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5. 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为D，且AC平分$∠ BAD$.
（1）求证：直线MN是$\odot O$的切线；
（2）若$AD=4$，$AC=5$，求$\odot O$的直径.
（1）求证：直线MN是$\odot O$的切线；
（2）若$AD=4$，$AC=5$，求$\odot O$的直径.
答案
（1）证明:连接$OC$. $\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$. $\because AC$平分$∠ BAD$,$\therefore ∠ OAC=∠ CAD$,$\therefore ∠ CAD=∠ OCA$,$\therefore OC// AD$. $\because AD⊥ MN$,$\therefore OC⊥ MN$,$\therefore$直线$MN$是$\odot O$的切线.
（2）过点$O$作$OE⊥ AD$于点$E$,则四边形$OCDE$是矩形. $\therefore DE=CO$. $\because OA=OC$,$\therefore AE=4-CO=4-AO$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\because AD=4$,$AC=5$,$\therefore DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore EO=3$. 在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$AO^2=AE^2+OE^2$,$\therefore AO=\frac{25}{8}$.$\therefore AB=\frac{25}{4}$,即$\odot O$的直径为$\frac{25}{4}$.
（2）过点$O$作$OE⊥ AD$于点$E$,则四边形$OCDE$是矩形. $\therefore DE=CO$. $\because OA=OC$,$\therefore AE=4-CO=4-AO$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$\because AD=4$,$AC=5$,$\therefore DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$,$\therefore EO=3$. 在$\mathrm{Rt}△ AEO$中,$AO^2=AE^2+OE^2$,$\therefore AO=\frac{25}{8}$.$\therefore AB=\frac{25}{4}$,即$\odot O$的直径为$\frac{25}{4}$.
6. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1) 求证:AC是$\odot O$的切线;
(2) 若$OB=10$,$CD=8$,求BE的长.
(1) 求证:AC是$\odot O$的切线;
(2) 若$OB=10$,$CD=8$,求BE的长.
答案
（1）证明:如图,连接$OD$,$\because BD$为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ 1=∠ 2$. 又$OB$,$OD$均为$\odot O$的半径,$\therefore OB=OD$,$\therefore ∠ 1=∠ 3$,$\therefore ∠ 2=∠ 3$,$\therefore OD// BC$,$\therefore ∠ ODA=∠ C=90°$,$\therefore OD⊥ AC$,$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
（2）
,过圆心$O$作$OF⊥ BE$于点$F$,在$\mathrm{Rt}△ BOF$中,$OB=10$,$OF=CD=8$,根据勾股定理,得$OB^2=BF^2+OF^2$,即$10^2=BF^2+8^2$,解得$BF=6$. 由垂径定理可知,$F$为$BE$的中点,$\therefore BE=2BF=12$.