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背景材料
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心也是个物理名词,从效果上看,可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫作物体的重心.如图①,如果取一块均匀的三角形纸板,用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢?
问题探究
探究1
(1)如图②,AD是$△ ABC$的中线,则$S_{△ ABD}$
(2)如图③,AD,BE与CF交于点G,点G为$△ ABC$的重心,则GD是$△ GBC$的中线,GE是$△ GAC$的中线,GF是$△ GAB$的中线.若设$S_{△ GCD}=x,S_{△ GBF}=y,S_{△ GAE}=z$,则$x,y,z$之间的数量关系为
(3)如图④,BD与CE交于点G,点G是$△ ABC$的重心,$BD=6,CE=3,BD ⊥ CE$,求四边形AEGD的面积.
探究2
四边形有没有重心?如果有,它的重心如何确定呢?查阅相关资料后得到如下信息:
①如图⑤所示的四边形(长方形)有重心,在其对角线的交点处;
②在平面内,长方形A与长方形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠),那么图形C的重心一定在长方形A的重心与长方形B的重心所连的直线上.
(4)请在图⑥中画出该图形重心所在的直线.(仅用直尺作图,保留作图痕迹)
背景材料
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.重心也是个物理名词,从效果上看,可以认为物体所受重力的合力集中于一点,这一点叫作物体的重心.如图①,如果取一块均匀的三角形纸板,用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢?
问题探究
探究1
(1)如图②,AD是$△ ABC$的中线,则$S_{△ ABD}$
=
$S_{△ ACD}$.(填“＞”“＜”或“=”)(2)如图③,AD,BE与CF交于点G,点G为$△ ABC$的重心,则GD是$△ GBC$的中线,GE是$△ GAC$的中线,GF是$△ GAB$的中线.若设$S_{△ GCD}=x,S_{△ GBF}=y,S_{△ GAE}=z$,则$x,y,z$之间的数量关系为
$x=y=z$
,$\frac{DG}{AG}=$ $\frac{1}{2}$
.(3)如图④,BD与CE交于点G,点G是$△ ABC$的重心,$BD=6,CE=3,BD ⊥ CE$,求四边形AEGD的面积.
探究2
四边形有没有重心?如果有,它的重心如何确定呢?查阅相关资料后得到如下信息:
①如图⑤所示的四边形(长方形)有重心,在其对角线的交点处;
②在平面内,长方形A与长方形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠),那么图形C的重心一定在长方形A的重心与长方形B的重心所连的直线上.
(4)请在图⑥中画出该图形重心所在的直线.(仅用直尺作图,保留作图痕迹)
答案
(1) =
(2) $x=y=z$；$\frac{1}{2}$
(3)
∵点 G 是$△ABC$ 的重心，
∴由(2)可得 $BG=2DG,CG=2EG,S_{△ACE}=S_{△BCD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∵$BD=6,CE=3,\therefore BG=\frac{2}{3}BD=4,CG=\frac{2}{3}CE=2$。
∵$BD⊥CE,\therefore S_{△BCG}=\frac{1}{2}BG·CG=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ACE}=S_{△BCD},\therefore S_{△ACE}-S_{△CDG}=S_{△BCD}-S_{△CDG}$，
即 $S_{四边形AEGD}=S_{△BCG}=4$。
(4) 如图⑥,直线 MN 即为所求.(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 要判断两个三角形的面积关系，首先明确AD是中线可得BD=CD，两个三角形共用点A到BC的高，根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出结论。
(2) 结合中线分三角形面积相等的性质，重心是三条中线的交点，可推出6个小三角形面积全部相等，因此x、y、z相等；再由重心的线段比例性质可得DG与AG的比值。
(3) 先利用重心的线段比例性质求出BG、CG的长度，结合BD⊥CE的条件计算△BCG的面积，再通过等积变换推导四边形AEGD和△BCG的面积相等即可求解。
(4) 根据题中给出的组合图形重心的性质，先找到两个矩形各自的重心（即对角线交点），连接两个重心的直线就是所求的重心所在直线。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，由三角形面积公式可知二者面积相等。
(2) 三条中线将△ABC分成的6个小三角形面积全部相等，因此$S_{△GCD}=S_{△GBF}=S_{△GAE}$，即$x=y=z$；由重心性质可知，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，即$AG=2DG$，因此$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$。
(3) 解：
∵点G是$△ABC$ 的重心，
∴$BG=2DG,CG=2EG,S_{△ACE}=S_{△BCD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∵$BD=6,CE=3,\therefore BG=\frac{2}{3}BD=4,CG=\frac{2}{3}CE=2$。
∵$BD⊥CE,\therefore S_{△BCG}=\frac{1}{2}BG·CG=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ACE}=S_{△BCD},\therefore S_{△ACE}-S_{△CDG}=S_{△BCD}-S_{△CDG}$，
即 $S_{四边形AEGD}=S_{△BCG}=4$。
(4) 先找到上方小矩形对角线的交点M，再找到下方大矩形对角线的交点N，过M、N两点作直线，该直线就是图形重心所在的直线。
【答案】
(1) =
(2) $x=y=z$；$\frac{1}{2}$
(3) 4
(4) 如图⑥,直线 MN 即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
三角形重心性质，等积变换，组合图形重心确定
【点评】
本题从三角形重心的基础性质出发，逐步拓展到组合图形重心的确定，既考查了三角形中线与面积的关系等基础知识点，也考查了等积变换的数学思想和动手作图的实践能力，题目设置层层递进，能有效检验知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断两个三角形的面积关系，首先明确AD是中线可得BD=CD，两个三角形共用点A到BC的高，根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出结论。
(2) 结合中线分三角形面积相等的性质，重心是三条中线的交点，可推出6个小三角形面积全部相等，因此x、y、z相等；再由重心的线段比例性质可得DG与AG的比值。
(3) 先利用重心的线段比例性质求出BG、CG的长度，结合BD⊥CE的条件计算△BCG的面积，再通过等积变换推导四边形AEGD和△BCG的面积相等即可求解。
(4) 根据题中给出的组合图形重心的性质，先找到两个矩形各自的重心（即对角线交点），连接两个重心的直线就是所求的重心所在直线。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，由三角形面积公式可知二者面积相等。
(2) 三条中线将△ABC分成的6个小三角形面积全部相等，因此$S_{△GCD}=S_{△GBF}=S_{△GAE}$，即$x=y=z$；由重心性质可知，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，即$AG=2DG$，因此$\frac{DG}{AG}=\frac{1}{2}$。
(3) 解：
∵点G是$△ABC$ 的重心，
∴$BG=2DG,CG=2EG,S_{△ACE}=S_{△BCD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。
∵$BD=6,CE=3,\therefore BG=\frac{2}{3}BD=4,CG=\frac{2}{3}CE=2$。
∵$BD⊥CE,\therefore S_{△BCG}=\frac{1}{2}BG·CG=\frac{1}{2}×4×2=4$。
∵$S_{△ACE}=S_{△BCD},\therefore S_{△ACE}-S_{△CDG}=S_{△BCD}-S_{△CDG}$，
即 $S_{四边形AEGD}=S_{△BCG}=4$。
(4) 先找到上方小矩形对角线的交点M，再找到下方大矩形对角线的交点N，过M、N两点作直线，该直线就是图形重心所在的直线。
【答案】
(1) =
(2) $x=y=z$；$\frac{1}{2}$
(3) 4
(4) 如图⑥,直线 MN 即为所求.(答案不唯一)
【知识点】
三角形重心性质，等积变换，组合图形重心确定
【点评】
本题从三角形重心的基础性质出发，逐步拓展到组合图形重心的确定，既考查了三角形中线与面积的关系等基础知识点，也考查了等积变换的数学思想和动手作图的实践能力，题目设置层层递进，能有效检验知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
