13.定义:若一元二次方程有两个整数根,且其中一根是另一根的整数倍,则称该方程是“一元二次倍根方程”。例如$x^2 - 3x + 2=0$的两根为$x_1=1,x_2=2$,因为$x_2$是$x_1$的2倍,所以$x^2 - 3x + 2=0$是“一元二次倍根方程”。已知$n$是正整数,若关于$x$的一元二次方程$x^2-(n+4)x+3n+3=0$是“一元二次倍根方程”,且关于$y$的一元二次方程$y^2+5y+n=0$总有两个不相等的实数根,则$n$的值为 ………………………………（）

A.2
B.2或5
C.4或6
D.2或6

B 解析:因为$y^2+5y+n=0$总有两个不相等的实数根,所以$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×1× n＞0$,解得$n＜\dfrac{25}{4}$,因为$n$是正整数,所以$n=1,2,3,4,5,6$,方程$x^2-(n+4)x+3n+3=0$,所以$(x-3)[x-(n+1)]=0$,所以$x-3=0$或$x-(n+1)=0$,解得:$x_1=3,x_2=n+1$,因为方程$x^2-(n+4)x+3n+3=0$是“一元二次倍根方程”,所以3能被$n+1$整除或$n+1$能被3整除,所以$x=2$或5。故选:B。

14.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)设该方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $。
①求代数式 $ x_1^2 + x_2^2 - 4x_1x_2 $ 的最大值；
②若方程的一个根是 $ 6, x_1 $ 和 $ x_2 $ 是一个等腰三角形的两条边,求等腰三角形的周长。

(1)证明:因为$\Delta=[-(2m+1)]^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1＞0$,所以无论$m$取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)①因为该方程的两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=2m+1$,$x_1x_2=m^2+m$,所以$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-6x_1x_2=(2m+1)^2-6(m^2+m)=-2m^2-2m+1=-2(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{2}$,因为$-2(m+\dfrac{1}{2})^2≤0$,所以$-2(m+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{2}≤\dfrac{3}{2}$,所以代数式$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2$的最大值为$\dfrac{3}{2}$;②把$x=6$代入方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$得:$36-(2m+1)×6+m^2+m=0$,整理得:$m^2-11m+30=0$,解得$m_1=5$,$m_2=6$,把$m=5$代入方程得:$x^2-11x+30=0$,所以$x_1=5$,$x_2=6$,所以等腰三角形的边长为5,5,6或6,6,5,所以此等腰三角形的周长为16或17,把$m=6$代入方程得:$x^2-13x+42=0$,所以$x_1=6$,$x_2=7$,所以等腰三角形的边长为6,6,7或7,7,6,所以此等腰三角形的周长为19或20,综上,等腰三角形的周长为16或17或19或20。