可得：
周长=BF + FC + CE + AE = (BF+FC) + (CE+AE) = BC + AC = 5cm + 5cm = 10cm。
【答案】
10 cm
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过等量替换将平行四边形的周长转化为等腰三角形的两腰长度之和，考查学生对几何基础性质的综合运用能力，是平行四边形和等腰三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7

2.如图，$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$，$DE// BC$交$AC$于点$E$.若$△ AED$的周长是$10$，$AC=6$，则$AD$的长是（）

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

2. C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先CD是∠ACB的角平分线，可得两个角相等；再结合DE//BC，利用平行线的内错角相等，可推出∠EDC=∠ECD，进而得到ED=EC的结论。随后将△AED的周长进行等量代换，把ED替换为EC，即可将周长转化为AC+AD，最后代入已知数值就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∵DE//BC，
∴∠EDC=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC（等角对等边），
∵△AED的周长 = AE + ED + AD = 10，
将ED=EC代入得：AE + EC + AD = 10，
又
∵AE + EC = AC = 6，
∴6 + AD = 10，
解得AD = 10 - 6 = 4。
【答案】
C
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何基础转化类题型，核心是通过角的等量关系推导等腰三角形，实现线段的等量替换，将未知三角形周长转化为已知线段和所求线段的和，降低计算难度，这类转化思路在几何线段计算类题目中非常常见。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$BC// AD$，$∠ ABC$的平分线交AD于点E，$∠ BCD$的平分线交AD于点F，若$AB=CD=3$，$AD=4$，则EF的长是（）

A.1
B.2
C.2.5
D.3

3. B

【分析】
解题时先观察题干条件，看到平行线与角平分线的组合，可利用“平行线+角平分线可推导等腰三角形”的常用模型思考：第一步先结合角平分线定义、平行线的内错角相等性质，证明两个等腰三角形，得到AE与AB相等、DF与CD相等；第二步分析AE、DF和AD、EF的和差关系，代入已知数值即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵$BC// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，即$△ ABE$为等腰三角形，
∴$AE=AB=3$。
同理，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
∵$BC// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCF=∠DFC，
∴∠DCF=∠DFC，即$△ DCF$为等腰三角形，
∴$DF=CD=3$。
观察线段关系可知：$AE+DF=AD+EF$（AE和DF在AD上的重叠部分为EF），
代入数值计算得：$EF=AE+DF-AD=3+3-4=2$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题核心考查平行线、角平分线与等腰三角形的综合应用，掌握“平行线+角平分线构造等腰三角形”的常见模型，就能快速找到解题突破口，再结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7

4.（2024·汕头期末）如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点$O$，过点$O$作$EF// BC$分别交$AB,AC$于点$E,F$，若$AB=5,AC=4$，则$△ AEF$的周长是。

4. 9

【分析】
解题时先观察已知条件，出现角平分线和平行线的组合，这类组合通常可以推出等腰三角形。首先利用角平分线得到相等的角，再结合平行线的内错角相等的性质做等量代换，得到等角后即可推出相等的线段，最后将△AEF的周长通过线段替换转化为AB与AC的和，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠CBO（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBO=∠EOB，根据等角对等边可得EB=EO，
同理可得：FC=FO，
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF，
将EO=EB、OF=FC代入上式得：
周长=AE+EB+AF+FC=AB+AC，
已知AB=5，AC=4，因此△AEF的周长=5+4=9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是掌握“角平分线+平行线”的经典模型，可快速得到等腰三角形实现线段转化，无需单独计算各段线段长度，采用整体代入的思想即可快速求解。
【难度系数】
0.7

5.(1)如图,点 D 是$△ ABC$的边 BA 延长线上的点,作$∠ DAC$的平分线 AF,若$AF// BC$.求证:$△ ABC$是等腰三角形;
(2)【T5(1)变式】如图,$∠ ABC$的平分线与$△ ACB$外角$∠ ACD$的平分线交于点 O,$OE// BC$,交 AB,AC 于点 E,F.试探究 EF,BE,CF间的数量关系,并说明理由.

5. (1)证明:
∵AF平分∠DAC,
∴∠DAF=∠CAF.
∵AF//BC,
∴∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB.
∴∠B=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:EF=BE−CF,理由如下:
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,
∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠DCO.
∵EO//BC,
∴∠EOB=∠OBC,∠OCD=∠EOC.
∴∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠EOC.
∴EO=BE,CF=FO.
∵EF=EO−OF,
∴EF=BE−CF.

【分析】
(1) 要证明△ABC是等腰三角形，可通过证明两个底角相等得到两边相等。已知AF是∠DAC的平分线，可得一组相等的角，再结合AF//BC的平行线性质，能将∠DAC的两个分角分别和∠B、∠ACB建立等量关系，通过等量代换即可得到∠B=∠ACB，完成证明。
(2) 探究三条线段的数量关系时，可利用“角平分线+平行线可推出等腰三角形”的常用模型：已知BO、CO分别是两个角的平分线，且OE//BC，可证得△EBO和△FCO都是等腰三角形，将BE、CF分别转化为同一直线上的EO、FO，再根据线段的和差关系即可推出三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF=∠CAF。
∵AF//BC，
∴∠DAF=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CAF=∠ACB（两直线平行，内错角相等）。
∴∠B=∠ACB。
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
(2) 解：EF=BE−CF，理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠DCO。
∵EO//BC，
∴∠EOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），∠OCD=∠EOC（两直线平行，内错角相等）。
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠EOC。
∴EO=BE（等角对等边），CF=FO（等角对等边）。
∵EF=EO−OF，
∴EF=BE−CF。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形，证明见上述解析；
(2) EF=BE−CF，理由见上述解析。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查角平分线、平行线、等腰三角形三者结合的常用解题模型，熟练掌握该模型可快速梳理角与线段的等量关系，提升解题效率。
【难度系数】
0.7