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1.「2026浙江舟山期中」下列说法中，错误的是（
A.经过点P的圆有无数个
B.以点P为圆心的圆有无数个
C.半径为3 cm且经过点P的圆有无数个
D.以点P为圆心，3 cm长为半径的圆有无数个
D
）A.经过点P的圆有无数个
B.以点P为圆心的圆有无数个
C.半径为3 cm且经过点P的圆有无数个
D.以点P为圆心，3 cm长为半径的圆有无数个
答案
1.D 确定圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小，故以点P为圆心，3 cm长为半径的圆只有一个，D说法错误，故选D.
解析
【分析】
解题的核心是明确圆的两个确定要素：圆心位置和半径大小，只有二者同时确定时，圆才是唯一的，缺少任意一个要素，符合条件的圆都有无数个。解题时逐一分析每个选项中给出的条件，判断是否同时确定了圆心和半径，进而判断对应圆的个数是否正确。
【解析】
确定一个圆需要同时确定圆心的位置和半径的大小，二者均确定时圆唯一，缺一则圆有无数个。
选项A：仅说明圆经过点P，圆心位置、半径大小均未限制，因此符合条件的圆有无数个，A说法正确；
选项B：仅确定圆心为点P，半径大小没有限制，因此可以作出无数个半径不同的圆，B说法正确；
选项C：确定半径为3cm且经过点P，此时圆心只需满足到点P的距离等于3cm即可，这样的圆心有无数个，因此符合条件的圆有无数个，C说法正确；
选项D：既确定了圆心为点P，又确定了半径为3cm，两个要素都唯一确定，因此这样的圆只有1个，D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对圆的确定条件的掌握，只要牢记圆心和半径是确定圆的两个核心要素，逐个分析选项就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是明确圆的两个确定要素：圆心位置和半径大小，只有二者同时确定时，圆才是唯一的，缺少任意一个要素，符合条件的圆都有无数个。解题时逐一分析每个选项中给出的条件，判断是否同时确定了圆心和半径，进而判断对应圆的个数是否正确。
【解析】
确定一个圆需要同时确定圆心的位置和半径的大小，二者均确定时圆唯一，缺一则圆有无数个。
选项A：仅说明圆经过点P，圆心位置、半径大小均未限制，因此符合条件的圆有无数个，A说法正确；
选项B：仅确定圆心为点P，半径大小没有限制，因此可以作出无数个半径不同的圆，B说法正确；
选项C：确定半径为3cm且经过点P，此时圆心只需满足到点P的距离等于3cm即可，这样的圆心有无数个，因此符合条件的圆有无数个，C说法正确；
选项D：既确定了圆心为点P，又确定了半径为3cm，两个要素都唯一确定，因此这样的圆只有1个，D说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的确定条件
2. 点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对圆的确定条件的掌握，只要牢记圆心和半径是确定圆的两个核心要素，逐个分析选项就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2.「2026江苏南京建邺月考」如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧，则圆心的坐标是
(2,1)
。答案
2.答案 (2,1)
解析 连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线,交点即为圆心(图略),所以圆心的坐标是(2,1).
解析 连接AB,BC,作AB,BC的垂直平分线,交点即为圆心(图略),所以圆心的坐标是(2,1).
解析
【分析】
要确定过A、B、C三点的圆弧的圆心，需利用圆的基本性质：圆心到圆上所有点的距离相等。结合线段垂直平分线的性质——到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知圆心是弦AB、BC的垂直平分线的交点，只需作出两条弦的垂直平分线，找到交点坐标即可求解。
【解析】
首先读取格点坐标：A(1,3)，B(3,3)，C(4,2)。
1. 连接弦AB、BC；
2. 作AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点为(2,3)，且AB平行于x轴，因此其垂直平分线为竖直直线$x=2$；
3. 作BC的垂直平分线：结合网格特征，可画出BC的垂直平分线，该线与直线$x=2$的交点即为圆心；
4. 读取交点坐标为(2,1)。
也可通过距离验证：点(2,1)到A的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$，到B的距离为$\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$，到C的距离为$\sqrt{(2-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，距离均相等，符合圆心特征。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，垂径定理，过三点的圆
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是利用圆心到圆上各点等距的性质，将问题转化为求弦的垂直平分线交点，结合格点特征可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定过A、B、C三点的圆弧的圆心，需利用圆的基本性质：圆心到圆上所有点的距离相等。结合线段垂直平分线的性质——到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，可知圆心是弦AB、BC的垂直平分线的交点，只需作出两条弦的垂直平分线，找到交点坐标即可求解。
【解析】
首先读取格点坐标：A(1,3)，B(3,3)，C(4,2)。
1. 连接弦AB、BC；
2. 作AB的垂直平分线：AB是水平线段，中点为(2,3)，且AB平行于x轴，因此其垂直平分线为竖直直线$x=2$；
3. 作BC的垂直平分线：结合网格特征，可画出BC的垂直平分线，该线与直线$x=2$的交点即为圆心；
4. 读取交点坐标为(2,1)。
也可通过距离验证：点(2,1)到A的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$，到B的距离为$\sqrt{(2-3)^2+(1-3)^2}=\sqrt{5}$，到C的距离为$\sqrt{(2-4)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$，距离均相等，符合圆心特征。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，垂径定理，过三点的圆
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，解题核心是利用圆心到圆上各点等距的性质，将问题转化为求弦的垂直平分线交点，结合格点特征可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.「2026河北唐山迁安期中」如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的格点上，则△ABC的外心是 （
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
B
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
3.B 三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点,由题图可知,△ABC的外心是点E.故选B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形外心的相关知识：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时我们可以结合网格的特点，要么找到△ABC任意两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心；要么分别计算四个候选点到A、B、C三点的距离，距离全部相等的点即为△ABC的外心。
【解析】
根据三角形外心的定义可知，三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。
观察网格可得：边BC位于水平网格线上，它的垂直平分线为竖直方向的直线；再作出边AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点E。
验证可得点E到A、B、C三点的距离相等，因此点E是△ABC的外心，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形外心的概念和性质，解题时结合网格的特征可以快速定位垂直平分线的交点，熟练掌握外心的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆三角形外心的相关知识：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时我们可以结合网格的特点，要么找到△ABC任意两条边的垂直平分线，它们的交点就是外心；要么分别计算四个候选点到A、B、C三点的距离，距离全部相等的点即为△ABC的外心。
【解析】
根据三角形外心的定义可知，三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。
观察网格可得：边BC位于水平网格线上，它的垂直平分线为竖直方向的直线；再作出边AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为点E。
验证可得点E到A、B、C三点的距离相等，因此点E是△ABC的外心，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形外心的概念和性质，解题时结合网格的特征可以快速定位垂直平分线的交点，熟练掌握外心的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.下列关于三角形外心的说法中,错误的是 (
A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.任何一个三角形有且只有一个外接圆
C
)A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.任何一个三角形有且只有一个外接圆
答案
4.C 当等腰三角形是钝角三角形时,外心在三角形外部,故C选项错误,故选C.
解析
【分析】
解答本题需先明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置特点，再逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项。首先回忆外心相关知识点：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离等于外接圆半径；同时不同形状的三角形外心位置不同：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，据此判断各选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：三角形的外心是外接圆的圆心，外接圆半径相等，因此外心到三个顶点的距离相等，该说法正确。
B选项：根据外心的定义，三角形的外心就是三条边的垂直平分线的交点，该说法正确。
C选项：等腰三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形：若为钝角等腰三角形，外心在三角形外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边中点上，只有锐角等腰三角形的外心才在三角形内部，因此该说法错误。
D选项：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任何一个三角形有且只有一个外接圆，该说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形外心相关知识的掌握，易错点是忽略等腰三角形也可能是钝角或直角三角形，笼统认为外心都在三角形内部，学习时要注意分类讨论不同形状三角形的外心位置。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置特点，再逐一分析每个选项的正误，最终选出错误的选项。首先回忆外心相关知识点：外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离等于外接圆半径；同时不同形状的三角形外心位置不同：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，据此判断各选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：三角形的外心是外接圆的圆心，外接圆半径相等，因此外心到三个顶点的距离相等，该说法正确。
B选项：根据外心的定义，三角形的外心就是三条边的垂直平分线的交点，该说法正确。
C选项：等腰三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形：若为钝角等腰三角形，外心在三角形外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边中点上，只有锐角等腰三角形的外心才在三角形内部，因此该说法错误。
D选项：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此任何一个三角形有且只有一个外接圆，该说法正确。
综上，错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三角形外心相关知识的掌握，易错点是忽略等腰三角形也可能是钝角或直角三角形，笼统认为外心都在三角形内部，学习时要注意分类讨论不同形状三角形的外心位置。
【难度系数】
0.8
5.「2026河南安阳内黄期中」直角三角形的两直角边长是一元二次方程$m^2 -14m +48=0$的两根，则该三角形外接圆的半径是
5
。答案
5.答案 5
解析 解方程$m^2 -14m +48=0$,得$m_1=6,m_2=8$,则直角三角形的两直角边长分别为6和8,所以该直角三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$,所以该三角形外接圆的半径是5.
解析 解方程$m^2 -14m +48=0$,得$m_1=6,m_2=8$,则直角三角形的两直角边长分别为6和8,所以该直角三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$,所以该三角形外接圆的半径是5.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先根据题意，直角三角形的两直角边是给定一元二次方程的两根，因此第一步要先求解该一元二次方程，得到两条直角边的长度；②再用勾股定理，结合求得的直角边长，计算出直角三角形的斜边长；③最后根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，半径为斜边长的一半，即可算出最终结果。
【解析】
先解一元二次方程$m^2 -14m +48=0$，因式分解得：
$(m-6)(m-8)=0$
解得$m_1=6$，$m_2=8$，即直角三角形的两直角边长分别为6和8。
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以外接圆半径为$10÷2=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解与几何性质结合考查，解题核心是明确直角三角形外接圆直径与斜边的对应关系，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：①首先根据题意，直角三角形的两直角边是给定一元二次方程的两根，因此第一步要先求解该一元二次方程，得到两条直角边的长度；②再用勾股定理，结合求得的直角边长，计算出直角三角形的斜边长；③最后根据直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边长，半径为斜边长的一半，即可算出最终结果。
【解析】
先解一元二次方程$m^2 -14m +48=0$，因式分解得：
$(m-6)(m-8)=0$
解得$m_1=6$，$m_2=8$，即直角三角形的两直角边长分别为6和8。
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以外接圆半径为$10÷2=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解与几何性质结合考查，解题核心是明确直角三角形外接圆直径与斜边的对应关系，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6.用反证法证明时,假设“点在圆内或圆外”,经过推理得出矛盾,则点和圆的位置关系是 (
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
B
)A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆外
D.不确定
答案
6.B 假设“点在圆内或圆外”,经过推理得出矛盾,即假设不成立,则点在圆上.故选B.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心基础：1.点与圆的位置关系共有且仅有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；2.反证法的推理逻辑：若假设的内容经过推导得出矛盾，就说明该假设不成立。本题中给出的假设是“点在圆内或圆外”，推出矛盾即说明该假设错误，排除点在圆内、圆外两种情况后，剩下的位置关系就是正确结论。
【解析】
点与圆的位置关系共有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
根据反证法的规则：假设的命题经推理出现矛盾，则假设不成立。
已知假设“点在圆内或圆外”推导得出矛盾，因此该假设错误，即点既不在圆内，也不在圆外，可得点在圆上。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查对反证法逻辑的理解和点与圆位置关系的识记，解题关键是明确反证法中“假设矛盾则假设不成立”的推理规则，牢记点与圆的三类位置关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个核心基础：1.点与圆的位置关系共有且仅有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；2.反证法的推理逻辑：若假设的内容经过推导得出矛盾，就说明该假设不成立。本题中给出的假设是“点在圆内或圆外”，推出矛盾即说明该假设错误，排除点在圆内、圆外两种情况后，剩下的位置关系就是正确结论。
【解析】
点与圆的位置关系共有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
根据反证法的规则：假设的命题经推理出现矛盾，则假设不成立。
已知假设“点在圆内或圆外”推导得出矛盾，因此该假设错误，即点既不在圆内，也不在圆外，可得点在圆上。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查对反证法逻辑的理解和点与圆位置关系的识记，解题关键是明确反证法中“假设矛盾则假设不成立”的推理规则，牢记点与圆的三类位置关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.「2026浙江宁波期中」用反证法证明:Rt△ABC中，∠C=90°,∠B＞∠A,则∠A＜45°,第一步应假设（
A.$∠ A＜45°$
B.$∠ A＞45°$
C.$∠ A≤45°$
D.$∠ A≥45°$
D
）A.$∠ A＜45°$
B.$∠ A＞45°$
C.$∠ A≤45°$
D.$∠ A≥45°$
答案
7.D 原命题的结论“$∠A＜45°$”的反面为“$∠A≥45°$”.故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反证法的解题逻辑：反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。接下来只需找到原命题结论“∠A＜45°”的反面即可，“小于”的反面是“大于或等于”，因此结论的反面为“∠A≥45°”，对应选项就能得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“∠A＜45°”，其反面为“∠A≥45°”，因此第一步应假设∠A≥45°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.反证法
2.命题结论否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础题型，解题的关键是准确理解反证法的原理，注意“小于”的反面是“大于等于”，不要遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确反证法的解题逻辑：反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。接下来只需找到原命题结论“∠A＜45°”的反面即可，“小于”的反面是“大于或等于”，因此结论的反面为“∠A≥45°”，对应选项就能得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，证明命题时首先要假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“∠A＜45°”，其反面为“∠A≥45°”，因此第一步应假设∠A≥45°，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.反证法
2.命题结论否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础题型，解题的关键是准确理解反证法的原理，注意“小于”的反面是“大于等于”，不要遗漏等于的情况。
【难度系数】
0.8
8.「★☆」如图,已知线段AB,AD,点C在线段AB上,下列说法正确的是 (
A.经过点A,B,C只能作一个圆
B.经过点A,B,D只能作一个圆
C.经过点A,以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A,B,以AD的长为半径只能作一个圆
B
)A.经过点A,B,C只能作一个圆
B.经过点A,B,D只能作一个圆
C.经过点A,以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A,B,以AD的长为半径只能作一个圆
答案
8.B 点A,B,C在一条直线上,不能作圆,故选项A不符合题意;
点A,B,D不在一条直线上,只能作出一个圆,故选项B符合题意;
经过点A,以AD的长为半径能作无数个圆,故选项C不符合题意;
经过点A,B,以AD的长为半径能作两个圆,故选项D不符合题意.
点A,B,D不在一条直线上,只能作出一个圆,故选项B符合题意;
经过点A,以AD的长为半径能作无数个圆,故选项C不符合题意;
经过点A,B,以AD的长为半径能作两个圆,故选项D不符合题意.
解析
【分析】
解题需用到确定圆的相关定理，核心思路如下：首先明确两个核心结论：①不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，共线三点无法作出过三点的圆；②确定一个圆需要同时确定圆心和半径，仅知道部分条件时，可通过判断符合要求的圆心数量，确定圆的个数。解题时逐个将选项对应上述结论判断即可，先通过三点是否共线分析A、B选项，再通过圆心的可选数量分析C、D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：点A、B、C均在直线AB上，属于共线三点，不存在到这三个共线点距离都相等的点，因此无法作出过A、B、C三点的圆，A错误。
2. 选项B：点A、B、D不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆”的定理，可知经过这三个点只能作1个圆，B正确。
3. 选项C：要求圆经过点A、且半径为AD的长，此时圆心可以是平面内所有到点A的距离等于AD长度的点，这类点有无数个，因此可作无数个满足条件的圆，C错误。
4. 选项D：要求圆经过A、B两点、且半径为AD的长，圆心需要同时满足两个条件：①在AB的垂直平分线上（到A、B距离相等，等于半径）；②到A的距离等于AD长。AB的垂直平分线和以A为圆心、AD长为半径的圆有2个交点，即有2个符合条件的圆心，因此可作2个满足条件的圆，D错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三点定圆定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题是对圆的确定条件的基础考查，解题的关键是牢记确定圆的相关定理，易错点是容易误认为过一个定点定半径只能作一个圆，或过两个定点定半径只能作一个圆，分析时结合圆心的可选数量判断即可。
【难度系数】
0.8
解题需用到确定圆的相关定理，核心思路如下：首先明确两个核心结论：①不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，共线三点无法作出过三点的圆；②确定一个圆需要同时确定圆心和半径，仅知道部分条件时，可通过判断符合要求的圆心数量，确定圆的个数。解题时逐个将选项对应上述结论判断即可，先通过三点是否共线分析A、B选项，再通过圆心的可选数量分析C、D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：点A、B、C均在直线AB上，属于共线三点，不存在到这三个共线点距离都相等的点，因此无法作出过A、B、C三点的圆，A错误。
2. 选项B：点A、B、D不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆”的定理，可知经过这三个点只能作1个圆，B正确。
3. 选项C：要求圆经过点A、且半径为AD的长，此时圆心可以是平面内所有到点A的距离等于AD长度的点，这类点有无数个，因此可作无数个满足条件的圆，C错误。
4. 选项D：要求圆经过A、B两点、且半径为AD的长，圆心需要同时满足两个条件：①在AB的垂直平分线上（到A、B距离相等，等于半径）；②到A的距离等于AD长。AB的垂直平分线和以A为圆心、AD长为半径的圆有2个交点，即有2个符合条件的圆心，因此可作2个满足条件的圆，D错误。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；三点定圆定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题是对圆的确定条件的基础考查，解题的关键是牢记确定圆的相关定理，易错点是容易误认为过一个定点定半径只能作一个圆，或过两个定点定半径只能作一个圆，分析时结合圆心的可选数量判断即可。
【难度系数】
0.8
9. 聚焦$\frac{中考}{尺规作图}$「2026广西崇左月考，★☆」已知点A,B，且AB＜4，画经过A,B两点且半径为2的圆有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案
9.C
∵所画圆经过A,B两点,
∴圆心在AB的垂直平分线上,
∵半径为2,AB＜4,
∴以点A为圆心,2为半径作圆,与垂直平分线的交点即为所画圆的圆心,由作图可得这样的圆有2个(图略).故选C.
∵所画圆经过A,B两点,
∴圆心在AB的垂直平分线上,
∵半径为2,AB＜4,
∴以点A为圆心,2为半径作圆,与垂直平分线的交点即为所画圆的圆心,由作图可得这样的圆有2个(图略).故选C.
解析
【分析】
要确定经过A、B两点且半径为2的圆的个数，首先需明确：过两点的圆的圆心到这两点的距离相等，因此圆心一定在AB的垂直平分线上；其次，圆的半径为2，说明圆心到A点的距离必须等于2，因此只需判断AB的垂直平分线上到A点距离为2的点的个数即可。结合AB＜4的条件，可通过比较AB一半的长度与半径2的大小关系，确定交点数量，进而得到圆的个数。
【解析】
∵ 所画的圆经过A、B两点，
∴ 圆心到A、B两点的距离相等，即圆心在AB的垂直平分线上。
又
∵ 圆的半径为2，
∴ 圆心到点A的距离必须等于2，可通过以A为圆心、2为半径作弧，与AB的垂直平分线的交点即为符合条件的圆心。
已知AB＜4，因此AB长度的一半＜2，
∴ 以A为圆心2为半径的弧与AB的垂直平分线有2个不同的交点，即存在2个符合条件的圆心，因此可以画出2个满足要求的圆。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 圆的定义
3. 过两点作圆的特征
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是掌握过两点的圆的圆心的位置规律，结合半径条件转化为直线与圆的交点个数问题，有助于加深对圆的基本性质和垂直平分线应用的理解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定经过A、B两点且半径为2的圆的个数，首先需明确：过两点的圆的圆心到这两点的距离相等，因此圆心一定在AB的垂直平分线上；其次，圆的半径为2，说明圆心到A点的距离必须等于2，因此只需判断AB的垂直平分线上到A点距离为2的点的个数即可。结合AB＜4的条件，可通过比较AB一半的长度与半径2的大小关系，确定交点数量，进而得到圆的个数。
【解析】
∵ 所画的圆经过A、B两点，
∴ 圆心到A、B两点的距离相等，即圆心在AB的垂直平分线上。
又
∵ 圆的半径为2，
∴ 圆心到点A的距离必须等于2，可通过以A为圆心、2为半径作弧，与AB的垂直平分线的交点即为符合条件的圆心。
已知AB＜4，因此AB长度的一半＜2，
∴ 以A为圆心2为半径的弧与AB的垂直平分线有2个不同的交点，即存在2个符合条件的圆心，因此可以画出2个满足要求的圆。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 圆的定义
3. 过两点作圆的特征
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是掌握过两点的圆的圆心的位置规律，结合半径条件转化为直线与圆的交点个数问题，有助于加深对圆的基本性质和垂直平分线应用的理解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
10.「2026江苏无锡月考，★☆」如图，四边形ABCD是矩形.
(1)E为DC中点,请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:作圆,使该圆过点A,B,E,圆心记为O(不写作法,保留作图痕迹,标注相应的字母).
(2)若AB=2,AD=3,求(1)中所作圆的半径.
(1)E为DC中点,请在图中用无刻度的直尺和圆规作图:作圆,使该圆过点A,B,E,圆心记为O(不写作法,保留作图痕迹,标注相应的字母).
(2)若AB=2,AD=3,求(1)中所作圆的半径.
答案
10.解析 (1)如图,点E和⊙O即为所求.
(2)如图,连接OA,
由(1)可知,OF垂直平分AB,
∴∠AFE=90°,
∵AB=2,
∴$AF=\frac{1}{2}AB=1$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAF=∠ADE=90°,
∴四边形ADEF是矩形,
∴EF=AD=3.
设⊙O的半径为r,则OA=OE=r,OF=3-r.
在Rt△AOF中,$AF^2+OF^2=OA^2$,即$1^2+(3-r)^2=r^2$,
解得$r=\frac{5}{3}$,即⊙O的半径为$\frac{5}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先用尺规作DC的中点E，可通过作线段DC的垂直平分线得到中点；要作过A、B、E三点的圆，圆心是△ABE的外心，也就是三角形任意两边垂直平分线的交点，因此只需作出AB和AE（或AB和BE、AE和BE）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以O为圆心，OA长为半径作圆即可。
(2) 求圆的半径时，先结合垂直平分线的性质得到AF的长度，再利用矩形的性质得到EF的长度，设半径为r，将Rt△AOF的三边用含r的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作图结果如图所示，点E和⊙O即为所求。
(2) 连接OA，
由作图可知OF垂直平分AB，
∴∠AFE=90°，$AF=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=2，
∴$AF=1$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAF=∠ADE=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴$EF=AD=3$，
设⊙O的半径为r，则$OA=OE=r$，$OF=EF-OE=3-r$，
在Rt△AOF中，由勾股定理得$AF^2+OF^2=OA^2$，
代入数据得：$1^2+(3-r)^2=r^2$，
展开化简得：$1+9-6r+r^2=r^2$，即$10=6r$，
解得$r=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 如图，点E和⊙O即为所求；
(2) 所作圆的半径为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
三角形外接圆的作法，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，考查了三角形外心的性质，同时需要熟练运用矩形的性质和勾股定理，解题时利用方程思想将几何问题转化为代数方程求解，是常见的基础几何综合题型。
【难度系数】
0.75
(1) 首先用尺规作DC的中点E，可通过作线段DC的垂直平分线得到中点；要作过A、B、E三点的圆，圆心是△ABE的外心，也就是三角形任意两边垂直平分线的交点，因此只需作出AB和AE（或AB和BE、AE和BE）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以O为圆心，OA长为半径作圆即可。
(2) 求圆的半径时，先结合垂直平分线的性质得到AF的长度，再利用矩形的性质得到EF的长度，设半径为r，将Rt△AOF的三边用含r的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 作图结果如图所示，点E和⊙O即为所求。
(2) 连接OA，
由作图可知OF垂直平分AB，
∴∠AFE=90°，$AF=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=2，
∴$AF=1$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAF=∠ADE=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴$EF=AD=3$，
设⊙O的半径为r，则$OA=OE=r$，$OF=EF-OE=3-r$，
在Rt△AOF中，由勾股定理得$AF^2+OF^2=OA^2$，
代入数据得：$1^2+(3-r)^2=r^2$，
展开化简得：$1+9-6r+r^2=r^2$，即$10=6r$，
解得$r=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) 如图，点E和⊙O即为所求；
(2) 所作圆的半径为$\frac{5}{3}$。
【知识点】
三角形外接圆的作法，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，考查了三角形外心的性质，同时需要熟练运用矩形的性质和勾股定理，解题时利用方程思想将几何问题转化为代数方程求解，是常见的基础几何综合题型。
【难度系数】
0.75
