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8. 一元二次方程$(x+1)(x-3)=2x-5$根的情况是（
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
D
）A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
答案
原式整理得$x^2-4x+2=0$,配方得$(x-2)^2=2$,解得$x_1=2+\sqrt{2}＞3$,$x_2=2-\sqrt{2}＞0$,故有两个正根,且有一根大于3.
9.（扬州中考）已知$M=\frac{2}{9}a -1$，$N=a^2 - \frac{7}{9}a$（a为任意实数），则M，N的大小关系为（
A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.不能确定
A
）A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.不能确定
答案
$\because N-M=a^2-a+1=(a-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,$\therefore M＜N$.
10. 一题多解 已知方程$x^2 -5x + q=0$可以配方成$(x-p)^2=9$的形式，那么$x^2 +5x + q=-1$可以配方成（
A.$(x+p+1)^2=10$
B.$(x+p)^2=8$
C.$(x+p-1)^2=8$
D.$(x+p)^2=10$
B
）A.$(x+p+1)^2=10$
B.$(x+p)^2=8$
C.$(x+p-1)^2=8$
D.$(x+p)^2=10$
答案
解法一:$\because x^2 -5x + q=0$可配方成$(x-p)^2=9$,$\therefore x^2+5x+q=0$可配方成$(x+p)^2=9$,$\therefore x^2+5x+q=-1$可配方成$(x+p)^2=8$.
解法二:利用配方前后一一对应求出$p=\frac{5}{2}$,$q=-\frac{11}{4}$,进而代入求解.
解法二:利用配方前后一一对应求出$p=\frac{5}{2}$,$q=-\frac{11}{4}$,进而代入求解.
11.(凉山州中考改编)若关于x的方程$x^2+2x-3=0$与$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-a}$有一个解相同，则a=
-1
。答案
由$x^2+2x-3=0$得$(x+1)^2=4$,解得$x_1=1$,$x_2=-3$.$\because$ 方程$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-a}$中$x≠-3$,$\therefore x=1$是方程$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-a}$的解,代入方程解得$a=-1$.
12. 已知点$(5 - k^2, 2k + 3)$在第四象限内，且在其角平分线上，则$k=$
-2
.答案
$\because$ 点$(5-k^2,2k+3)$在第四象限内,$\therefore \begin{cases}5-k^2＞0,\\2k+3＜0,\end{cases}$解得$-\sqrt{5}＜k＜-\frac{3}{2}$.又$\because$ 点$(5-k^2,2k+3)$在第四象限的角平分线上,$\therefore 5-k^2=-2k-3$,即$k^2-2k-8=0$,配方得$(k-1)^2=9$,解得$k_1=4$(不合题意,舍去),$k_2=-2$.
13. (2026·成都期中)如果关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”.已知关于x的一元二次方程$7x^2 -bx +c=0$是“和美方程”，则$b^2 -6c$的最小值为
33
.答案
$\because$ 方程$7x^2 -bx +c=0$是“和美方程”,$\therefore x=1$是它的一个根,将$x=1$代入方程得$7-b+c=0$,即$b=7+c$,$\therefore b^2-6c=(7+c)^2-6c=c^2+14c+49-6c=c^2+8c+49$,配方得$c^2+8c+49=(c^2+8c+16)+33=(c+4)^2+33$,由于$(c+4)^2≥0$,$\therefore$ 当$c=-4$时,$b^2-6c$取得最小值33.
14. 一题多变 原创题 根据$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
解决问题：
(1)若$x^2-8x+m$是关于$x$的完全平方式，则$m=$
(2)若$x^2+(n-1)x+25$是关于$x$的完全平方式，则$n=$
(3)若方程$9x^2-(k+2)x+4=0$的左边可以写成一个完全平方式，求$k$的值；
(4)若方程$(p-2)x^2-px+2=0$有两个相等的实数根，求$p$的值。
解决问题：
(1)若$x^2-8x+m$是关于$x$的完全平方式，则$m=$
16
；(2)若$x^2+(n-1)x+25$是关于$x$的完全平方式，则$n=$
11或-9
；(3)若方程$9x^2-(k+2)x+4=0$的左边可以写成一个完全平方式，求$k$的值；
(4)若方程$(p-2)x^2-px+2=0$有两个相等的实数根，求$p$的值。
答案
(1)由题意,$x^2-8x+m=(x-4)^2$,则$m=16$.
(2)由题意,$x^2+(n-1)x+25=(x\pm5)^2$,则$n=11$或$-9$.
(3)解法一:方程$9x^2-(k+2)x+4=0$整理得$x^2-\frac{k+2}{9}x+\frac{4}{9}=0$,$\therefore (-\frac{k+2}{9}×\frac{1}{2})^2=\frac{4}{9}$,解得$k=-14$或$k=10$.
解法二:方程的左边$9x^2-(k+2)x+4$变形为$(\pm3x)^2-(k+2)x+(\pm2)^2$,$\therefore -(k+2)x=2·(\pm3x)·(\pm2)=\pm12x$,即$-(k+2)=12$或$-(k+2)=-12$,解得$k=-14$或$k=10$.
(4)$\because$ 方程$(p-2)x^2-px+2=0$有两个相等的实数根,$\therefore$ 方程的左边可以配成完全平方式,$\therefore (-\frac{p}{p-2}×\frac{1}{2})^2=\frac{2}{p-2}$,$\therefore p$的值为4.
(2)由题意,$x^2+(n-1)x+25=(x\pm5)^2$,则$n=11$或$-9$.
(3)解法一:方程$9x^2-(k+2)x+4=0$整理得$x^2-\frac{k+2}{9}x+\frac{4}{9}=0$,$\therefore (-\frac{k+2}{9}×\frac{1}{2})^2=\frac{4}{9}$,解得$k=-14$或$k=10$.
解法二:方程的左边$9x^2-(k+2)x+4$变形为$(\pm3x)^2-(k+2)x+(\pm2)^2$,$\therefore -(k+2)x=2·(\pm3x)·(\pm2)=\pm12x$,即$-(k+2)=12$或$-(k+2)=-12$,解得$k=-14$或$k=10$.
(4)$\because$ 方程$(p-2)x^2-px+2=0$有两个相等的实数根,$\therefore$ 方程的左边可以配成完全平方式,$\therefore (-\frac{p}{p-2}×\frac{1}{2})^2=\frac{2}{p-2}$,$\therefore p$的值为4.
15. 改编题 阅读例题,然后解决问题.
若$x^2+2x+y^2-6y+10=0$,求$x,y$的值.
解:$\because x^2+2x+y^2-6y+10=0$可变形为$x^2+2x+1+y^2-6y+9=0,\therefore (x+1)^2+(y-3)^2=0,\therefore (x+1)^2=0,(y-3)^2=0,\therefore x=-1,y=3.$
(1) 已知$x^2 + y^2 + x - 6y + \frac{37}{4} = 0$,则$x^y =$
(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数.
①若$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$,求$△ ABC$的形状;
②若$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,则$△ ABC$的周长为
(3)①代数式$5x^2-4xy+y^2+6x+25$的最小值为
②当$x,y$为何值时,代数式$-x^2+2xy-2y^2+6y+7$取得最大值,最大值为多少?
若$x^2+2x+y^2-6y+10=0$,求$x,y$的值.
解:$\because x^2+2x+y^2-6y+10=0$可变形为$x^2+2x+1+y^2-6y+9=0,\therefore (x+1)^2+(y-3)^2=0,\therefore (x+1)^2=0,(y-3)^2=0,\therefore x=-1,y=3.$
(1) 已知$x^2 + y^2 + x - 6y + \frac{37}{4} = 0$,则$x^y =$
$-\frac{1}{8}$
.(2)已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数.
①若$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$,求$△ ABC$的形状;
②若$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$,则$△ ABC$的周长为
7
.(3)①代数式$5x^2-4xy+y^2+6x+25$的最小值为
16
;②当$x,y$为何值时,代数式$-x^2+2xy-2y^2+6y+7$取得最大值,最大值为多少?
答案
(1)$x^2+y^2+x-6y+\frac{37}{4}=0$可变形为$x^2+x+\frac{1}{4}+y^2-6y+9=0$,即$(x+\frac{1}{2})^2+(y-3)^2=0$,$\therefore x+\frac{1}{2}=0$,$y-3=0$,即$x=-\frac{1}{2}$,$y=3$.$\therefore x^y=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$.
(2)①$\because a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$,$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$,$\therefore 2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0$,即$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,$c-a=0$,$\therefore a=b=c$,$\therefore △ ABC$为等边三角形.
②$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$可变形为$(\sqrt{2}a)^2-4a+(\sqrt{2})^2+b^2-6b+9=0$,即$(\sqrt{2}a-\sqrt{2})^2+(b-3)^2=0$,$\therefore \sqrt{2}a-\sqrt{2}=0$,$b-3=0$,即$a=1$,$b=3$,由三角形三边关系,得$2＜c＜4$.又$\because a,b,c$都是正整数,$\therefore c=3$,$\therefore △ ABC$的周长是$3+3+1=7$.
(3)①$5x^2-4xy+y^2+6x+25=4x^2-4xy+y^2+x^2+6x+9+16=(2x-y)^2+(x+3)^2+16$,而$(2x-y)^2+(x+3)^2≥0$,由$\begin{cases}2x-y=0,\\x+3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3,\\y=-6.\end{cases}$ $\therefore$ 当$x=-3$,$y=-6$时,代数式$5x^2-4xy+y^2+6x+25$取得最小值,最小值是16.
②$-x^2+2xy-2y^2+6y+7=-(x^2-2xy+y^2)-(y^2-6y+9)+9+7=-(x-y)^2-(y-3)^2+16$.$\because (x-y)^2≥0$,$(y-3)^2≥0$,$\therefore -(x-y)^2-(y-3)^2+16≤16$,$\therefore$ 当$\begin{cases}x-y=0,\\y-3=0,\end{cases}$即$x=y=3$时,$-x^2+2xy-2y^2+6y+7$取得最大值,最大值为16.
(2)①$\because a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$,$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$,$\therefore 2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0$,即$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,$c-a=0$,$\therefore a=b=c$,$\therefore △ ABC$为等边三角形.
②$2a^2+b^2-4a-6b+11=0$可变形为$(\sqrt{2}a)^2-4a+(\sqrt{2})^2+b^2-6b+9=0$,即$(\sqrt{2}a-\sqrt{2})^2+(b-3)^2=0$,$\therefore \sqrt{2}a-\sqrt{2}=0$,$b-3=0$,即$a=1$,$b=3$,由三角形三边关系,得$2＜c＜4$.又$\because a,b,c$都是正整数,$\therefore c=3$,$\therefore △ ABC$的周长是$3+3+1=7$.
(3)①$5x^2-4xy+y^2+6x+25=4x^2-4xy+y^2+x^2+6x+9+16=(2x-y)^2+(x+3)^2+16$,而$(2x-y)^2+(x+3)^2≥0$,由$\begin{cases}2x-y=0,\\x+3=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3,\\y=-6.\end{cases}$ $\therefore$ 当$x=-3$,$y=-6$时,代数式$5x^2-4xy+y^2+6x+25$取得最小值,最小值是16.
②$-x^2+2xy-2y^2+6y+7=-(x^2-2xy+y^2)-(y^2-6y+9)+9+7=-(x-y)^2-(y-3)^2+16$.$\because (x-y)^2≥0$,$(y-3)^2≥0$,$\therefore -(x-y)^2-(y-3)^2+16≤16$,$\therefore$ 当$\begin{cases}x-y=0,\\y-3=0,\end{cases}$即$x=y=3$时,$-x^2+2xy-2y^2+6y+7$取得最大值,最大值为16.
