三、解答题(共44分)
9.(20分)(2025·合肥二模)如图,以AB为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点C,AE,BE分别平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,AE的延长线交$\odot O$于点D,连接BD.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB=10$,$BE=2\sqrt{10}$,求$BC$的长.

9.解:(1)△BDE为等腰直角三角形,证明如下:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠BED=∠DBE,
∴BD=ED.
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴△BDE为等腰直角三角形.
(2)如答图,连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,
∴BD=DC.
∵OB=OC,
∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2√10,
∴BD=2√5.
∵AB=10,
∴OB=OD=5.
设OF=t,则DF=5-t.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,BF²=5²-t²=(2√5)²-(5-t)²,
解得t=3,
∴BF=4,
∴BC=8.

10.(24分)(2025·滨州模拟)【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图①,线段PM,MA组成折线段PMA,点B在折线段PMA上,若$PB=BM+MA$,则称B是折线段PMA的中点.
【理解应用】(1)如图②,$\odot M$的半径为2,点A在$\odot M$上,$∠ PAM=90°$,B是折线段PMA的中点,若$∠ P=30°$,则PB的长为.
【认识定理】阿基米德折弦定理:如图③,AB和BC是$\odot O$的两条弦(即折线段ABC是圆的一条折弦),$BC＞AB$,M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,从点M向BC作垂线,垂足为D,则$CD=AB+BD$.这个定理有很多证明方法,下面方框是运用“截长法”证明$CD=AB+BD$的部分证明过程.

(2)请按照上面方框中【定理证明】的证明思路,在图③中连接辅助线并写出该证明的剩余部分.
【变式探究】(3)如图④,若M是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【定理证明】中的其他条件不变,则CD,DB,BA之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论.

易错知识点:圆的有关概念;垂径定理;圆心角的概念;弧、弦、圆心角的关系;圆周角定理及推论
易错考法:求角的度数;求线段的长;判断三角形的形状

10.(1)3
(2)证明:如答图①,在BC上截取CG=AB,连接MC,MG,MB,MA.
∵M是$\widehat{ABC}$的中点,
∴$\widehat{MA}=\widehat{MC}$,
∴MA=MC.
∵$\widehat{MB}=\widehat{MB}$,
∴∠A=∠C.
在△MAB和△MCG中,$\begin{cases} MA=MC, \\ ∠A=∠C, \\ AB=CG, \end{cases}$
∴△MAB≌△MCG(SAS),
∴MB=MG.
∵MD⊥BC,
∴BD=DG,
∴AB+BD=CG+DG=CD,故CD=AB+BD.
(3)解:BD=AB+CD,理由如下:
在BD上截取BG=AB,连接MC,MA,MB,MG,如答图②.
∵M是$\widehat{AC}$的中点,
∴$\widehat{AM}=\widehat{CM}$,
∴AM=CM,∠ABM=∠MBG.
在△MAB和△MGB中,$\begin{cases} AB=GB, \\ ∠ABM=∠GBM, \\ MB=MB, \end{cases}$
∴△MAB≌△MGB(SAS),
∴MA=MG,
∴MC=MG.
∵DM⊥BC,
∴CD=DG,
∴AB+CD=BG+DG=BD,故BD=AB+CD.