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7 (2025·青岛市南区育才中学三模)如图,点A在y轴的正半轴上,以OA为边在OA左侧作菱形OABC,且$∠ AOC=60°$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象经过点C,若菱形OABC的面积是12,则k的值为
−6
.答案
7.−6
8 (2025·毕节大方模拟)如图，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，$AB⊥y$轴于点B，$AC⊥x$轴于点C，且矩形ABOC的面积为8.
(1)求$k$的值；
(2)若点$P(1,m),Q(t,n)$是该反比例函数图象上的两点，若$m＞n$，求$t$的取值范围.
(1)求$k$的值；
(2)若点$P(1,m),Q(t,n)$是该反比例函数图象上的两点，若$m＞n$，求$t$的取值范围.
答案
8.(1)由条件可知,$S_{矩形ABOC}=|k|=8$,$\therefore k=\pm8$.
$\because$反比例函数的图象位于第一、三象限,$\therefore k＞0$,$\therefore k=8$.
(2)$\because k=8$,$\therefore$反比例函数的表达式是 $y=\frac{8}{x}$.
$\because$点 $P(1,m)$ 在该反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上,
$\therefore m=\frac{8}{1}=8$,$\therefore P(1,8)$,$\therefore$点 P 在第一象限.
分情况讨论:
①当点 Q 在第一象限时,
$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$当 $m＞n$ 时,$t＞1$;
②当点 Q 在第三象限时,$n＜0$,
$\therefore n＜m$,符合题意,此时 $t＜0$.
综上所述,$t$ 的取值范围是 $t＜0$ 或 $t＞1$.
$\because$反比例函数的图象位于第一、三象限,$\therefore k＞0$,$\therefore k=8$.
(2)$\because k=8$,$\therefore$反比例函数的表达式是 $y=\frac{8}{x}$.
$\because$点 $P(1,m)$ 在该反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上,
$\therefore m=\frac{8}{1}=8$,$\therefore P(1,8)$,$\therefore$点 P 在第一象限.
分情况讨论:
①当点 Q 在第一象限时,
$\because y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$当 $m＞n$ 时,$t＞1$;
②当点 Q 在第三象限时,$n＜0$,
$\therefore n＜m$,符合题意,此时 $t＜0$.
综上所述,$t$ 的取值范围是 $t＜0$ 或 $t＞1$.
9 (2025·贵港港北二中模拟)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ ACB=60°$，$BC$在$x$轴上，$BC=2$，点$A$在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，将$△ ABC$沿$AC$翻折，点$B$恰好落在此函数图象上的点$D$处，则$k$的值为(
A.$8\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
C
).A.$8\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
9.C
10 (2026·山东淄博临淄区期末)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是矩形,AD//x轴,A(-3, $\frac{3}{2}$),AB=1,AD=2.
(1)直接写出B,C,D三点的坐标;
(2)将矩形ABCD向右平移m个单位长度,使点A,C恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,得到矩形A'B'C'D',求矩形ABCD平移的距离m和反比例函数的表达式.
(1)直接写出B,C,D三点的坐标;
(2)将矩形ABCD向右平移m个单位长度,使点A,C恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,得到矩形A'B'C'D',求矩形ABCD平移的距离m和反比例函数的表达式.
答案
10.(1)$\because$四边形 ABCD 是矩形,$AD// x$轴,$A(-3,\frac{3}{2})$,$AB=1$,$AD=2$,$\therefore B(-3,\frac{1}{2})$,$C(-1,\frac{1}{2})$,$D(-1,\frac{3}{2})$.
(2)$\because$将矩形 ABCD 向右平移 m 个单位长度,使点 A,C 恰好同时落在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,
$\therefore A'(-3+m,\frac{3}{2})$,$C'(-1+m,\frac{1}{2})$.
由反比例函数图象上点的坐标特征可知,
$(-3+m)×\frac{3}{2}=(-1+m)×\frac{1}{2}$,
解得 $m=4$,$\therefore k=(-3+4)×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore$反比例函数表达式为 $y=\frac{3}{2x}$.
(2)$\because$将矩形 ABCD 向右平移 m 个单位长度,使点 A,C 恰好同时落在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,
$\therefore A'(-3+m,\frac{3}{2})$,$C'(-1+m,\frac{1}{2})$.
由反比例函数图象上点的坐标特征可知,
$(-3+m)×\frac{3}{2}=(-1+m)×\frac{1}{2}$,
解得 $m=4$,$\therefore k=(-3+4)×\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$,
$\therefore$反比例函数表达式为 $y=\frac{3}{2x}$.
11 (2025·浙江湖州吴兴区期末)已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象和 $y=-\frac{k}{x}$ 的图象在同一平面直角坐标系中.
(1)反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上有一点 $A(3,m)$.
①若直线 $y=2x-1$ 经过点 $A$,求此时 $k$ 的值;
②若点 $B(t,n)$ 也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上,且 $m＞n$,直接写出 $t$ 的取值范围.
(2)当 $1≤x≤4$ 时,函数 $y=\frac{k}{x}$ 的最小值为 $a$,函数 $y=-\frac{k}{x}$ 的最大值为 $a-3$,求此时 $k$ 和 $a$ 的值.
(1)反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上有一点 $A(3,m)$.
①若直线 $y=2x-1$ 经过点 $A$,求此时 $k$ 的值;
②若点 $B(t,n)$ 也在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象上,且 $m＞n$,直接写出 $t$ 的取值范围.
(2)当 $1≤x≤4$ 时,函数 $y=\frac{k}{x}$ 的最小值为 $a$,函数 $y=-\frac{k}{x}$ 的最大值为 $a-3$,求此时 $k$ 和 $a$ 的值.
答案
11.(1)①将 $A(3,m)$ 代入 $y=2x-1$,得 $m=5$,
即 $A(3,5)$.再将点 A 代入 $y=\frac{k}{x}$ 中,
得 $k=3×5=15$.
②如图,由图可知,当 $m＞n$ 时,则 $t＜0$ 或 $t＞3$.
(2)当 $1≤ x≤ 4$ 时,函数 $y=\frac{k}{x}$ 的最小值为 $a$,$\therefore 4a=k$.
当 $1≤ x≤ 4$ 时,函数 $y=-\frac{k}{x}$ 的最大值为 $a-3$,
$\therefore 4(a-3)=-k$.
解方程组 $\begin{cases}4a=k,\\4(a-3)=-k,\end{cases}$得 $\begin{cases}k=6,\\a=\dfrac{3}{2}.\end{cases}$
