三、解答题
1.如图,三角形OAB的顶点A,B的坐标分别为$(2,4),(6,0)$,把三角形OAB沿$x$轴向右平移得到三角形$CDE$.
(1)若$CB=\frac{3}{2}$,则$OE$的长为;
(2)连接$AD$,在(1)的条件下,求四边形$OADE$的面积.

1.(1)$\frac{21}{2}$
(2)四边形OADE的面积为30.

【分析】
解题先利用平移的核心性质：平移前后对应线段平行且相等，对应点的连线长度等于平移距离。
(1) 先根据B点坐标求出OB的长度，结合已知CB的长度算出平移距离OC，再利用平移后CE=OB，即可求出OE的长度。
(2) 由平移性质可得AD//OE，且AD等于平移距离，因此四边形OADE是梯形，梯形的高等于点A的纵坐标（上下底均沿水平方向，高为竖直方向的距离），代入梯形面积公式即可计算出面积。
【解析】
(1) 已知点B的坐标为$(6,0)$，因此$OB=6$。
由$CB=\frac{3}{2}$，可得平移距离$OC=OB-CB=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
根据平移的性质，$CE=OB=6$，因此$OE=OC+CE=\frac{9}{2}+6=\frac{21}{2}$。
(2) 由平移的性质可知，$AD// OE$，且$AD=OC=\frac{9}{2}$，因此四边形$OADE$是梯形，该梯形的高等于点$A$的纵坐标$4$。
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入数据得：
$S_{四边形OADE}=\frac{1}{2}×(AD+OE)×4=\frac{1}{2}×(\frac{9}{2}+\frac{21}{2})×4=\frac{1}{2}×15×4=30$。
【答案】
(1)$\frac{21}{2}$；(2)$30$
【知识点】
平移的性质，坐标与图形平移，梯形面积计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用题型，解题的关键是抓住平移前后对应线段、对应点连线的等量关系，结合坐标的几何意义计算线段长度和图形面积，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.75

2.在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其行走路线如图所示.
(1)填写下列各点的坐标:$A_{4}$(,),$A_{8}$(,),$A_{12}$(,).
(2)写出点$A_{4n}$的坐标(n是正整数).
(3)指出蚂蚁从点$A_{100}$到点$A_{101}$的移动方向.

2.(1)(2,0) (4,0) (6,0)
(2)$A_{4n}(2n,0)$
(3)向上

【分析】
首先观察蚂蚁的移动规律：移动方向按向上、向右、向下、向右4次为一个周期循环，每次移动1个单位长度。解题时可先列举出前几个点的坐标，找出下标为4的倍数的点的坐标特征，再用这个规律解决后续问题：
1. 解决第(1)问时，直接结合图形或列举坐标得到A₄、A₈、A₁₂的坐标；
2. 第(2)问对第(1)问的规律进行一般化推导，用含n的代数式表示坐标即可；
3. 第(3)问先判断100是4的倍数，对应周期的末尾位置，就能推出下一个移动方向。
【解析】
我们先写出前几个点的坐标，方便找规律：
A₁(0,1)，A₂(1,1)，A₃(1,0)，A₄(2,0)，
A₅(2,1)，A₆(3,1)，A₇(3,0)，A₈(4,0)，
A₉(4,1)，A₁₀(5,1)，A₁₁(5,0)，A₁₂(6,0)……
(1) 根据上述列举的坐标，可得：
A₄(2,0)，A₈(4,0)，A₁₂(6,0)。
(2) 观察下标为4的倍数的点：
当n=1时，4n=4，坐标为(2×1,0)；
当n=2时，4n=8，坐标为(2×2,0)；
当n=3时，4n=12，坐标为(2×3,0)；
以此类推，可得A₄ₙ的坐标为(2n, 0)（n为正整数）。
(3) 因为100=4×25，符合A₄ₙ的下标特征，所以A₁₀₀的坐标为(2×25,0)=(50,0)。
蚂蚁每4次移动为一个周期，A₄ₙ是每个周期的最后一个点，下一次移动是新周期的第一个方向，即向上，所以从A₁₀₀到A₁₀₁的移动方向是向上。
【答案】
(1)2，0；4，0；6，0
(2)$A_{4n}(2n,0)$
(3)向上
【知识点】
点的坐标表示，周期性规律探究，坐标系中的平移
【点评】
本题属于坐标系中的规律探究题，解题的核心是找到蚂蚁移动的周期规律，以及下标为4的倍数的点的坐标共性，通过列举前几个点的坐标就能快速发现规律，是规律类问题的基础题型。
【难度系数】
0.7