1[2026浙江宁波调研,中]如图,已知$AB=AC=AD$,$∠CBD=2∠BDC$,$∠BAC=42°$,则$∠CAD$的度数为 ()

A.$56°$
B.$78°$
C.$84°$
D.$112°$

(第1题图)
(第2题图)

C 【解析】
∵ AB=AC=AD,
∴ B,C,D 三点在以点 A 为圆心,AB 为半径的圆上,如图.
∵ ∠BAC = 42°,
∴ ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 21°,
∴ ∠CBD = 2∠BDC = 42°,
∴ ∠CAD = 2∠CBD = 84°. 故选 C.

2[中]如图,AB是$\odot O$的直径,点C为$\overset{\frown}{ACB}$的中点,点D为$\overset{\frown}{ACB}$上的一个动点,连结CD,作$DE ⊥ CD$,交AB于点E,连结CE.若$\odot O$半径为5,且$\frac{DE}{CD}=\frac{3}{4}$,则$△ CDE$的面积为（）

A.6
B.7.5
C.$5\sqrt{2}$
D.10

B 【解析】延长 DE 交 ⊙O 于点 F,连结 CF,如图.
∵ DE ⊥ CD,则 ∠D = 90°,
∴ CF 是 ⊙O 的直径.
∵ 点 C 为 $\overset{\frown}{ACB}$ 的中点,
∴ AB ⊥ CF. 又
∵ CO = FO,
∴ CE = EF.
∵ $\frac{DE}{CD}=\frac{3}{4}$,
∴ 设 DE = 3m, CD = 4m,则 CE = EF = 5m,
∴ DF = DE + EF = 8m. 在Rt△DCF 中,CF = 2×5 = 10, $CF^2 = CD^2 + DF^2$,即 $10^2 = 16m^2 + 64m^2$,
∴ m = $\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴ CD = $2\sqrt{5}$, DE = $\frac{3}{2}\sqrt{5}$,
∴ $S_{△CDE} = \frac{1}{2}CD·DE = \frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{3}{2}\sqrt{5} = 7.5$. 故选 B.

3[2025浙江杭州调研,中]如图,$△ ABC$内接于$\odot O$,$DG$是$\odot O$的直径,与$AC$相交于点$M$,且$DG ⊥ AB$.若$\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$,$BC=2\sqrt{6}$,则$AM^2+CM^2$的值为.

(第3题图)
(第4题图)

24 【解析】如图,过 O 作 OE ⊥ BC 于 E,则 ∠OEB = 90°,连结 OB,OC,BM,
∴ BE = CE = $\frac{1}{2}BC = \sqrt{6}$.
∵ ⊙O 的半径为 $2\sqrt{3}$,
∴ 在Rt△OBE 中,由勾股定理得 OE = $\sqrt{OB^2-BE^2} = \sqrt{6}$,
∴ OE = BE,
∴ ∠OBE = ∠EOB = $\frac{180°-∠OEB}{2} = 45°$.
∵ OB = OC,OE ⊥ BC,
∴ ∠BOC = 2∠BOE = 90°,
∴ ∠MAB = $\frac{1}{2}$∠BOC = 45°.
∵ 直径 DG ⊥ AB,
∴ DG 是 AB 的垂直平分线,
∴ MA = MB,
∴ ∠MAB = ∠MBA = 45°,
∴ ∠AMB = 90° = ∠BMC,
∴ $AM^2 + CM^2 = BM^2 + CM^2 = BC^2 = 24$. 故答案为 24.

4[中]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=6$,$BC=10$,点$D$是$AC$边上一动点,连结$BD$,作$AE ⊥ BD$于点$E$,则线段$CE$长度的最小值为.

$\sqrt{73}-3$ 【解析】
∵ AE ⊥ BD 于点 E,
∴ A,B,E 在以 AB 为直径的⊙O 上,连结 CO,交⊙O 于 E,此时 CE 最短,如图. 在Rt△ABC 中,由勾股定理得 AC = 8,
∴ CO = $\sqrt{AC^2+AO^2} = \sqrt{8^2+3^2} = \sqrt{73}$,
∴ 线段 CE 长度的最小值为 $\sqrt{73}-3$,故答案为 $\sqrt{73}-3$.

5 新考法[2026江苏南京质检,较难]已知P为⊙O外一点,用无刻度直尺和圆规完成下列作图.(保留作图痕迹,不用写出作法)

(1)如图(1),在⊙O上求作一个点M,使∠PMO=90°;
(2)如图(2),在⊙O上求作一个点N,使∠PNO=45°.
刷素养 走向重高

(1)如图(1),点 M 即为所求(答案不唯一).

(2)如图(2),点 N 即为所求(答案不唯一).

6 核心素养 模型观念 [较难]关于x的方程$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$,如果$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$且$c≠0$,那么我们把这样的方程称为“勾股方程”.请解决下列问题:
(1)请写出一个“勾股方程”:;
(2)求证:关于x的“勾股方程”$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$必有实数根;
(3)如图,已知AB,CD是半径为1的$\odot O$的两条平行弦,$AB=a,CD=b$,且关于x的方程$\frac{a}{2}x^2 + \sqrt{2}x + \frac{b}{2}=0$是“勾股方程”,求$∠BAC$的度数.

(1)$6x^2+10\sqrt{2}x+8=0$(答案不唯一)
(2)【证明】
∵ 关于 x 的方程 $ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$ 是“勾股方程”,
∴ $a^2+b^2=c^2$ 且 c≠0.
①当 a≠0 时,$(\sqrt{2}c)^2-4ab = 2c^2-4ab = 2(a^2+b^2)-4ab = 2(a^2+b^2-2ab) = 2(a-b)^2 ≥ 0$,
∴ 关于 x 的“勾股方程”$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$ 必有实数根;
②当 a=0 时,方程为 $\sqrt{2}cx + b=0$,c≠0,
∴ 关于 x 的“勾股方程”$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$ 必有实数根.
综上,关于 x 的“勾股方程”$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$ 必有实数根.
(3)【解】作 OE ⊥ AB 于 E,延长 EO 交 CD 于 F,连结 OB,OC,如图.

∵ DC//AB,EF ⊥ AB,
∴ EF ⊥ CD,
∴ AE = BE = $\frac{1}{2}a$,CF = DF = $\frac{1}{2}b$.
∵ $BE^2+OE^2=OB^2$,
∴ $(\frac{1}{2}a)^2 + OE^2 = 1^2$.
∵ $\frac{1}{2}ax^2+\sqrt{2}x+\frac{1}{2}b=0$ 是“勾股方程”,
∴ $(\frac{1}{2}a)^2 + (\frac{1}{2}b)^2 = 1^2$,
∴ OE = $\frac{1}{2}b = CF$.
∵ OB = OC,
∴ Rt△BOE ≌ Rt△OCF(HL),
∴ ∠FOC = ∠OBE.
∵ ∠OBE + ∠EOB = 90°,
∴ ∠FOC + ∠EOB = 90°,
∴ ∠COB = 90°,
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 45°.