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9.「2025广东河源龙川期末，★☆」技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为$s^2_甲=10$，$s^2_乙=a$，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则a的值可以是（
A.9
B.10
C.11
D.12
A
）A.9
B.10
C.11
D.12
答案
9.A 因为乙地小麦比甲地小麦长得整齐,所以$a＜10$.故选 A.
10.「★☆」某校举行党史知识竞赛，下图是10名决赛选手的成绩.对于这10名选手的成绩，下列说法中正确的是
（
A.离差平方和是16
B.方差是160
C.标准差是4
D.众数是5
（
C
）A.离差平方和是16
B.方差是160
C.标准差是4
D.众数是5
答案
10.C 根据题中条形统计图可知95出现了5次,出现次数最多,故众数为95.
平均数为$\frac{1}{10}×(85+90×3+95×5+100)=93$,
离差平方和为$(85-93)^2+3×(90-93)^2+5×(95-93)^2+(100-93)^2=160$,
故方差为$160×\frac{1}{10}=16$,标准差为$\sqrt{16}=4$.故选 C.
平均数为$\frac{1}{10}×(85+90×3+95×5+100)=93$,
离差平方和为$(85-93)^2+3×(90-93)^2+5×(95-93)^2+(100-93)^2=160$,
故方差为$160×\frac{1}{10}=16$,标准差为$\sqrt{16}=4$.故选 C.
11.「2026河北石家庄二十三中月考，★☆」某排球队6名队员的身高(单位:cm)分别是180,184,188,190,192,194.现增加一名身高为188 cm的队员,与增加之前相比,增加后队员身高 (
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
C
)A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
答案
11.C 增加前队员身高的平均数为$\frac{1}{6}×(180+184+188+190+192+194)=188$( cm ),方差为$\frac{1}{6}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{68}{3}$,
增加后队员身高的平均数为$\frac{1}{7}×(180+184+188+190+192+194+188)=188$( cm ),方差为$\frac{1}{7}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2×2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{136}{7}$,
因为$\frac{136}{7}＜\frac{68}{3}$,所以平均数不变,方差变小.故选 C.
增加后队员身高的平均数为$\frac{1}{7}×(180+184+188+190+192+194+188)=188$( cm ),方差为$\frac{1}{7}×[(180-188)^2+(184-188)^2+(188-188)^2×2+(190-188)^2+(192-188)^2+(194-188)^2]=\frac{136}{7}$,
因为$\frac{136}{7}＜\frac{68}{3}$,所以平均数不变,方差变小.故选 C.
12.「2026陕西西安莲湖月考，★☆」若一组数据的离差平方和$S^2=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_{10}-\bar{x})^2=50$，则这组数据的方差是
5
。答案
12.答案 5
解析 由题意可得这组数据共有10个,所以这组数据的方差$s^2=\frac{1}{10}S^2=\frac{1}{10}×50=5$.
解析 由题意可得这组数据共有10个,所以这组数据的方差$s^2=\frac{1}{10}S^2=\frac{1}{10}×50=5$.
13.「2025山东东营期中，★☆」已知2,3,5,m,n五个数据的方差是4,那么3,4,6,m+1,n+1五个数据的标准差是
2
.答案
13.答案 2
解析 数据3,4,6,m+1,n+1是由数据2,3,5,m,n中的每个数据都加1得到的,所以两组数据的方差相等,所以数据3,4,6,m+1,n+1五个数据的标准差是$\sqrt{4}=2$.
解析 数据3,4,6,m+1,n+1是由数据2,3,5,m,n中的每个数据都加1得到的,所以两组数据的方差相等,所以数据3,4,6,m+1,n+1五个数据的标准差是$\sqrt{4}=2$.
14. 核心素养 运算能力 第1组数据为0,0,0,1,1,1,第2组数据为$\overbrace{0,0,···,0}^{m个0}$,$\overbrace{1,1,···,1}^{n个1}$,其中$m,n$是正整数.有下列结论:①当$m=n$时,两组数据的平均数相等;②当$m＞n$时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当$m＜n$时,第1组数据的方差小于第2组数据的方差;④当$m=n$时,第1组数据的方差等于第2组数据的方差.其中正确的是 (
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
C
)A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
14.C 第1组数据的平均数为0.5.①当$m=n$时,第2组数据的平均数为$\frac{0×m+1×n}{m+n}=\frac{m}{2m}=0.5$,①正确.②当$m＞n$时,$m+n＞2n$,所以$\frac{n}{m+n}＜0.5$,所以第1组数据的平均数大于第2组数据的平均数,②错误.③第1组数据的方差为$\frac{3×(0-0.5)^2+3×(1-0.5)^2}{6}=0.25$,当$m＜n$时,设$m=2$,$n=4$,则第2组数据的平均数为$\frac{1}{2+4}×(0+0+1+1+1+1)=\frac{2}{3}$,方差为$\frac{1}{6}×[(0-\frac{2}{3})^2×2+(1-\frac{2}{3})^2×4]=\frac{2}{9}$,$\frac{2}{9}＜0.25$,③错误.④当$m=n$时,第2组数据的方差为$\frac{m×(0-0.5)^2+n×(1-0.5)^2}{m+n}=0.25$,所以第1组数据的方差等于第2组数据的方差,所以④正确.故选 C.
1.「2026山东威海乳山期中改编」已知一组数据$x_1$，$x_2$，…，$x_n$的平均数为10，方差为6，则数据$x_1+2$，$x_2+2$，…，$x_n+2$的平均数为
12
，方差为6
。答案
1.答案 12;6
解析 将数据$x_1,x_2,\dots,x_n$中的每个数据都加上2,得到数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$,因为数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为10,方差为6,所以数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的平均数为$10+2=12$,方差仍为6.
解析 将数据$x_1,x_2,\dots,x_n$中的每个数据都加上2,得到数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$,因为数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为10,方差为6,所以数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的平均数为$10+2=12$,方差仍为6.
2.已知一组数据$x_1,x_2,x_3,···,x_n$的平均数为5，方差为2，则数据$3x_1,3x_2,3x_3,···,3x_n$的平均数为
15
，方差为18
。答案
2.答案 15;18
解析 将数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$中的每个数据都乘3,得到数据$3x_1,3x_2,3x_3,\dots,3x_n$,因为数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$的平均数为5,方差为2,所以数据$3x_1,3x_2,3x_3,\dots,3x_n$的平均数为$3×5=15$,方差为$3^2×2=18$.
解析 将数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$中的每个数据都乘3,得到数据$3x_1,3x_2,3x_3,\dots,3x_n$,因为数据$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$的平均数为5,方差为2,所以数据$3x_1,3x_2,3x_3,\dots,3x_n$的平均数为$3×5=15$,方差为$3^2×2=18$.
3.已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为40，方差为4，则数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数为
77
，方差为16
。答案
3.答案 77;16
解析 将数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$中的每个数据都乘2,再减去3,得到数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$,因为数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为40,方差为4,所以数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数为$2×40-3=77$,方差为$2^2×4=16$.
解析 将数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$中的每个数据都乘2,再减去3,得到数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$,因为数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为40,方差为4,所以数据$2x_1-3,2x_2-3,2x_3-3,2x_4-3,2x_5-3$的平均数为$2×40-3=77$,方差为$2^2×4=16$.
4.已知一组数据$3x_1+2$，
$+2$，$3x_3+2$，$3x_4+2$的平均数为$m$，方差为$n$，则数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为
$+2$，$3x_3+2$，$3x_4+2$的平均数为$m$，方差为$n$，则数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$\frac{m-2}{3}$
，方差为$\frac{n}{9}$
。答案
4.答案 $\frac{m-2}{3};\frac{n}{9}$
解析 设数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$a$,方差为$b$,将数据$x_1,x_2,x_3,x_4$中的每个数据都乘3,再加上2,得到数据$3x_1+2,3x_2+2,3x_3+2,3x_4+2$,因为数据$3x_1+2,3x_2+2,3x_3+2,3x_4+2$的平均数为$m$,方差为$n$,所以$3a+2=m$,$3^2×b=n$,所以$a=\frac{m-2}{3}$,$b=\frac{n}{9}$.
解析 设数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数为$a$,方差为$b$,将数据$x_1,x_2,x_3,x_4$中的每个数据都乘3,再加上2,得到数据$3x_1+2,3x_2+2,3x_3+2,3x_4+2$,因为数据$3x_1+2,3x_2+2,3x_3+2,3x_4+2$的平均数为$m$,方差为$n$,所以$3a+2=m$,$3^2×b=n$,所以$a=\frac{m-2}{3}$,$b=\frac{n}{9}$.
