1.「2025四川达州中考」已知关于$x$的方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是1，则$m$的值为。

答案 2
解析 把 x=1 代入方程 $x^2 +mx-3=0,$得 1+m-3=0,解得 m=2.故答案为 2.

【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求参数m的值，解题核心是利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们只需将已知根x=1代入原方程，即可将原方程转化为只含未知数m的一元一次方程，解该一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=1代入方程$x^2 + mx - 3 = 0$，得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
整理得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路直接，计算量小，掌握根的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2.「2026辽宁铁岭期末」已知m是一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$的根，则$m^2 -3m +4=$.

答案 8
解析 将 x=m 代入方程,得 $m^2-3m-4=0,\therefore m^2-3m=4,\therefore m^2-3m+4=4+4=8.$故答案为 8.

【分析】
首先回忆一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知m是方程的根，因此将x=m代入原方程，等式成立，可变形得到$m^2-3m$的取值，再将其整体代入待求代数式计算即可，无需单独求解m的具体值，简化计算步骤。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 3x -4=0$的根，
∴将x=m代入方程，得$m^2 - 3m -4 = 0$，
移项可得$m^2 - 3m = 4$，
将$m^2 - 3m = 4$代入$m^2 -3m +4$，得：
$m^2 -3m +4 = 4 + 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的应用，运用整体代入的思想可以避开求解方程根的繁琐步骤，是此类代数式求值题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.85

3.「2026山西运城期中改编」观察下表，估计一元二次方程$x^2 - x = 1.1$的一个解的取值范围是（）


A.$0.9＜x＜1.2$
B.$1.2＜x＜1.5$
C.$1.5＜x＜1.8$
D.$1.8＜x＜2.1$

C 当 x=1.5 时,$x^2-x=0.75＜1.1$,
当 x=1.8 时,$x^2-x=1.44＞1.1$,
$\therefore$ 方程 $x^2-x=1.1$ 的一个解在 1.5 和 1.8 之间,
即 1.5＜x＜1.8.故选 C.

【分析】
要估算一元二次方程$x^2 - x = 1.1$的解，本质是找$x$取何值时，代数式$x^2 - x$的值等于1.1。由于代数式$x^2 - x$的值随$x$的变化是连续的，当它的取值从小于1.1变为大于1.1时，中间必然存在一个$x$使得$x^2 - x=1.1$，因此只需在表格中找到$x^2 - x$的值分别小于1.1和大于1.1的相邻两组$x$的取值，即可确定方程解的范围。
【解析】
观察表格数据可得：
当$x=1.5$时，$x^2 - x=0.75＜1.1$；
当$x=1.8$时，$x^2 - x=1.44＞1.1$。
因此方程$x^2 - x=1.1$的一个解的取值范围是$1.5＜x＜1.8$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 估算一元二次方程的近似解 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查利用表格数据估算一元二次方程解的范围，解题核心是找到待求目标值对应的代数式值的上下界，进而确定$x$的取值区间。
【难度系数】
0.8

4. 学科特色 教材变式 “一块矩形铁片,面积为1 m²,长比宽多3 m,求该铁片的长.”小华在做这道题时,是这样考虑的:设铁片的长为x m,则列出的方程为$x(x-3)=1$.小华列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是她的探索过程.
第一步:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2 -3x -1$ | -3 | -3 | | |
所以 $＜x＜$ .
第二步:
| $x$ | 3.1 | 3.2 | 3.3 | 3.4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2 -3x -1$ | -0.69 | -0.36 | | |
所以 $＜x＜$ .
(1)请你帮小华完成她未完成的部分.
(2)通过以上探索,可知该矩形铁片的长的整数部分为,十分位上的数为.

解析 （1）-1;3;3;4;-0.01;0.36;3.3;3.4.(2)3;3.

【分析】
本题要通过夹逼法估算一元二次方程的解，解题思路为：将给定的x值代入代数式$x^2-3x-1$计算结果，由于该代数式随x增大而递增，当代数式的值由负变正时，对应的x区间就包含方程的解。首先完成第一步的整数代入计算，确定解的整数区间，再完成第二步的小数代入计算，确定解的更小区间，最后根据区间判断长的整数部分和十分位数字。
【解析】
(1) 第一步计算：
当$x=3$时，$x^2-3x-1=3^2-3×3-1=-1$；
当$x=4$时，$x^2-3x-1=4^2-3×4-1=3$；
因为x=3时代数式值为负，x=4时代数式值为正，所以$3＜x＜4$。
第二步计算：
当$x=3.3$时，$x^2-3x-1=3.3^2-3×3.3-1=10.89-9.9-1=-0.01$；
当$x=3.4$时，$x^2-3x-1=3.4^2-3×3.4-1=11.56-10.2-1=0.36$；
因为x=3.3时代数式值为负，x=3.4时代数式值为正，所以$3.3＜x＜3.4$。
(2) 由$3.3＜x＜3.4$可知，矩形铁片长的整数部分为3，十分位上的数为3。
【答案】
(1) $-1$；$3$；$3$；$4$；$-0.01$；$0.36$；$3.3$；$3.4$
(2) $3$；$3$
【知识点】
一元二次方程的解估算；代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程估算的基础题型，核心是通过代入计算判断代数式值的正负，逐步缩小解所在的区间，解题时只要细心计算代入结果，就能准确判断解的范围。
【难度系数】
0.75

5.「2026四川内江月考改编，★☆」若关于x的一元二次方程$(2k-4)x^2+3x+k^2-4=0$的一个根为0，则k的值为。

答案 -2
解析 把 x=0 代入一元二次方程得,$k^2-4=0$,解得k=2 或 k=-2,又$\because 2k-4≠0,\therefore k≠2,\therefore k=-2.$

【分析】
解题需抓住两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是x=0是方程的根，代入方程后等式成立。我们可以先将x=0代入方程求出k的所有可能值，再结合二次项系数不为0的限制条件，排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵x=0是该一元二次方程的根
∴将x=0代入方程$(2k-4)x^2+3x+k^2-4=0$，可得：
$k^2-4=0$
解得$k=2$或$k=-2$
又
∵该方程是一元二次方程
∴二次项系数$2k-4≠0$，即$k≠2$
综上，$k=-2$
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程基础题，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将k=2作为答案，解题时要注意审清题目隐含的限制要求。
【难度系数】
0.7

6.「2026江西宜春期中，★☆」定义:方程$cx^2+bx+a=0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程，其中a，b，c为常数且a，c均不为0.根据此定义解决下列问题:
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的倒方程是.
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的倒方程的解，则c的值为.
(3)若m是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程的一个实数根，则$m^3+m^2-6m+2025$的值为.

解析 (1)$x^2+3x-4=0.$
(2)-3.详解:由题意得 $x^2-2x+c=0$ 的倒方程为 $cx^2-2x+1=0$,当 x=-1 时,c+2+1=0,$\therefore c=-3.$
(3)2 025.详解:由题意得$-6x^2+x+1=0$ 的倒方程为$x^2+x-6=0$,
$\because m$ 是方程 $x^2+x-6=0$ 的一个实数根,
$\therefore m^2+m-6=0$,
$\therefore m^3+m^2-6m+2\ 025=m(m^2+m-6)+2\ 025=2\ 025.$

【分析】
解题核心是准确理解“倒方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换位置，得到的$cx^2+bx+a=0$即为原方程的倒方程。
(1) 直接提取原方程的各项系数，互换二次项系数和常数项即可写出倒方程；
(2) 先根据定义写出原方程的倒方程，再将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，求解即可得$c$的值；
(3) 先写出原方程的倒方程，利用方程根的定义得到$m^2+m-6=0$，再对所求代数式变形，整体代入该等式简化计算，无需解出$m$的具体值。
【解析】
(1) 原方程$-4x^2+3x+1=0$的二次项系数为$-4$，常数项为$1$，根据倒方程定义，互换二者位置可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2) 原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$，将$x=-1$代入倒方程得：
$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$
即$c+2+1=0$，解得$c=-3$。
(3) 原方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$，
∵$m$是该倒方程的实数根，
∴$m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$，
对所求代数式变形得：
$m^3+m^2-6m+2025 = m(m^2+m) -6m +2025$
将$m^2+m=6$代入得：
原式$=6m-6m+2025=2025$。
【答案】
(1) $x^2+3x-4=0$；(2) $-3$；(3) $2025$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程的解、整体代入求值
【点评】
本题以新定义“倒方程”为载体，既考查对新定义的阅读理解能力，也考查一元二次方程解的性质以及代数式求值的技巧，解题关键是准确把握倒方程的构造规则，第三小问用整体代入法降次可以避免复杂计算，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.75

7. 核心素养 应用意识 某大学计划在一块长80 m,宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3 500 m².四周为宽度相等的人行道,若设人行道的宽为x m.
(1)请列出相应的方程.
(2)x的值可能小于0吗？写出你的理由.
(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？写出你的理由.
(4)你知道人行道的宽是多少吗？写出你的求解过程.

解析 (1)依题意,得$(80-2x)(60-2x)=3\ 500$,整理得$x^2-70x+325=0.$
(2)x 的值不可能小于 0,因为人行道的宽度不可能为负数.
(3)x 的值不可能大于 40,也不可能大于 30,当 x＞30时,$60-2x＜0$,不符合实际.
(4)人行道的宽为 5 m,求解过程如下:
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2-70x+325$ | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 |
显然,当 x=5 时,$x^2-70x+325=0$,所以人行道的宽为5 m.

【分析】
解决本题需结合几何实际意义与一元二次方程相关知识逐步推导：1. 列方程时先确定网球场的长和宽，由于人行道在场地四周，因此网球场的长、宽分别为原场地长、宽减去2倍的人行道宽度，再结合长方形面积公式即可列方程；2. 判断x的取值合理性时，需结合实际意义：宽度不能为负数，且网球场的长、宽均为正数，据此即可判断x的取值范围；3. 求解x时结合x的合理取值范围，通过试值估算即可得到符合要求的解。
【解析】
(1) 由题意得，网球场的长为$(80-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，根据长方形面积公式列方程：
$(80-2x)(60-2x)=3500$
展开整理得：$x^2-70x+325=0$。
(2) x的值不可能小于0。理由：x代表人行道的宽度，宽度属于长度，不可能为负数，因此$x≥0$。
(3) x的值不可能大于40，也不可能大于30。理由：若$x＞30$，则网球场的宽$60-2x＜0$，长度不能为负，不符合实际；若$x＞40$，网球场的长$80-2x$也会小于0，更不符合实际，因此x不可能大于30，也不可能大于40。
(4) 结合上述分析可知x的取值范围为$0＜x＜30$，通过试值估算方程$x^2-70x+325=0$的解：
| $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^2-70x+325$ | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 |
可知当$x=5$时，方程成立，另一解$x=65$不符合$0＜x＜30$的范围，舍去。
【答案】
(1) $(80-2x)(60-2x)=3500$（或$x^2-70x+325=0$）
(2) 不可能，人行道宽度不能为负数。
(3) 不可能大于40，也不可能大于30，当$x＞30$时，网球场的宽$60-2x＜0$，不符合实际。
(4) 人行道的宽为5 m。
【知识点】
一元二次方程的应用；方程解的估算；实际问题取值约束
【点评】
本题结合生活场景出题，既考查了一元二次方程的列写，又要求结合实际判断解的合理性，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7