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1 [2025 安徽宿州调研,较难]阅读探索:
材料一:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了“换元法”,解法如下:
解:设$a-1=x,b+2=y$,所以原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6\end{cases}$,解得$\begin{cases}x=2, \\y=2\end{cases}$,即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=3, \\b=0\end{cases}$.
材料二:解方程组$\begin{cases}4x+10y=6,① \\8x+22y=10②\end{cases}$时,采用了“整体代换”的方法,解法如下:
解:将方程②变形为$2(4x+10y)+2y=10$,③
把方程①代入③,得$2×6+2y=10$,解得$y=-1$.
把$y=-1$代入①,得$x=4$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\y=-1\end{cases}$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1) 换元法 ① 运用“换元法”解方程组$\begin{cases}(\dfrac{a}{4}-1)+2(\dfrac{b}{3}+2)=4, \\2(\dfrac{a}{4}-1)+(\dfrac{b}{3}+2)=5\end{cases}$
②若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6\end{cases}$,用“换元法”求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$的解.
(2) 整体代换 已知实数$x,y,z$满足$\begin{cases}3x-2z+12y=47,① \\2x+z+8y=36,②\end{cases}$用“整体代换”的方法求$z$的值.
材料一:解方程组$\begin{cases}(a-1)+2(b+2)=6, \\2(a-1)+(b+2)=6\end{cases}$时,采用了“换元法”,解法如下:
解:设$a-1=x,b+2=y$,所以原方程组可化为$\begin{cases}x+2y=6, \\2x+y=6\end{cases}$,解得$\begin{cases}x=2, \\y=2\end{cases}$,即$\begin{cases}a-1=2, \\b+2=2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=3, \\b=0\end{cases}$.
材料二:解方程组$\begin{cases}4x+10y=6,① \\8x+22y=10②\end{cases}$时,采用了“整体代换”的方法,解法如下:
解:将方程②变形为$2(4x+10y)+2y=10$,③
把方程①代入③,得$2×6+2y=10$,解得$y=-1$.
把$y=-1$代入①,得$x=4$,所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\y=-1\end{cases}$.
根据上述材料,解决下列问题:
(1) 换元法 ① 运用“换元法”解方程组$\begin{cases}(\dfrac{a}{4}-1)+2(\dfrac{b}{3}+2)=4, \\2(\dfrac{a}{4}-1)+(\dfrac{b}{3}+2)=5\end{cases}$
②若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6\end{cases}$,用“换元法”求关于$m,n$的方程组$\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$的解.
(2) 整体代换 已知实数$x,y,z$满足$\begin{cases}3x-2z+12y=47,① \\2x+z+8y=36,②\end{cases}$用“整体代换”的方法求$z$的值.
答案
【解】(1) ①设 $\dfrac{a}{4}-1=x$,$\dfrac{b}{3}+2=y$,所以原方程组可以化为 $\begin{cases}x+2y=4,① \\2x+y=5,②\end{cases}$ ②-①$×2$,得 $-3y=-3$,解得 $y=1$. 把 $y=1$ 代入①,得 $x+2=4$,解得 $x=2$,所以方程组的解为 $\begin{cases}x=2, \\y=1,\end{cases}$ 即 $\begin{cases}\dfrac{a}{4}-1=2, \\\dfrac{b}{3}+2=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=12, \\b=-3,\end{cases}$ 所以原方程组的解为 $\begin{cases}a=12, \\b=-3.\end{cases}$
②设 $\begin{cases}5(m-3)=x, \\3(n+2)=y,\end{cases}$ 则关于 $m,n$ 的方程组 $\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$ 可化为 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2.\end{cases}$ 因为关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}5(m-3)=10, \\3(n+2)=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=5, \\n=0.\end{cases}$
(2) 将方程①变形为 $\dfrac{3}{2}(2x+z+8y)-\dfrac{7}{2}z=47$,③ 将方程②代入③,得 $\dfrac{3}{2}×36-\dfrac{7}{2}z=47$,解得 $z=2$.
②设 $\begin{cases}5(m-3)=x, \\3(n+2)=y,\end{cases}$ 则关于 $m,n$ 的方程组 $\begin{cases}5a_1(m-3)+3b_1(n+2)=c_1, \\5a_2(m-3)+3b_2(n+2)=c_2\end{cases}$ 可化为 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2.\end{cases}$ 因为关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}5(m-3)=10, \\3(n+2)=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=5, \\n=0.\end{cases}$
(2) 将方程①变形为 $\dfrac{3}{2}(2x+z+8y)-\dfrac{7}{2}z=47$,③ 将方程②代入③,得 $\dfrac{3}{2}×36-\dfrac{7}{2}z=47$,解得 $z=2$.
解析
【分析】
(1)①观察待解方程组，发现$\frac{a}{4}-1$和$\frac{b}{3}+2$是重复出现的整体，可通过换元法将这两个整体设为新变量，把原方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出新变量后再还原求出a、b即可。
(1)②对比已知解的方程组和待求方程组的结构，可发现待求方程组中$5(m-3)$对应原方程组的x，$3(n+2)$对应原方程组的y，通过换元将待求方程组转化为已知解的方程组形式，直接代入已知解即可求出m、n。
(2)要求z的值需消去x和y，观察两个方程中x、y的系数比均为1:4，可将方程①变形为含有方程②左边整体$2x+z+8y$的形式，再用整体代换法代入消去x、y，直接求解z。
【解析】
(1)①设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases}x+2y=4,① \\2x+y=5,②\end{cases}$
由②$-$①$×2$，得$-3y=-3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入①，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
即$\begin{cases}\dfrac{a}{4}-1=2, \\\dfrac{b}{3}+2=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=12, \\b=-3\end{cases}$。
②设$\begin{cases}5(m-3)=x, \\3(n+2)=y,\end{cases}$
则待求方程组可化为$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$
所以$\begin{cases}5(m-3)=10, \\3(n+2)=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=5, \\n=0\end{cases}$。
(2)将方程①变形为$\dfrac{3}{2}(2x+z+8y)-\dfrac{7}{2}z=47$，③
把方程②代入③，得$\dfrac{3}{2}×36-\dfrac{7}{2}z=47$，
计算得$54-\dfrac{7}{2}z=47$，解得$z=2$。
【答案】
(1)①$\begin{cases}a=12, \\b=-3\end{cases}$；②$\begin{cases}m=5, \\n=0\end{cases}$；(2)$z=2$
【知识点】
换元法解方程组，整体代换思想，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查阅读理解和方法迁移能力，通过换元法和整体代换法可以简化复杂方程组的运算，解题核心是观察方程组的结构特征，找准可替换的整体，降低计算难度。
【难度系数】
0.6
(1)①观察待解方程组，发现$\frac{a}{4}-1$和$\frac{b}{3}+2$是重复出现的整体，可通过换元法将这两个整体设为新变量，把原方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出新变量后再还原求出a、b即可。
(1)②对比已知解的方程组和待求方程组的结构，可发现待求方程组中$5(m-3)$对应原方程组的x，$3(n+2)$对应原方程组的y，通过换元将待求方程组转化为已知解的方程组形式，直接代入已知解即可求出m、n。
(2)要求z的值需消去x和y，观察两个方程中x、y的系数比均为1:4，可将方程①变形为含有方程②左边整体$2x+z+8y$的形式，再用整体代换法代入消去x、y，直接求解z。
【解析】
(1)①设$\dfrac{a}{4}-1=x$，$\dfrac{b}{3}+2=y$，原方程组可化为：
$\begin{cases}x+2y=4,① \\2x+y=5,②\end{cases}$
由②$-$①$×2$，得$-3y=-3$，解得$y=1$。
把$y=1$代入①，得$x+2×1=4$，解得$x=2$。
即$\begin{cases}\dfrac{a}{4}-1=2, \\\dfrac{b}{3}+2=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=12, \\b=-3\end{cases}$。
②设$\begin{cases}5(m-3)=x, \\3(n+2)=y,\end{cases}$
则待求方程组可化为$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1, \\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，
已知该方程组的解为$\begin{cases}x=10, \\y=6,\end{cases}$
所以$\begin{cases}5(m-3)=10, \\3(n+2)=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=5, \\n=0\end{cases}$。
(2)将方程①变形为$\dfrac{3}{2}(2x+z+8y)-\dfrac{7}{2}z=47$，③
把方程②代入③，得$\dfrac{3}{2}×36-\dfrac{7}{2}z=47$，
计算得$54-\dfrac{7}{2}z=47$，解得$z=2$。
【答案】
(1)①$\begin{cases}a=12, \\b=-3\end{cases}$；②$\begin{cases}m=5, \\n=0\end{cases}$；(2)$z=2$
【知识点】
换元法解方程组，整体代换思想，二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查阅读理解和方法迁移能力，通过换元法和整体代换法可以简化复杂方程组的运算，解题核心是观察方程组的结构特征，找准可替换的整体，降低计算难度。
【难度系数】
0.6
2[2025四川巴中质检,较难]阅读下列材料,并解答问题.
解方程组$\begin{cases}14x+15y=16,① \\17x+18y=19②\end{cases}$时,由于$x,y$的系数及常数项的值较大,如果用常规的代入消元法或加减消元法求解,那么计算量较大,且易出现运算错误,而采用下面的解法则比较简单:
②-①,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$,③
③×14,得$14x+14y=14$,④
①-④,得$y=2$,把$y=2$代入③,得$x=-1$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(1) 叠减法 请你采用上述方法解方程组$\begin{cases}2025x+2024y=1, \\2023x+2022y=1.\end{cases}$
(2) 叠加法 我们把形如$\begin{cases}mx+ny=a, \\nx+my=b\end{cases}$(未知数系数交换)的方程组称为轮换式方程组.请解轮换式方程组$\begin{cases}2025x+2024y=2026, \\2024x+2025y=2023.\end{cases}$
解方程组$\begin{cases}14x+15y=16,① \\17x+18y=19②\end{cases}$时,由于$x,y$的系数及常数项的值较大,如果用常规的代入消元法或加减消元法求解,那么计算量较大,且易出现运算错误,而采用下面的解法则比较简单:
②-①,得$3x+3y=3$,所以$x+y=1$,③
③×14,得$14x+14y=14$,④
①-④,得$y=2$,把$y=2$代入③,得$x=-1$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=-1, \\y=2.\end{cases}$
(1) 叠减法 请你采用上述方法解方程组$\begin{cases}2025x+2024y=1, \\2023x+2022y=1.\end{cases}$
(2) 叠加法 我们把形如$\begin{cases}mx+ny=a, \\nx+my=b\end{cases}$(未知数系数交换)的方程组称为轮换式方程组.请解轮换式方程组$\begin{cases}2025x+2024y=2026, \\2024x+2025y=2023.\end{cases}$
答案
【解】(1) $\begin{cases}2025x+2024y=1,① \\2023x+2022y=1,②\end{cases}$
①-②,得 $2x+2y=0$,即 $x+y=0$. ③
③$×2022$,得 $2022x+2022y=0$. ④ ②-④,得 $x=1$,把 $x=1$ 代入③,得 $y=-1$,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=1, \\y=-1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2025x+2024y=2026,① \\2024x+2025y=2023,②\end{cases}$ ① + ②,得 $4049x+4049y=4049$,即 $x+y=1$. ③
③$×2024$,得 $2024x+2024y=2024$. ④
②-④,得 $y=-1$,将 $y=-1$ 代入③,得 $x=2$,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=2, \\y=-1.\end{cases}$
①-②,得 $2x+2y=0$,即 $x+y=0$. ③
③$×2022$,得 $2022x+2022y=0$. ④ ②-④,得 $x=1$,把 $x=1$ 代入③,得 $y=-1$,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=1, \\y=-1.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2025x+2024y=2026,① \\2024x+2025y=2023,②\end{cases}$ ① + ②,得 $4049x+4049y=4049$,即 $x+y=1$. ③
③$×2024$,得 $2024x+2024y=2024$. ④
②-④,得 $y=-1$,将 $y=-1$ 代入③,得 $x=2$,所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=2, \\y=-1.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 观察待解方程组的系数特征：两个方程中x的系数差为2，y的系数差也为2，常数项相等，可模仿例题用叠减法求解：先将两个方程相减消去常数项，得到化简后的x+y的关系式，再将该关系式乘合适的系数后与原方程联立，用加减消元法求解，避免直接运算大系数出现错误。
(2) 该方程组是轮换式方程组，x、y的系数互换，可采用叠加法求解：先将两个方程相加，得到x和y系数相等的式子，化简得到x+y的值，再联立原方程用加减消元法求解，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2025x+2024y=1,① \\2023x+2022y=1.②\end{cases}$
①-②，得$2x+2y=0$，即$x+y=0$. ③
③×2022，得$2022x+2022y=0$. ④
②-④，得$x=1$，把$x=1$代入③，得$y=-1$.
(2) 记方程组为$\begin{cases}2025x+2024y=2026,① \\2024x+2025y=2023.②\end{cases}$
①+②，得$4049x+4049y=4049$，即$x+y=1$. ③
③×2024，得$2024x+2024y=2024$. ④
②-④，得$y=-1$，将$y=-1$代入③，得$x=2$.
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\y=-1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=2, \\y=-1.\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组特殊解法
【点评】
本题侧重考查学生观察方程组系数特征、灵活选用消元方法的能力，通过整体简化的思路避免大系数运算的繁琐和失误，能有效提升学生的运算技巧和解题思维。
【难度系数】
0.6
(1) 观察待解方程组的系数特征：两个方程中x的系数差为2，y的系数差也为2，常数项相等，可模仿例题用叠减法求解：先将两个方程相减消去常数项，得到化简后的x+y的关系式，再将该关系式乘合适的系数后与原方程联立，用加减消元法求解，避免直接运算大系数出现错误。
(2) 该方程组是轮换式方程组，x、y的系数互换，可采用叠加法求解：先将两个方程相加，得到x和y系数相等的式子，化简得到x+y的值，再联立原方程用加减消元法求解，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}2025x+2024y=1,① \\2023x+2022y=1.②\end{cases}$
①-②，得$2x+2y=0$，即$x+y=0$. ③
③×2022，得$2022x+2022y=0$. ④
②-④，得$x=1$，把$x=1$代入③，得$y=-1$.
(2) 记方程组为$\begin{cases}2025x+2024y=2026,① \\2024x+2025y=2023.②\end{cases}$
①+②，得$4049x+4049y=4049$，即$x+y=1$. ③
③×2024，得$2024x+2024y=2024$. ④
②-④，得$y=-1$，将$y=-1$代入③，得$x=2$.
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\y=-1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=2, \\y=-1.\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法
2. 二元一次方程组特殊解法
【点评】
本题侧重考查学生观察方程组系数特征、灵活选用消元方法的能力，通过整体简化的思路避免大系数运算的繁琐和失误，能有效提升学生的运算技巧和解题思维。
【难度系数】
0.6
