8(2026·徐州树人中学期中)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$AB=CD$.求证:$∠ B=∠ C$.

8. 在$\odot O$中,$AB=CD$,
$∴\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},∴\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{AD}$,
即$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA},∴∠B=∠C.$

9(2026·南京模拟)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,∠ADC＜∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE=∠ADC.
(1)若∠AFE=60°,CD为直径,求∠ABD的度数.
(2)求证:①EF//BC;
②EF=BD.

9. (1)$∵CD$为直径,$∴∠CAD=90°.$
$∵∠AFE=∠ADC=60°,∴∠ACD=90°-60°=30°,$
$∴∠ABD=∠ACD=30°.$
(2)①如图,延长 AB 至点 M,
$∵$四边形 ABCD 是圆内接四边形,易得$∠CBM=∠ADC.$
又$∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM,∴EF// BC.$

②如图,过点 D 作$DG// BC$交圆于点 G,连接 AG,CG.
$∵DG// BC,∴\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CG},∴BD=CG.$
$∵$四边形 ACGD 是圆内接四边形,易得$∠GDE=∠ACG.$
$∵EF// BC,∴EF// DG,∴∠DEF=∠GDE,$
$∴∠DEF=∠ACG.$
$∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴∠AFE=∠AGC.$
$∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS),$
$∴EF=CG,∴EF=BD.$
归纳总结 本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质,掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质是正确解答的关键.

10 隐圆模型（南京中华中学特长生）
如图，$∠ ACB=90°$，$△ DEF$中，$∠ D = 90°$，$DE = 3$，$DF=4$，$E$，$F$分别在射线$CB$，$CA$上滑动，开始时，点$F$与点$C$重合，当点$E$向点$C$运动时，点$F$沿着$CA$方向运动（保持$△ DEF$）形状不变，点$E$从起始位置运动到点$C$的过程中，点$D$的运动轨迹的长度是。

10. 2

11 (2026·徐州月考)请阅读材料,并完成下列问题.
阿基米德,伟大的数学家之一,其与牛顿、高斯并称为三大数学王子.在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理:如图(1),AB和BC是$\odot O$的两条弦,其中$BC＞AB$,D是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,过点D向BC作$DM⊥ BC$交BC于点M,则M就是折弦ABC的中点,即$CM=AB+BM$.

(1)下面是用“截长法”证明$CM=AB+BM$的部分过程.
证明:如图(2),在BC上截取$CE=AB$,连接AD,BD,CD,ED.
∵D是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴$AD=CD$,
…
请根据上面的证明思路,写出证明的剩余部分.
(2)在图(1)中,若$AB=2$,$BC=8$,$DM=5$,求$\odot O$的半径.

11. (1)$∵D$是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,
$∴\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD},∴AD=CD.$在$\odot O$中,$∠A=∠C$,
在$△ABD$和$△CED$中,
$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠A=∠C, \\ AB=CE, \end{cases}∴△ABD≌△CED(SAS),$
$∴BD=ED. ∵DM⊥BC,∴BM=EM,$
$∴CM=CE+ME=AB+BM.$
(2)如图,过点 O 作$OF⊥DM$于点 F,$OG⊥BC$于点 G,连接 DO,CO,MO,

由(1)可知$CM=\frac{1}{2}(AB+BC)=5$,
$∵OG$过圆心 O 且$OG⊥BC$,
$∴CG=\frac{1}{2}BC=4$,
$∴MG=CM-CG=5-4=1.$
$∵OF⊥DM,OG⊥BC,DM⊥BC,$
$∴$四边形 OFMG 是矩形,$∴OF=MG=1.$
在$△MOD$和$△MOC$中,$\begin{cases} DM=CM, \\ OM=OM, \\ OD=OC, \end{cases}$
$∴△MOD≌△MOC(SSS),∴OG=OF=1,$
$∴OC=\sqrt{OG^2+CG^2}=\sqrt{17}.$故$\odot O$的半径为$\sqrt{17}.$