亲爱的小伙伴,关于根号,你了解多少?
根号是一个数学符号,用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号.如果$a^n = b$,那么$a$是$b$开$n$次方的结果,记为$a=\sqrt[n]{b}$.开$n$次方用$\sqrt[n]{\ \ \ }$表示.
现在,我们都习以为常地使用根号,并感到它使用起来既简洁又方便.那么根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢?
古时候,埃及人用记号“┌”表示平方根.印度人在开平方时,在被开方数的前面写上“ka”.在1480年前后,德国人用“·”表示平方根,用“··”表示四次方根,用“···”表示立方根.如,$· 3$表示$\sqrt{3}$.到了16世纪初,小点带上了一条尾巴,这可能是因为书写快时带上的,在此基础上演变成了“√”,如1525年,德国数学家鲁道夫的代数书中就用$\sqrt{8}$表示$\sqrt{8}$.
1629年,荷兰数学家吉拉德在其著作中,将指数放在“√”的左上方,用以表示开几次方根,如开三次方根写为“$\sqrt[3]{\ \ }$”.但对于开四次方根,他使用了“√√”.1637年,笛卡儿在其《几何学》一书中第一个应用了现代平方根符号“$\sqrt{\ \ }$”.笛卡儿认为,当被开方数是一个多项式时,为了避免混淆,可在“√”上面加一条横线“—”,把几项连起来,这个创造既自然又超凡.
“$\sqrt{\ \ }$”表示开平方,本来“$\sqrt{\ \ }$”的左上角应写上一个小“2”,但因为数学上经常会出现开平方的运算,所以后来便把这个“2”略去,只用“$\sqrt{\ \ }$”来表示开平方,但开立方、开四次方……则必须在“$\sqrt{\ \ }$”的左上角写上“3”“4”……例如$\sqrt[3]{27}$、$\sqrt[4]{81}$之类,以示区别.
在根号的演变过程中,除了上述表示方法,还有其他的表示方法,随着时间的推移,人们经过选择、淘汰,最终认定了现在使用的根号.
任务:你能区分根式、整式、分式吗?请举例说明.

解：
① 根式：含有开方运算，且被开方数为字母或者开不尽方的数的代数式。
举例：$\sqrt{5}$、$\sqrt{x+3}$、$\sqrt[3]{2a}$都是根式。
② 整式：单项式和多项式的统称，整式的字母不出现在分母中，也不出现在根号内。
举例：$7$、$4y$、$2x^2 + 3x - 5$都是整式。
③ 分式：如果A、B表示两个整式，B中含有字母且$B≠0$，那么代数式$\frac{A}{B}$叫做分式。
举例：$\frac{3}{x}$、$\frac{x-1}{x^2+2}$都是分式。