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初中数学
九年级
上册
北师大
8.「2026江苏常州实验中学月考，★☆」如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
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北师大
8.「2026江苏常州实验中学月考，★☆」如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边上的点，连接AF交BD于点E，延长AF交DC的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（
D
）A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
答案
D
解析 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB // DG,AD // BC$,
由 $AD // BC$ 得 $∠ ADE = ∠ FBE, ∠ DAE = ∠ BFE$,
$∠ ADG = ∠ FCG, ∠ DAG = ∠ CFG,\therefore △ ADE ∽ △ FBE$,
$△ ADG ∽ △ FCG$.
由 $AB // DG$ 可得 $△ DEG ∽ △ BEA, △ ABF ∽ △ GCF$.
由平行四边形性质可得$△ ABD ∽ △ CDB$,
由相似的传递性可得$△ ABF ∽ △ ADG$.
综上,相似三角形共有 6 对.故选 D.
解析 $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB // DG,AD // BC$,
由 $AD // BC$ 得 $∠ ADE = ∠ FBE, ∠ DAE = ∠ BFE$,
$∠ ADG = ∠ FCG, ∠ DAG = ∠ CFG,\therefore △ ADE ∽ △ FBE$,
$△ ADG ∽ △ FCG$.
由 $AB // DG$ 可得 $△ DEG ∽ △ BEA, △ ABF ∽ △ GCF$.
由平行四边形性质可得$△ ABD ∽ △ CDB$,
由相似的传递性可得$△ ABF ∽ △ ADG$.
综上,相似三角形共有 6 对.故选 D.
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，先找出由平行线直接得到的相似三角形，再注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，最后结合相似的传递性找出间接相似的三角形，计数时按顺序排查，避免漏数或多数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DG$，$AD// BC$。
1. 由$AD// BC$可得：
$∠ ADE=∠ FBE$，$∠ DAE=∠ BFE$，$\therefore△ ADE∽△ FBE$；
$∠ ADG=∠ FCG$，$∠ DAG=∠ CFG$，$\therefore△ ADG∽△ FCG$。
2. 由$AB// DG$可得：
$∠ EDG=∠ EBA$，$∠ EGD=∠ EAB$，$\therefore△ DEG∽△ BEA$；
$∠ ABF=∠ GCF$，$∠ BAF=∠ CGF$，$\therefore△ ABF∽△ GCF$。
3. 由平行四边形性质可知$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$，$\therefore△ ABD≌△ CDB$，全等是相似比为1的特殊相似，故$△ ABD∽△ CDB$。
4. 由相似的传递性，$△ ABF∽△ GCF$，$△ GCF∽△ ADG$，可得$△ ABF∽△ ADG$。
综上，相似三角形共有6对。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题是平行四边形背景下相似三角形计数的典型题，解题核心是利用平行线构造的等角判定相似，同时不要遗漏全等这种特殊的相似，以及通过相似传递性得到的相似组合，避免漏数。
【难度系数】
0.7
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，依据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，先找出由平行线直接得到的相似三角形，再注意全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，最后结合相似的传递性找出间接相似的三角形，计数时按顺序排查，避免漏数或多数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// DG$，$AD// BC$。
1. 由$AD// BC$可得：
$∠ ADE=∠ FBE$，$∠ DAE=∠ BFE$，$\therefore△ ADE∽△ FBE$；
$∠ ADG=∠ FCG$，$∠ DAG=∠ CFG$，$\therefore△ ADG∽△ FCG$。
2. 由$AB// DG$可得：
$∠ EDG=∠ EBA$，$∠ EGD=∠ EAB$，$\therefore△ DEG∽△ BEA$；
$∠ ABF=∠ GCF$，$∠ BAF=∠ CGF$，$\therefore△ ABF∽△ GCF$。
3. 由平行四边形性质可知$AB=CD$，$AD=BC$，$BD=DB$，$\therefore△ ABD≌△ CDB$，全等是相似比为1的特殊相似，故$△ ABD∽△ CDB$。
4. 由相似的传递性，$△ ABF∽△ GCF$，$△ GCF∽△ ADG$，可得$△ ABF∽△ ADG$。
综上，相似三角形共有6对。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似的传递性
【点评】
本题是平行四边形背景下相似三角形计数的典型题，解题核心是利用平行线构造的等角判定相似，同时不要遗漏全等这种特殊的相似，以及通过相似传递性得到的相似组合，避免漏数。
【难度系数】
0.7
9.「2025河北中考，★☆」如图,在五边形ABCDE中,
AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,
N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽
△DCN,则这个条件是 (
A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,
N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽
△DCN,则这个条件是 (
D
)A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3
答案
D
解析 $\because AE // BC,\therefore ∠ AEM = ∠ CND, ∠ MAE = ∠ B$.当添加$∠ B + ∠ 4 = 180°$时, $\because ∠ DCN + ∠ 4 = 180°$,
$\therefore ∠ DCN = ∠ B, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE, \therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore A$ 选项不符合题意; 当添加 $CD // AB$ 时,
$\therefore ∠ DCN = ∠ B, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE, \therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore B$ 选项不符合题意; 当添加 $∠ 1 = ∠ 4$ 时,
$\because ∠ MAE+∠ 1 = 180°, ∠ DCN+∠ 4 = 180°, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE,\therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore C$ 选项不符合题意; 当添加$∠ 2 = ∠ 3$ 时, $\because ∠ AEM+∠ 2 = 180°, ∠ CDN+∠ 3 = 180°, \therefore ∠ AEM = ∠ CDN = ∠ CND,\therefore$ 不能判定$△ MAE ∽ △ DCN,\therefore D$ 选项符合题意.故选 D.
解析 $\because AE // BC,\therefore ∠ AEM = ∠ CND, ∠ MAE = ∠ B$.当添加$∠ B + ∠ 4 = 180°$时, $\because ∠ DCN + ∠ 4 = 180°$,
$\therefore ∠ DCN = ∠ B, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE, \therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore A$ 选项不符合题意; 当添加 $CD // AB$ 时,
$\therefore ∠ DCN = ∠ B, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE, \therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore B$ 选项不符合题意; 当添加 $∠ 1 = ∠ 4$ 时,
$\because ∠ MAE+∠ 1 = 180°, ∠ DCN+∠ 4 = 180°, \therefore ∠ DCN = ∠ MAE,\therefore △ MAE ∽ △ DCN,\therefore C$ 选项不符合题意; 当添加$∠ 2 = ∠ 3$ 时, $\because ∠ AEM+∠ 2 = 180°, ∠ CDN+∠ 3 = 180°, \therefore ∠ AEM = ∠ CDN = ∠ CND,\therefore$ 不能判定$△ MAE ∽ △ DCN,\therefore D$ 选项符合题意.故选 D.
解析
【分析】
首先利用已知的$AE// BC$，可推导得到$△ MAE$和$△ DCN$的一组对应角相等：$∠ AEM=∠ CND$、$∠ MAE=∠ B$。要判定两个三角形相似，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再得到一组对应角相等即可。接下来逐一分析每个选项添加后能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为所求选项。
【解析】
已知$AE// BC$，根据平行线的性质可得：$∠ AEM=∠ CND$，$∠ MAE=∠ B$。
选项A：添加$∠ B+∠ 4=180°$，
由邻补角的定义可知$∠ DCN+∠ 4=180°$，
因此$∠ DCN=∠ B$，结合$∠ MAE=∠ B$可得$∠ DCN=∠ MAE$，
结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项B：添加$CD// AB$，
根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ DCN=∠ B$，
因此$∠ DCN=∠ MAE$，结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项C：添加$∠ 1=∠ 4$，
由邻补角的定义可知$∠ MAE+∠ 1=180°$，$∠ DCN+∠ 4=180°$，
根据等角的补角相等可得$∠ DCN=∠ MAE$，结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项D：添加$∠ 2=∠ 3$，
由邻补角的定义可知$∠ AEM+∠ 2=180°$，$∠ CDN+∠ 3=180°$，
根据等角的补角相等可得$∠ AEM=∠ CDN$，结合已知$∠ AEM=∠ CND$，仅能得到$△ DCN$的两个内角相等，无法推出$△ MAE$和$△ DCN$的另一组对应角相等，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；补角的性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时需先从已知平行条件推导已有相等角，再结合添加的条件逐一验证，注意区分推导得到的角是否为两个三角形的对应相等角，避免混淆角的所属关系。
【难度系数】
0.7
首先利用已知的$AE// BC$，可推导得到$△ MAE$和$△ DCN$的一组对应角相等：$∠ AEM=∠ CND$、$∠ MAE=∠ B$。要判定两个三角形相似，根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再得到一组对应角相等即可。接下来逐一分析每个选项添加后能否推出另一组对应角相等，无法推出的即为所求选项。
【解析】
已知$AE// BC$，根据平行线的性质可得：$∠ AEM=∠ CND$，$∠ MAE=∠ B$。
选项A：添加$∠ B+∠ 4=180°$，
由邻补角的定义可知$∠ DCN+∠ 4=180°$，
因此$∠ DCN=∠ B$，结合$∠ MAE=∠ B$可得$∠ DCN=∠ MAE$，
结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项B：添加$CD// AB$，
根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠ DCN=∠ B$，
因此$∠ DCN=∠ MAE$，结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项C：添加$∠ 1=∠ 4$，
由邻补角的定义可知$∠ MAE+∠ 1=180°$，$∠ DCN+∠ 4=180°$，
根据等角的补角相等可得$∠ DCN=∠ MAE$，结合$∠ AEM=∠ CND$，可判定$△ MAE ∽ △ DCN$，不符合题意。
选项D：添加$∠ 2=∠ 3$，
由邻补角的定义可知$∠ AEM+∠ 2=180°$，$∠ CDN+∠ 3=180°$，
根据等角的补角相等可得$∠ AEM=∠ CDN$，结合已知$∠ AEM=∠ CND$，仅能得到$△ DCN$的两个内角相等，无法推出$△ MAE$和$△ DCN$的另一组对应角相等，因此无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；补角的性质
【点评】
本题侧重考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时需先从已知平行条件推导已有相等角，再结合添加的条件逐一验证，注意区分推导得到的角是否为两个三角形的对应相等角，避免混淆角的所属关系。
【难度系数】
0.7
10.「2025安徽六安九中期中，★☆」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，点$P$在边$AC$上，过$P$画直线截$△ ABC$使截得的三角形与$△ ABC$相似，这样的直线最多可画（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
C
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
C
解析 如图,过 P 作直线 $PD ⊥ AB,PE ⊥ BC,PF ⊥ AC$,
$\because ∠ B = 90°, \therefore AB ⊥ BC, \therefore PD // BC, PE // AB$,
$\therefore △ ADP ∽ △ ABC, △ CEP ∽ △ CBA, \because ∠ APF = ∠ B = 90°, ∠ PAF = ∠ BAC, \therefore △ AFP ∽ △ ACB, \therefore$ 过 P 画直线截$△ ABC$ 使截得的三角形与$△ ABC$ 相似,这样的直线最多可画 3 条.故选 C.
解析
【分析】
要解决本题，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）分析：原三角形是直角三角形，要使截得的三角形与它相似，截得的三角形也需为直角三角形，我们只需分类讨论截出直角的不同情况即可：①让截线垂直于AB；②让截线垂直于BC；③让截线垂直于AC，分别验证这三种情况能否得到相似三角形，同时注意避免出现重复的截线。
【解析】
如图，过点P作以下3条直线：
1. 作$PD ⊥ AB$于点D：
$\because ∠ B=90°$，即$AB ⊥ BC$，$\therefore PD // BC$，
$\therefore ∠ ADP = ∠ B = 90°$，又$\because ∠ A$是$△ ADP$和$△ ABC$的公共角，
$\therefore △ ADP ∽ △ ABC$。
2. 作$PE ⊥ BC$于点E：
同理可得$PE // AB$，$∠ CEP = ∠ B = 90°$，$∠ C$是公共角，
$\therefore △ CEP ∽ △ CBA$。
3. 作$PF ⊥ AC$，交AB于点F：
此时$∠ APF = ∠ B = 90°$，又$\because ∠ PAF = ∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ AFP ∽ △ ACB$。
综上，满足条件的直线最多可画3条。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，直角的定义
【点评】
本题考查相似三角形判定的实际应用，解题时需要结合图形特征分类讨论所有可能的情况，避免漏解，同时要熟练掌握两角对应相等判定三角形相似的方法。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）分析：原三角形是直角三角形，要使截得的三角形与它相似，截得的三角形也需为直角三角形，我们只需分类讨论截出直角的不同情况即可：①让截线垂直于AB；②让截线垂直于BC；③让截线垂直于AC，分别验证这三种情况能否得到相似三角形，同时注意避免出现重复的截线。
【解析】
如图
，过点P作以下3条直线：1. 作$PD ⊥ AB$于点D：
$\because ∠ B=90°$，即$AB ⊥ BC$，$\therefore PD // BC$，
$\therefore ∠ ADP = ∠ B = 90°$，又$\because ∠ A$是$△ ADP$和$△ ABC$的公共角，
$\therefore △ ADP ∽ △ ABC$。
2. 作$PE ⊥ BC$于点E：
同理可得$PE // AB$，$∠ CEP = ∠ B = 90°$，$∠ C$是公共角，
$\therefore △ CEP ∽ △ CBA$。
3. 作$PF ⊥ AC$，交AB于点F：
此时$∠ APF = ∠ B = 90°$，又$\because ∠ PAF = ∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ AFP ∽ △ ACB$。
综上，满足条件的直线最多可画3条。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的性质，直角的定义
【点评】
本题考查相似三角形判定的实际应用，解题时需要结合图形特征分类讨论所有可能的情况，避免漏解，同时要熟练掌握两角对应相等判定三角形相似的方法。
【难度系数】
0.7
11.「2026河南许昌禹州期中，★☆」将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，边AD与BC相交于点E，则$\frac{BE}{EC}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析 设 $AB = AC = 1$, 由勾股定理得 $BC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $∠ ACD = 90°, AC = 1, ∠ D = 30°$,
$\therefore AD = 2AC = 2$,由勾股定理得 $DC = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$,
$\because ∠ BAC+∠ ACD = 90°+90° = 180°$,
$\therefore AB // CD,\therefore △ AEB ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE},\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析 设 $AB = AC = 1$, 由勾股定理得 $BC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $∠ ACD = 90°, AC = 1, ∠ D = 30°$,
$\therefore AD = 2AC = 2$,由勾股定理得 $DC = \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt{3}$,
$\because ∠ BAC+∠ ACD = 90°+90° = 180°$,
$\therefore AB // CD,\therefore △ AEB ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE},\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，由两个三角板的直角可推出AB与CD平行，进而得到△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质可知所求的$\frac{BE}{EC}$等于$\frac{AB}{CD}$，因此我们可以设参数（如设AC=1），分别计算出AB和CD的长度，代入比例式化简即可得到结果。
【解析】
设$AB = AC = 1$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ACD = 90°$，$∠ D = 30°$，$AC=1$，
$\therefore AD=2AC=2$，由勾股定理得$DC=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\because ∠ BAC + ∠ ACD = 90° + 90° = 180°$，
$\therefore AB // CD$，
$\therefore △ AEB ∽ △ DEC$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
将$AB=1$，$CD=\sqrt{3}$代入得：$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是三角板与相似结合的典型基础题，解题的核心是通过两直线平行得到相似三角形，将所求线段比转化为特殊直角三角形的边长比，计算时注意对结果进行分母有理化。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，由两个三角板的直角可推出AB与CD平行，进而得到△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质可知所求的$\frac{BE}{EC}$等于$\frac{AB}{CD}$，因此我们可以设参数（如设AC=1），分别计算出AB和CD的长度，代入比例式化简即可得到结果。
【解析】
设$AB = AC = 1$，
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$∠ ACD = 90°$，$∠ D = 30°$，$AC=1$，
$\therefore AD=2AC=2$，由勾股定理得$DC=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\because ∠ BAC + ∠ ACD = 90° + 90° = 180°$，
$\therefore AB // CD$，
$\therefore △ AEB ∽ △ DEC$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
将$AB=1$，$CD=\sqrt{3}$代入得：$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行线的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是三角板与相似结合的典型基础题，解题的核心是通过两直线平行得到相似三角形，将所求线段比转化为特殊直角三角形的边长比，计算时注意对结果进行分母有理化。
【难度系数】
0.7
12.「2026安徽安庆四中期中，★★」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$BC=8$，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持$∠ 1 = ∠ B$。设BD的长为$x(0＜x＜8)$。
(1)求证:$△ DCE ∽ △ ABD$.
(2)用含$x$的代数式表示$CE$的长,并求出当$CE=2$时$x$的值.
(3)当$x$为何值时,$△ ADE$为等腰三角形?
(1)求证:$△ DCE ∽ △ ABD$.
(2)用含$x$的代数式表示$CE$的长,并求出当$CE=2$时$x$的值.
(3)当$x$为何值时,$△ ADE$为等腰三角形?
答案
(1)如图,
$\because ∠ ADC = ∠ 1+∠ 2 = ∠ B+∠ 3, ∠ 1 = ∠ B$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
又$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C,\therefore △ DCE ∽ △ ABD$.
(2)$\because △ DCE ∽ △ ABD$,
$\therefore \frac{CE}{BD}=\frac{DC}{AB},即\frac{CE}{x}=\frac{8-x}{6},\therefore CE=-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x$,
当 $CE=2$ 时, $-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x=2$,解得 $x=2$ 或 6.
(3)分情况讨论:①当 $DA = DE$ 时, $△ DCE ≅ △ ABD$,
$\therefore DC = AB = 6$, 即 $8-x=6$, 解得 $x=2$.
②当 $EA = ED$ 时, $∠ DAE = ∠ 1 = ∠ B = ∠ C$.
$\therefore △ DAC ∽ △ ABC$.
$\therefore \frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC},即\frac{8-x}{6}=\frac{6}{8},解得 x=\frac{7}{2}$.
③当 $AD = AE$ 时, $∠ 1 = ∠ AED = ∠ B = ∠ C,\therefore$ 点 D 与点 B 重合,点 E 与点 C 重合,此时 $x=0$, 与 $0＜x＜8$ 矛盾,$\therefore$ 该情况不成立.
综上所述,当 $x=2$ 或 $x=\frac{7}{2}$ 时, $△ ADE$ 为等腰三角形.
解析
【分析】
(1)要证明△DCE∽△ABD，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定。已知AB=AC可得∠B=∠C，已有一组等角，再结合三角形外角性质：∠ADC是△ABD的外角，等于∠B+∠3，同时∠ADC又可拆分为∠1+∠2，结合已知∠1=∠B，可推出∠2=∠3，即可证明相似。
(2)利用第一问得到的相似三角形的性质，对应边成比例，将已知边长代入比例式，即可推导CE关于x的代数式；再将CE=2代入代数式，解一元二次方程即可得到x的值。
(3)△ADE为等腰三角形需分三类讨论：①DA=DE、②EA=ED、③AD=AE，每种情况结合角度关系，利用全等或相似的性质列方程求解，最后结合x的取值范围0＜x＜8排除不符合的情况，得到最终结果。
【解析】
(1) 如图，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠B+∠3，
又
∵∠ADC = ∠1+∠2，且已知∠1=∠B，
∴∠2 = ∠3。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 由△DCE∽△ABD，得对应边成比例：$\frac{CE}{BD}=\frac{DC}{AB}$，
代入AB=6，BD=x，DC=8-x，得$\frac{CE}{x}=\frac{8-x}{6}$，
整理得$CE=-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x$。
当CE=2时，代入得$-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x=2$，
去分母整理为$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，均符合0＜x＜8的要求。
(3) 分三种情况讨论：
①当$DA = DE$时，△DCE≌△ABD（AAS），
∴DC=AB=6，即$8-x=6$，解得$x=2$，符合题意；
②当$EA = ED$时，∠DAE=∠1=∠B=∠C，又∠C为公共角，
∴△DAC∽△ABC，得$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{8-x}{6}=\frac{6}{8}$，解得$x=\frac{7}{2}$，符合题意；
③当$AD = AE$时，∠1=∠AED=∠B=∠C，此时点D与B重合、点E与C重合，对应x=0，不符合0＜x＜8的条件，该情况不成立。
综上，符合条件的x值为2或$\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) 如图,
$\because ∠ ADC = ∠ 1+∠ 2 = ∠ B+∠ 3, ∠ 1 = ∠ B$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
又$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C,\therefore △ DCE ∽ △ ABD$.
(2)$CE=-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x$，当 $CE=2$ 时，$x=2$ 或 6.
(3)当 $x=2$ 或 $x=\frac{7}{2}$ 时，$△ ADE$ 为等腰三角形.
【知识点】
1. 相似三角形判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于三角形综合题，将相似三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题时需灵活利用角的关系判定三角形相似，解决等腰三角形问题时要注意分类讨论，同时需结合自变量的取值范围舍去不符合题意的解，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△DCE∽△ABD，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定。已知AB=AC可得∠B=∠C，已有一组等角，再结合三角形外角性质：∠ADC是△ABD的外角，等于∠B+∠3，同时∠ADC又可拆分为∠1+∠2，结合已知∠1=∠B，可推出∠2=∠3，即可证明相似。
(2)利用第一问得到的相似三角形的性质，对应边成比例，将已知边长代入比例式，即可推导CE关于x的代数式；再将CE=2代入代数式，解一元二次方程即可得到x的值。
(3)△ADE为等腰三角形需分三类讨论：①DA=DE、②EA=ED、③AD=AE，每种情况结合角度关系，利用全等或相似的性质列方程求解，最后结合x的取值范围0＜x＜8排除不符合的情况，得到最终结果。
【解析】
(1) 如图，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠B+∠3，
又
∵∠ADC = ∠1+∠2，且已知∠1=∠B，
∴∠2 = ∠3。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 由△DCE∽△ABD，得对应边成比例：$\frac{CE}{BD}=\frac{DC}{AB}$，
代入AB=6，BD=x，DC=8-x，得$\frac{CE}{x}=\frac{8-x}{6}$，
整理得$CE=-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x$。
当CE=2时，代入得$-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x=2$，
去分母整理为$x^2-8x+12=0$，解得$x=2$或$x=6$，均符合0＜x＜8的要求。
(3) 分三种情况讨论：
①当$DA = DE$时，△DCE≌△ABD（AAS），
∴DC=AB=6，即$8-x=6$，解得$x=2$，符合题意；
②当$EA = ED$时，∠DAE=∠1=∠B=∠C，又∠C为公共角，
∴△DAC∽△ABC，得$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{8-x}{6}=\frac{6}{8}$，解得$x=\frac{7}{2}$，符合题意；
③当$AD = AE$时，∠1=∠AED=∠B=∠C，此时点D与B重合、点E与C重合，对应x=0，不符合0＜x＜8的条件，该情况不成立。
综上，符合条件的x值为2或$\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) 如图,
$\because ∠ ADC = ∠ 1+∠ 2 = ∠ B+∠ 3, ∠ 1 = ∠ B$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
又$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C,\therefore △ DCE ∽ △ ABD$.
(2)$CE=-\frac{1}{6}x^2+\frac{4}{3}x$，当 $CE=2$ 时，$x=2$ 或 6.
(3)当 $x=2$ 或 $x=\frac{7}{2}$ 时，$△ ADE$ 为等腰三角形.
【知识点】
1. 相似三角形判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于三角形综合题，将相似三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题时需灵活利用角的关系判定三角形相似，解决等腰三角形问题时要注意分类讨论，同时需结合自变量的取值范围舍去不符合题意的解，对逻辑推理能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 核心素养 推理能力 如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
答案
$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AD // BC, ∠ B=90°$.
(1)证明:$\because AD // BC,\therefore ∠ PAF = ∠ AEB$.
$\because ∠ PFA = ∠ B=90°,\therefore △ PFA ∽ △ ABE$.
(2)存在.$\because PF ⊥ AE,\therefore ∠ PFE = 90° = ∠ B.\therefore$ 当以 P,F,E 为顶点的三角形与$△ ABE$ 相似时,有两种情况:
如图①, 若 $△ EFP ∽ △ ABE$, 则 $∠ PEF = ∠ EAB$,
$\therefore PE // AB.\therefore$ 四边形 ABEP 为矩形.$\therefore PA = EB = 2$, 即 $x=2$.
如图②,若$△ PFE ∽ △ ABE$,则$\frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB},∠ PEF = ∠ AEB$.
$\because ∠ PAF = ∠ AEB,\therefore ∠ PEF = ∠ PAF.\therefore PE = PA$.
$\because PF ⊥ AE,\therefore$ 点 F 为 AE 的中点.
$\because AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = 2\sqrt{5},\therefore EF = \frac{1}{2}AE = \sqrt{5}$.
$\because \frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB},即\frac{PE}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2},\therefore PE = 5,即 x=5$.
综上可知,x 的值为 2 或 5.
解析
【分析】
(1) 要证明△PFA∽△ABE，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：结合正方形的性质可得AD//BC、∠B=90°，由平行线的性质得一组内错角相等，再结合PF⊥AE得到一组直角相等，即可证明相似。
(2) △PFE和△ABE均为直角三角形，直角已对应相等，因此相似需分两种情况讨论锐角的对应关系：①∠PEF=∠EAB；②∠PEF=∠AEB，分别结合图形性质求解PA的长度x即可。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，$\therefore AD// BC,∠ B=90°$。
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ PAF = ∠ AEB$，
$\because PF⊥ AE$，$\therefore ∠ PFA = 90° = ∠ B$，
$\therefore △ PFA ∽ △ ABE$。
(2) 存在，理由如下：
$\because PF⊥ AE$，$\therefore ∠ PFE = 90° = ∠ B$，以P,F,E为顶点的三角形与$△ ABE$相似时，分两种情况：
① 如图①，若$△ EFP ∽ △ ABE$，则$∠ PEF = ∠ EAB$，
$\therefore PE// AB$，
又$\because AP// BE$，$∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形ABEP为矩形，
$\therefore PA=EB$，
$\because$ E是BC中点，BC=4，$\therefore EB=2$，即$x=2$。
② 如图②，若$△ PFE ∽ △ ABE$，则$∠ PEF = ∠ AEB$，$\frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB}$，
$\because ∠ PAF = ∠ AEB$，$\therefore ∠ PEF = ∠ PAF$，
$\therefore PE=PA=x$，
$\because PF⊥ AE$，$\therefore$ F为AE的中点，
在$Rt△ ABE$中，$AB=4$，$BE=2$，$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$，
代入比例式得$\frac{x}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$x=5$。
综上，x的值为2或5。
【答案】
存在，x的值为2或5。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题为正方形与相似三角形结合的综合题，第一问属于基础题，直接结合性质和判定定理即可证明；第二问为相似存在性问题，需注意未指定对应关系的相似要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解，考查了逻辑推理能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△PFA∽△ABE，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：结合正方形的性质可得AD//BC、∠B=90°，由平行线的性质得一组内错角相等，再结合PF⊥AE得到一组直角相等，即可证明相似。
(2) △PFE和△ABE均为直角三角形，直角已对应相等，因此相似需分两种情况讨论锐角的对应关系：①∠PEF=∠EAB；②∠PEF=∠AEB，分别结合图形性质求解PA的长度x即可。
【解析】
已知四边形ABCD是正方形，$\therefore AD// BC,∠ B=90°$。
(1) 证明：
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ PAF = ∠ AEB$，
$\because PF⊥ AE$，$\therefore ∠ PFA = 90° = ∠ B$，
$\therefore △ PFA ∽ △ ABE$。
(2) 存在，理由如下：
$\because PF⊥ AE$，$\therefore ∠ PFE = 90° = ∠ B$，以P,F,E为顶点的三角形与$△ ABE$相似时，分两种情况：
① 如图①，若$△ EFP ∽ △ ABE$，则$∠ PEF = ∠ EAB$，
$\therefore PE// AB$，
又$\because AP// BE$，$∠ B=90°$，
$\therefore$ 四边形ABEP为矩形，
$\therefore PA=EB$，
$\because$ E是BC中点，BC=4，$\therefore EB=2$，即$x=2$。
② 如图②，若$△ PFE ∽ △ ABE$，则$∠ PEF = ∠ AEB$，$\frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB}$，
$\because ∠ PAF = ∠ AEB$，$\therefore ∠ PEF = ∠ PAF$，
$\therefore PE=PA=x$，
$\because PF⊥ AE$，$\therefore$ F为AE的中点，
在$Rt△ ABE$中，$AB=4$，$BE=2$，$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$，
代入比例式得$\frac{x}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得$x=5$。
综上，x的值为2或5。
【答案】
存在，x的值为2或5。
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定
【点评】
本题为正方形与相似三角形结合的综合题，第一问属于基础题，直接结合性质和判定定理即可证明；第二问为相似存在性问题，需注意未指定对应关系的相似要分类讨论所有可能的对应情况，避免漏解，考查了逻辑推理能力和分类讨论思想。
【难度系数】
0.6
