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1.下列说法中,不正确的是 (
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
)A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都能与自身重合
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.圆的每一条直径都是它的对称轴
答案
1.D 圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴,原说法错误.故选D.
解析
【分析】
本题考查圆的对称性相关概念，解题时需先明确轴对称图形、中心对称图形、对称轴的定义，再结合圆的特性逐一判断每个选项的正误，重点注意对称轴是直线这一核心要点，避免概念混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，因此是轴对称图形；绕圆心旋转180°后能与自身重合，因此也是中心对称图形，该选项说法正确。
B. 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，该选项说法正确。
C. 圆的对称轴是所有过圆心的直线，共有无数条，对称中心只有圆心1个，该选项说法正确。
D. 对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确说法应为“圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴”，因此该选项说法错误。
综上，不正确的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆的对称性；轴对称图形定义；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要围绕圆的各类对称性质设题，易错点是容易忽略对称轴是直线的属性，误将线段直径直接当作对称轴，只要准确掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的对称性相关概念，解题时需先明确轴对称图形、中心对称图形、对称轴的定义，再结合圆的特性逐一判断每个选项的正误，重点注意对称轴是直线这一核心要点，避免概念混淆。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 圆沿任意一条过圆心的直线对折后，直线两侧的部分都能完全重合，因此是轴对称图形；绕圆心旋转180°后能与自身重合，因此也是中心对称图形，该选项说法正确。
B. 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，该选项说法正确。
C. 圆的对称轴是所有过圆心的直线，共有无数条，对称中心只有圆心1个，该选项说法正确。
D. 对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确说法应为“圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴”，因此该选项说法错误。
综上，不正确的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
圆的对称性；轴对称图形定义；对称轴的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要围绕圆的各类对称性质设题，易错点是容易忽略对称轴是直线的属性，误将线段直径直接当作对称轴，只要准确掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏盐城盐都期中」如图，已知CD是$\odot O$的直径，AB是$\odot O$的弦，$CD ⊥ AB$，垂足为E.下列结论不一定正确的是（
A.$AE=BE$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
C.$OE=DE$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
第2题图 第3题图
C
）A.$AE=BE$
B.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
C.$OE=DE$
D.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
第2题图 第3题图
答案
2.C $\because$直径$CD ⊥ AB$,$\therefore AE=BE$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
$\therefore$选项A,B,D中结论正确；
由已知条件无法得出$OE=DE$,$\therefore$选项C不一定正确.
故选C.
$\therefore$选项A,B,D中结论正确；
由已知条件无法得出$OE=DE$,$\therefore$选项C不一定正确.
故选C.
解析
【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。题目要求选出不一定正确的结论，我们只需结合垂径定理逐一判断每个选项即可：先明确由直径CD垂直AB能直接得到的结论，再判断哪个结论没有已知条件支撑。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知CD是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，垂足为E，因此可得：
$AE=BE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故选项A、B、D的结论均正确；
题干中仅给出CD垂直AB，没有条件能证明点E是OD的中点，因此无法推出$OE=DE$，该结论不一定正确。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，同时审题时要注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的应用，解题时先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。题目要求选出不一定正确的结论，我们只需结合垂径定理逐一判断每个选项即可：先明确由直径CD垂直AB能直接得到的结论，再判断哪个结论没有已知条件支撑。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知CD是$\odot O$的直径，$CD ⊥ AB$，垂足为E，因此可得：
$AE=BE$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，故选项A、B、D的结论均正确；
题干中仅给出CD垂直AB，没有条件能证明点E是OD的中点，因此无法推出$OE=DE$，该结论不一定正确。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，同时审题时要注意题干要求选择“不一定正确”的结论，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.8
3.「2025四川宜宾中考」如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$,则OD的长是（
A.3
B.2
C.6
D.2.5
A
）A.3
B.2
C.6
D.2.5
答案
3.A $\because$半径$OC ⊥ AB$于点D,$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$,
$\because OA=OC=5$,$\therefore OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=3$.故选A.
$\because OA=OC=5$,$\therefore OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=3$.故选A.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知半径OC垂直弦AB，首先想到运用垂径定理得到AB的一半AD的长度；其次圆的半径处处相等，可知OA的长度等于OC；最后△OAD是直角三角形，结合勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵半径$OC ⊥ AB$于点D，根据垂径定理，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
又
∵OA是圆的半径，$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，快速得到弦长的一半，再结合直角三角形的性质计算未知线段长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知半径OC垂直弦AB，首先想到运用垂径定理得到AB的一半AD的长度；其次圆的半径处处相等，可知OA的长度等于OC；最后△OAD是直角三角形，结合勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：
∵半径$OC ⊥ AB$于点D，根据垂径定理，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
又
∵OA是圆的半径，$OA=OC=5$，
在$Rt△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题是圆相关的基础题型，将垂径定理与勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，快速得到弦长的一半，再结合直角三角形的性质计算未知线段长度。
【难度系数】
0.8
4.如图所示的是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶,其中球的半径为5 cm,瓶内液体的最大深度CD=3 cm,则截面圆中弦AB的长为
2√21
cm.答案
4.答案 $2\sqrt{21}$
解析 $\because OA=OD=5\ \mathrm{cm},CD=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore OC=5-3=2(\mathrm{cm})$,$\therefore AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}(\mathrm{cm})$,
由垂径定理可得$AB=2AC=2\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$.
解析 $\because OA=OD=5\ \mathrm{cm},CD=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore OC=5-3=2(\mathrm{cm})$,$\therefore AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}(\mathrm{cm})$,
由垂径定理可得$AB=2AC=2\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确圆的半径长度，结合液体深度求出圆心到弦AB的距离OC；再根据垂直于弦的直径平分弦的性质，可知AB=2AC，因此只需在Rt△OAC中利用勾股定理求出AC的长度，即可得到AB的总长度。
【解析】
解：已知截面圆的半径$OA=OD=5\ \mathrm{cm}$，液体深度$CD=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$圆心$O$到弦$AB$的距离$OC=OD-CD=5-3=2(\mathrm{cm})$，
$\because OD$是垂直于弦$AB$的直径，根据垂径定理可得$OD$平分$AB$，即$AC=BC$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}(\mathrm{cm})$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题将生活中的容器截面问题转化为圆的弦长计算问题，解题核心是熟练运用垂径定理和勾股定理，属于基础应用题，侧重考查知识的实际转化能力。
【难度系数】
0.8
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：首先明确圆的半径长度，结合液体深度求出圆心到弦AB的距离OC；再根据垂直于弦的直径平分弦的性质，可知AB=2AC，因此只需在Rt△OAC中利用勾股定理求出AC的长度，即可得到AB的总长度。
【解析】
解：已知截面圆的半径$OA=OD=5\ \mathrm{cm}$，液体深度$CD=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$圆心$O$到弦$AB$的距离$OC=OD-CD=5-3=2(\mathrm{cm})$，
$\because OD$是垂直于弦$AB$的直径，根据垂径定理可得$OD$平分$AB$，即$AC=BC$，
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}(\mathrm{cm})$，
$\therefore AB=2AC=2\sqrt{21}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{21}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题将生活中的容器截面问题转化为圆的弦长计算问题，解题核心是熟练运用垂径定理和勾股定理，属于基础应用题，侧重考查知识的实际转化能力。
【难度系数】
0.8
5. 学科特色 方程思想 「2026 浙江舟山期中」如图所示，OA是$\odot O$的半径，弦$CD ⊥ OA$于点$P$，已知$AP=1$，$CD=10$，则$OC=$
13
答案
5.答案 13
解析 设$OA=OC=r$,$\because AP=1$,$\therefore OP=r-1$.
$\because CD=10$,$OA$是$\odot O$的半径,弦$CD ⊥ OA$于点$P$,
$\therefore CP=\frac{1}{2}CD=5$,在$\mathrm{Rt}△ OPC$中,$OP^2+CP^2=OC^2$,
$\therefore (r-1)^2+5^2=r^2$,解得$r=13$,即$OC=13$.
解析 设$OA=OC=r$,$\because AP=1$,$\therefore OP=r-1$.
$\because CD=10$,$OA$是$\odot O$的半径,弦$CD ⊥ OA$于点$P$,
$\therefore CP=\frac{1}{2}CD=5$,在$\mathrm{Rt}△ OPC$中,$OP^2+CP^2=OC^2$,
$\therefore (r-1)^2+5^2=r^2$,解得$r=13$,即$OC=13$.
解析
【分析】
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察到半径OA垂直于弦CD，根据垂径定理可知半径平分弦，由此可求出CP的长度；要求半径OC，可设OC=r，用r表示出OP的长度，再在直角三角形OPC中利用勾股定理列方程，解方程即可得到OC的长度。
【解析】
设$OC=OA=r$（同圆的半径相等），
$\because AP=1$，$\therefore OP=OA-AP=r-1$，
$\because CD⊥ OA$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，
$\therefore CP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，由勾股定理得：$OP^2+CP^2=OC^2$，
代入得：$(r-1)^2+5^2=r^2$，
展开化简：$r^2-2r+1+25=r^2$，即$-2r+26=0$，
解得$r=13$，即$OC=13$。
【答案】
13
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中弦长相关计算的典型基础题，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解半径，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题可结合垂径定理和勾股定理求解。首先观察到半径OA垂直于弦CD，根据垂径定理可知半径平分弦，由此可求出CP的长度；要求半径OC，可设OC=r，用r表示出OP的长度，再在直角三角形OPC中利用勾股定理列方程，解方程即可得到OC的长度。
【解析】
设$OC=OA=r$（同圆的半径相等），
$\because AP=1$，$\therefore OP=OA-AP=r-1$，
$\because CD⊥ OA$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，
$\therefore CP=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，由勾股定理得：$OP^2+CP^2=OC^2$，
代入得：$(r-1)^2+5^2=r^2$，
展开化简：$r^2-2r+1+25=r^2$，即$-2r+26=0$，
解得$r=13$，即$OC=13$。
【答案】
13
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中弦长相关计算的典型基础题，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解半径，体现了方程思想在几何计算中的应用，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
6. 学科特色 教材变式 「2026广东珠海期中」如图,在$\odot O$中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,$OD ⊥ AB,OE ⊥ AC$,垂足分别为D,E,若$AC=2$,求$\odot O$的半径.
答案
6.解析 连接OA,图略.
由题意得$∠ BAC= ∠ ODA= ∠ OEA=90°$,
$\therefore$四边形$AEOD$为矩形.
又$\because AB=AC=2$,$\therefore$由垂径定理得,$AD=\frac{1}{2}AB=1$,$AE=\frac{1}{2}AC=1$,即$AD=AE$,
$\therefore$矩形$AEOD$为正方形,$\therefore OE=AE=1$,
$\therefore OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{2}$,即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$.
由题意得$∠ BAC= ∠ ODA= ∠ OEA=90°$,
$\therefore$四边形$AEOD$为矩形.
又$\because AB=AC=2$,$\therefore$由垂径定理得,$AD=\frac{1}{2}AB=1$,$AE=\frac{1}{2}AC=1$,即$AD=AE$,
$\therefore$矩形$AEOD$为正方形,$\therefore OE=AE=1$,
$\therefore OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{2}$,即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要计算⊙O的半径，核心是求出半径OA的长度。首先结合已知的多组垂直条件，先判断四边形AEOD的形状；再利用AB=AC的条件，结合垂径定理求出AD、AE的长度，进一步确定四边形的具体类型，得到直角三角形的边长后，最后用勾股定理即可算出半径长度。
【解析】
解：连接OA，
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BAC=∠ODA=∠OEA=90°，
∴四边形AEOD是矩形。
∵AB=AC=2，OD⊥AB，OE⊥AC，
由垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=1$，$AE=\frac{1}{2}AC=1$，
∴AD=AE，
∴矩形AEOD是正方形，
∴OE=AE=1。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与平面几何结合的基础应用题，解题关键是结合垂直条件和垂径定理判定四边形为正方形，再通过勾股定理计算半径，需要熟练掌握圆的性质与其他几何知识的结合运用方法。
【难度系数】
0.8
要计算⊙O的半径，核心是求出半径OA的长度。首先结合已知的多组垂直条件，先判断四边形AEOD的形状；再利用AB=AC的条件，结合垂径定理求出AD、AE的长度，进一步确定四边形的具体类型，得到直角三角形的边长后，最后用勾股定理即可算出半径长度。
【解析】
解：连接OA，
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BAC=∠ODA=∠OEA=90°，
∴四边形AEOD是矩形。
∵AB=AC=2，OD⊥AB，OE⊥AC，
由垂径定理得：$AD=\frac{1}{2}AB=1$，$AE=\frac{1}{2}AC=1$，
∴AD=AE，
∴矩形AEOD是正方形，
∴OE=AE=1。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
即$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与平面几何结合的基础应用题，解题关键是结合垂直条件和垂径定理判定四边形为正方形，再通过勾股定理计算半径，需要熟练掌握圆的性质与其他几何知识的结合运用方法。
【难度系数】
0.8
7.「2026广东潮州潮安期中」下列说法正确的是（
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线必过圆心
C.垂直于弦的直径平分弦
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
C
）A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线必过圆心
C.垂直于弦的直径平分弦
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
答案
7.C 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故A错误；
弦的垂线有无数条,不一定过圆心,故B错误;垂直于弦的直径平分弦,故C正确;平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧,故D错误.故选C.
弦的垂线有无数条,不一定过圆心,故B错误;垂直于弦的直径平分弦,故C正确;平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧,故D错误.故选C.
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时首先要准确回忆垂径定理及相关推论的完整表述，尤其要注意“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”这类结论的成立前提是被平分的弦不是直径，再逐一对照每个选项的表述，判断是否符合定理要求、是否遗漏限制条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此A表述错误；
B选项：垂直于弦的直线有无数条，只有同时平分弦的直线才会过圆心，因此垂直于弦的直线不一定过圆心，B表述错误；
C选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，该表述符合定理内容，没有额外限制条件，因此C表述正确；
D选项：平分弦（不是直径）的直径才平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，因此D表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”的限制条件——被平分的弦不能是直径，日常学习中要牢记定理表述的严谨性，避免遗漏前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时首先要准确回忆垂径定理及相关推论的完整表述，尤其要注意“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”这类结论的成立前提是被平分的弦不是直径，再逐一对照每个选项的表述，判断是否符合定理要求、是否遗漏限制条件即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此A表述错误；
B选项：垂直于弦的直线有无数条，只有同时平分弦的直线才会过圆心，因此垂直于弦的直线不一定过圆心，B表述错误；
C选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，该表述符合定理内容，没有额外限制条件，因此C表述正确；
D选项：平分弦（不是直径）的直径才平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，因此D表述错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是容易忽略“平分弦的直径垂直于弦、平分弦所对的弧”的限制条件——被平分的弦不能是直径，日常学习中要牢记定理表述的严谨性，避免遗漏前提条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
8.「2026广东江门蓬江期中」如图,在$\odot O$中,点C是弦AB的中点,$∠ AOC=50°$,则$∠ OAB$的度数为
40°
.答案
8.答案 $40°$
解析 $\because$点$C$是弦$AB$的中点,$\therefore OC ⊥ AB$,即$∠ OCA=90°$,$\therefore ∠ OAB=90°-∠ AOC=90°-50°=40°$.
解析 $\because$点$C$是弦$AB$的中点,$\therefore OC ⊥ AB$,即$∠ OCA=90°$,$\therefore ∠ OAB=90°-∠ AOC=90°-50°=40°$.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：O为圆心，C是弦AB的中点，∠AOC=50°。首先回忆垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，由此可推出OC⊥AB，得到直角三角形OAC；再根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去已知的∠AOC的度数，就能求出∠OAB的度数。
【解析】
∵点C是弦AB的中点，且OC过圆心O，
∴由垂径定理的推论可得：OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OAC中，∠OAB与∠AOC互余，即∠OAB + ∠AOC = 90°，
已知∠AOC=50°，
∴∠OAB=90°-∠AOC=90°-50°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
垂径定理推论、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础类题目，解题关键是利用弦中点的性质构造垂直关系，结合直角三角形的角度规律求解，熟练掌握垂径定理相关内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：O为圆心，C是弦AB的中点，∠AOC=50°。首先回忆垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，由此可推出OC⊥AB，得到直角三角形OAC；再根据直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去已知的∠AOC的度数，就能求出∠OAB的度数。
【解析】
∵点C是弦AB的中点，且OC过圆心O，
∴由垂径定理的推论可得：OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OAC中，∠OAB与∠AOC互余，即∠OAB + ∠AOC = 90°，
已知∠AOC=50°，
∴∠OAB=90°-∠AOC=90°-50°=40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
垂径定理推论、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础类题目，解题关键是利用弦中点的性质构造垂直关系，结合直角三角形的角度规律求解，熟练掌握垂径定理相关内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.如图,AB是$\odot O$的直径,点P是AB上一点,且点P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AP=4,CD=16$,求$\odot O$的半径.
(1)依题意画出弦CD.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AP=4,CD=16$,求$\odot O$的半径.
答案
9.解析 (1)弦CD如图所示.
(2)如图,连接OD,$\because$点$P$是弦$CD$的中点,$AB$是$\odot O$的直径,
$CD=16$,$\therefore ∠ OPD=90°$,$PD=\frac{1}{2}CD=8$.设$\odot O$的半径为$r$,则
$OD=r$,$OP=OA-AP=r-4$,$\because$在$\mathrm{Rt}△ ODP$中,$∠ OPD=90°$,$\therefore OD^2=OP^2+PD^2$,即$r^2=(r-4)^2+8^2$,解得$r=10$,
即$\odot O$的半径为10.
解析
【分析】
(1) 作图思路：根据垂径定理的推论，AB是直径且P是弦CD的中点，可得CD⊥AB，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，连接两点即可得到弦CD。
(2) 解题思路：求圆的半径，可先连接OD构造直角三角形，利用垂径定理得到PD的长度和∠OPD为直角，再设⊙O的半径为r，将OD、OP用含r的式子表示，最后在Rt△ODP中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 弦CD如图所示：
(2) 连接OD，
∵ 点P是弦CD的中点，AB是⊙O的直径，CD=16，
∴ 根据垂径定理可得AB⊥CD，即$∠ OPD=90°$，且$PD=\frac{1}{2}CD=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OP=OA-AP=r-4$，
在$\mathrm{Rt}△ ODP$中，由勾股定理得$OD^2=OP^2+PD^2$，
代入得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
化简得：$8r=80$，
解得$r=10$。
【答案】
(1)
(2) $\odot O$的半径为10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题将尺规作图和圆的计算结合考查，作图时需结合垂径定理的性质确定弦的位置，计算部分运用了圆中常用的“设未知数列方程”的思路，将几何问题转化为方程求解，是圆章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 作图思路：根据垂径定理的推论，AB是直径且P是弦CD的中点，可得CD⊥AB，因此只需过点P作AB的垂线，垂线与⊙O的两个交点即为C、D，连接两点即可得到弦CD。
(2) 解题思路：求圆的半径，可先连接OD构造直角三角形，利用垂径定理得到PD的长度和∠OPD为直角，再设⊙O的半径为r，将OD、OP用含r的式子表示，最后在Rt△ODP中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 弦CD如图所示：
(2) 连接OD，
∵ 点P是弦CD的中点，AB是⊙O的直径，CD=16，
∴ 根据垂径定理可得AB⊥CD，即$∠ OPD=90°$，且$PD=\frac{1}{2}CD=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OP=OA-AP=r-4$，
在$\mathrm{Rt}△ ODP$中，由勾股定理得$OD^2=OP^2+PD^2$，
代入得：$r^2=(r-4)^2+8^2$，
展开计算：$r^2=r^2-8r+16+64$，
化简得：$8r=80$，
解得$r=10$。
【答案】
(1)
(2) $\odot O$的半径为10
【知识点】
垂径定理，勾股定理，尺规作图
【点评】
本题将尺规作图和圆的计算结合考查，作图时需结合垂径定理的性质确定弦的位置，计算部分运用了圆中常用的“设未知数列方程”的思路，将几何问题转化为方程求解，是圆章节的基础典型题。
【难度系数】
0.7
