1.「2026江苏连云港期中」若关于$x$的方程$(x-4)^2 = m+1$有解，则$m$的取值范围是（）

A.$m≥ 0$
B.$m≥ -1$
C.$m＞ -1$
D.$m＞1$

∵ 关于 x 的方程$(x-4)^2 = m+1$有解,$\therefore m+1≥0$,
解得 $m≥-1$.故选 B.

【分析】
首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即对于任意实数a，恒有$a^2≥0$。本题中方程左边是$(x-4)^2$，属于平方形式，因此它的取值一定大于等于0。方程有解意味着等号左右两边的取值范围要匹配，因此右侧的$m+1$也必须是非负数，接下来只需解对应的不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
根据平方的非负性可知，对任意实数x，都有$(x-4)^2≥0$。
∵ 关于x的方程$(x-4)^2 = m+1$有解，
∴ 等号右侧的$m+1$需满足非负条件，即$m+1≥0$，
解不等式，移项得$m≥-1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 一元二次方程解的判定
【点评】
本题是基础题型，重点考查平方非负性的应用，掌握偶次幂的非负性是解决这类参数取值范围问题的核心。
【难度系数】
0.9

2.解方程：
(1)「2026甘肃定西期中」$(x-1)^2=4.$
(2)「2026甘肃兰州期中」$4(x+1)^2 -25=0.$
(3)「2026江苏南京月考」$(3x+1)^2=9(2x+3)^2.$

(1)两边开平方,得 $x-1=±2$,
$\therefore x-1=2$ 或 $x-1=-2$,
解得 $x_1=3,x_2=-1$.
(2)移项,得 $4(x+1)^2=25$,
两边同时除以 4,得 $(x+1)^2=\frac{25}{4}$,
两边开平方,得 $x+1=±\frac{5}{2}$,
解得 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{7}{2}$.
(3)两边开平方,得 $3x+1=±3(2x+3)$,
解得 $x_1=-\frac{8}{3},x_2=-\frac{10}{9}$.

【分析】
这三道题均适用直接开平方法求解一元二次方程，解题核心是先将方程整理为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式，再根据平方根的性质，两边开平方将二次方程降次为两个一元一次方程，分别求解即可。具体思路：(1)原式已经是平方等于非负数的形式，可直接开平方计算；(2)先通过移项、系数化为1，将左边化为完全平方式、右边化为非负数，再开平方求解；(3)方程两边均为完全平方式，可直接开平方，注意右边开平方后带正负号，分两种情况列一元一次方程求解。
【解析】
(1) 两边开平方，得 $x-1=\pm2$，
$\therefore x-1=2$ 或 $x-1=-2$，
解得 $x_1=3,x_2=-1$。
(2) 移项，得 $4(x+1)^2=25$，
两边同时除以4，得 $(x+1)^2=\frac{25}{4}$，
两边开平方，得 $x+1=\pm\frac{5}{2}$，
解得 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{7}{2}$。
(3) 两边开平方，得 $3x+1=\pm3(2x+3)$，
分两种情况计算：
①$3x+1=3(2x+3)$，解得$x=-\frac{8}{3}$；
②$3x+1=-3(2x+3)$，解得$x=-\frac{10}{9}$；
即$x_1=-\frac{8}{3},x_2=-\frac{10}{9}$。
【答案】
(1) $x_1=3,x_2=-1$
(2) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{7}{2}$
(3) $x_1=-\frac{8}{3},x_2=-\frac{10}{9}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
这组题目是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，解题关键是准确将方程转化为完全平方式等于非负数的形式，开平方时注意正负两种情况，避免漏解，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.8

3.「2026湖北武汉月考」用配方法解方程$x^2+6x-4=0$，下列变形正确的是（）

A.$(x+3)^2=3$
B.$(x-3)^2=10$
C.$(x+2)^2=7$
D.$(x+3)^2=13$

移项,得 $x^2+6x=4$,配方,得 $x^2+6x+9=4+9$,即 $(x+3)^2=13$.
故选 D.

【分析】
要判断用配方法变形的正确结果，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，保证等号左侧只含二次项和一次项；第二步配方，本题二次项系数已经是1，直接给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方形式，最后化简得到结果即可对应选项。
【解析】
首先对原方程移项，将常数项-4移到等号右侧，得：
$x^2+6x=4$
接下来配方，一次项系数是6，它的一半是3，平方为9，给等式两边同时加9：
$x^2+6x+9=4+9$
根据完全平方公式，左侧可整理为$(x+3)^2$，右侧计算得13，即：
$(x+3)^2=13$
因此变形正确的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项要变号，配方时等式两边必须同时加上相同的数，避免漏加右侧常数导致错误。
【难度系数】
0.8

4. 学科特色 教材变式 填上适当的数,使等式成立.
(1)$x^2 +10x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(2)$x^2 -12x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(3)$x^2 +5x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(4)$x^2 - \frac{2}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(5)$x^2 +2\sqrt{2}x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.

(1)25;5 (2)36;6 (3)$\frac{25}{4}$;$\frac{5}{2}$ (4)$\frac{1}{9}$;$\frac{1}{3}$
(5)2;$\sqrt{2}$

【分析】
这组题目考查二次三项式配完全平方的能力，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。本题中所有式子二次项系数均为1，对应公式里的$a=x$，因此只需先提取一次项系数，取它的一半得到公式里的$b$，再将$b$平方就是需要补充的常数项，括号内的常数就是$b$，符号与一次项符号保持一致即可。
【解析】
根据完全平方公式的结构特征，对每个式子逐一计算：
(1) 一次项系数为10，一半是$10÷2=5$，常数项为$5^2=25$，因此填25、5；
(2) 一次项系数为-12，一半是$-12÷2=-6$，常数项为$(-6)^2=36$，因此填36、6；
(3) 一次项系数为5，一半是$5÷2=\frac{5}{2}$，常数项为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{3}$，一半是$-\frac{2}{3}÷2=-\frac{1}{3}$，常数项为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此填$\frac{1}{9}$、$\frac{1}{3}$；
(5) 一次项系数为$2\sqrt{2}$，一半是$2\sqrt{2}÷2=\sqrt{2}$，常数项为$(\sqrt{2})^2=2$，因此填2、$\sqrt{2}$。
【答案】
(1)25；5
(2)36；6
(3)$\frac{25}{4}$；$\frac{5}{2}$
(4)$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{3}$
(5)2；$\sqrt{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构的理解与应用，熟练掌握本题的配方方法，是后续学习解一元二次方程、二次函数变形等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8

5.「2026 广东东莞期中改编」在解一元二次方程 $x^2 - 2x - 8 = 0$ 时，小明的解法如下：
第一步：$x^2 - 2x = 8$，
第二步：$x^2 - 2x + 1 = 8$，
第三步：$(x - 1)^2 = 8$，
第四步：$x - 1 = 2\sqrt{2}$ 或 $x - 1 = -2\sqrt{2}$，
第五步：$x_1 = 1 + 2\sqrt{2}$，$x_2 = 1 - 2\sqrt{2}$。
(1) 小明第三步配方的依据是 。
A.完全平方公式 B.平方差公式
(2) 小明的解答过程从第 步开始出现错误。
(3) 请你用正确的方法解方程。

(1)A.
(2)二.
(3)移项,得 $x^2-2x=8$,配方,得 $x^2-2x+1=8+1$,即 $(x-1)^2=9$,两边开平方,得 $x-1=±3$,解得 $x_1=-2,x_2=4$.

【分析】
(1) 回忆整式乘法公式，完全平方公式为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，配方时将$x^2-2x+1$变形为$(x-1)^2$正是运用了该公式，即可选出正确选项；
(2) 配方法解一元二次方程需遵循等式的性质，配方时等式两边要同时加同一个数（一次项系数一半的平方），观察小明的步骤，第二步仅左边加1、右边未加，违背等式性质，即可判断出错步骤；
(3) 按照配方法规范步骤解题：先移项将常数项移到等号右侧，再等式两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开平方求解即可。
【解析】
(1) 配方过程中将$x^2-2x+1$转化为$(x-1)^2$，依据的是完全平方公式，故选A。
(2) 根据等式的性质，等式两边同时加同一个数，等式仍然成立。小明第二步仅在方程左边加1，右边未加1，等式不成立，因此从第二步开始出错。
(3) 正确解方程：
移项，得 $x^2-2x=8$，
配方，方程两边同时加1，得 $x^2-2x+1=8+1$，
即 $(x-1)^2=9$，
两边开平方，得 $x-1=±3$，
解得 $x_1=-2,x_2=4$。
【答案】
(1)A
(2)二
(3)移项,得 $x^2-2x=8$,配方,得 $x^2-2x+1=8+1$,即 $(x-1)^2=9$,两边开平方,得 $x-1=±3$,解得 $x_1=-2,x_2=4$.
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的基本性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方步骤的规范性，解题时需注意配方时等式两边要同时加相同的数，避免漏加右侧的常数，熟练掌握配方法的操作步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6.用配方法解方程：
(1)$x^2+4x-1=0$.
(2)「2026北京十一学校月考」$x^2-6x+3=0$.

(1)移项,得 $x^2+4x=1$,
配方,得 $x^2+4x+4=1+4$,
即 $(x+2)^2=5$,
两边开平方,得 $x+2=±\sqrt{5}$,
$\therefore x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$.
(2)移项,得 $x^2-6x=-3$,
配方,得 $x^2-6x+9=-3+9$,
即 $(x-3)^2=6$,
两边开平方,得 $x-3=±\sqrt{6}$,
$\therefore x_1=3-\sqrt{6},x_2=3+\sqrt{6}$.

【分析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，遵循以下思路：①先移项，将常数项移到方程右侧，只保留含未知数的二次项和一次项在左侧；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；③开平方：将完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程；④解一元一次方程即可得到原方程的根。本题两个方程二次项系数均为1，直接按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2+4x=1$，
配方，得 $x^2+4x+4=1+4$，
即 $(x+2)^2=5$，
两边开平方，得 $x+2=±\sqrt{5}$，
$\therefore x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$.
(2) 移项，得 $x^2-6x=-3$，
配方，得 $x^2-6x+9=-3+9$，
即 $(x-3)^2=6$，
两边开平方，得 $x-3=±\sqrt{6}$，
$\therefore x_1=3-\sqrt{6},x_2=3+\sqrt{6}$.
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；(2)$x_1=3-\sqrt{6},x_2=3+\sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方法的操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加上相同的数，避免因运算疏漏出错。
【难度系数】
0.8