1. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，若$BC=2$，则$EF=$（）

A.4
B.6
C.8
D.16

1.A

2. [2026 安庆模拟] 如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似.若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1,则点A的对应点A'的坐标为 ()

A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$

甲
乙

2.B

3. 下列命题为假命题的是（）

A.任意两个等腰直角三角形相似
B.有一个角为$36°$的两个等腰三角形相似
C.任意两个等边三角形相似
D.有一个角为$20°$的两个直角三角形相似

3.B 【点拨】A.任意两个等腰直角三角形相似，是真命题；
B.有一个角为$36°$的两个等腰三角形，没有指明$36°$的角是顶角还是底角，这两个三角形不一定相似，是假命题；
C.任意两个等边三角形相似，是真命题；
D.有一个角为$20°$的两个直角三角形相似，是真命题。
故选 B.

4.[2025 内江] 阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙所示,动力臂$OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂$OB=50\ \mathrm{cm}$,$BD=20\ \mathrm{cm}$,则$AC$的长度是 ()

A.80 cm
B.60 cm
C.50 cm
D.40 cm

4.B 【点拨】$\because AC⊥AB,BD⊥AB,\therefore AC// BD,\therefore△ AOC∽△ BOD,\therefore\frac{AC}{BD}=\frac{AO}{OB}.\because$动力臂 $OA=150\ \mathrm{cm}$,阻力臂 $OB=50\ \mathrm{cm},BD=20\ \mathrm{cm},\therefore\frac{AC}{20}=\frac{150}{50},\therefore AC=60\ \mathrm{cm},\therefore AC$ 的长度为 60 cm.
利用相似三角形解决实际问题的策略:利用相似三角形解决实际问题时,一要能根据实际问题画出示意图;二要会从实际问题中提取出线段的长度及相关角度,三要能灵活利用相似三角形的判定与性质求解相关问题.

5. 教材母题 教材P87例5变式 如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与$△ A_1B_1C_1$相似的是 ()
A

C
D

5.B 【点拨】因为$△ A_1 B_1 C_1$ 中有一个角是 $135°$,四个选项中,只有选项 B 中的阴影三角形有一个角是 $135°$,且这两个三角形中 $135°$ 角的两边对应成比例,所以选项 B 符合题意.

6. 如图,在$△ ABC$中,点 D 在 AB 上,在下列四个条件中:①$∠ ACD=∠ B$;②$∠ ADC=∠ ACB$;③$AC^2=AD· AB$;④$AB· CD=AD· CB$,能满足$△ ADC$与$△ ACB$相似的条件是 ()

A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④

6.A

7.[2025宜宾] 如图,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则$\frac{AE}{EC}$的值为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4
(第7题)

7.C 【点拨】如图所示,过点 D 作 $DF// BC$ 交 AC 于点 F.
$\because AD=2DB,\therefore\frac{AD}{BD}=2,\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}.$
$\because DF// BC,\therefore△ AFD∽△ ACB,$
$\therefore\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3},\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}.$ 设 $S_{△ AFD}=4k$,则 $S_{△ ACB}=9k.$ $\because$ 沿 DE 将 $△ ABC$ 剪成面积相等的两部分,
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}k.\therefore\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{4k}{\frac{9}{2}k}=\frac{8}{9}=\frac{AF}{AE}.\therefore\frac{AF}{AE}÷\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AE}·\frac{AC}{AF}=\frac{AC}{AE}=\frac{8}{9}÷\frac{2}{3}=\frac{4}{3},\therefore\frac{AE}{EC}=3.$

8. [2025 苏州] 如图,在正方形$ABCD$中,$E$为边$AD$的中点,连接$BE$,将$△ ABE$沿$BE$翻折,得到$△ A'BE$,连接$A'C,A'D$,则下列结论不正确的是 ()

A.$A'D // BE$
B.$A'C=\sqrt{2}A'D$
C.$S_{△ A'CD}=S_{△ A'DE}$
D.$S_{四边形A'BED}=S_{△ A'BC}$

8.D 【点拨】如图,过点 $A'$ 作 $FG// AB$,分别交 $AD,BC$ 于点 $F,G$,由折叠的性质得 $∠ AEB=∠ A'EB,AE=A'E.$ $\because E$ 为边 $AD$ 的中点, $\therefore AE=DE.$ $\therefore DE=A'E,\therefore∠ EDA'=∠ EA'D.$ $\because∠ AEA'$ 是 $△ A'ED$ 的外角, $\therefore∠ AEA'=∠ EDA'+∠ EA'D,\therefore∠ AEB=∠ EDA'.\therefore A'D// BE$,故选项 A 正确,不符合题意; $\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形, $\therefore AB=BC=CD=DA,∠ BAE=∠ ABC=∠ BCD=∠ CDE=90°.$ 设 $AB=BC=CD=DA=10.$ $\because E$ 为边 $AD$ 的中点, $\therefore AE=DE=5.$ 由折叠的性质得 $∠ BAE=∠ BA'E=90°,AE=A'E=5,AB=A'B=10.$ $\because FG// AB,\therefore$ 易得四边形 $ABGF$、四边形 $DCGF$ 都为矩形, $\therefore FG=AB=10,∠ EFA'=∠ A'GB=90°=∠ EA'B,DF=CG.$ $\therefore∠ EA'F=90°-∠ GA'B=∠ A'BG,\therefore△ EA'F∽△ A'BG,\therefore\frac{A'F}{BG}=\frac{EF}{A'G}=\frac{EA'}{A'B}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$ 设 $DF=CG=x$,则 $EF=5-x,BG=10-x,\therefore A'F=\frac{1}{2}BG=\frac{1}{2}(10-x),A'G=2EF=2(5-x).$ $\because A'F+A'G=FG=10,\therefore\frac{1}{2}(10-x)+2(5-x)=10$,解得 $x=2,\therefore DF=CG=2,A'F=4,A'G=6,\therefore A'C=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10},A'D=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5},\therefore A'C=\sqrt{2}A'D$,故选项 B 正确,不符合题意; $\because S_{△ A'CD}=\frac{1}{2}×10×2=10,S_{△ A'DE}=\frac{1}{2}×5×4=10,\therefore S_{△ A'CD}=S_{△ A'DE}$,故选项 C 正确,不符合题意; $\because S_{四边形A'BED}=S_{△ A'DE}+S_{△ A'BE}=10+\frac{1}{2}×5×10=35,S_{△ A'BC}=\frac{1}{2}×10×6=30,\therefore S_{四边形A'BED}≠ S_{△ A'BC}$,故选项 D 不正确,符合题意. 故选 D.

9. 如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,且AB=4,AC=6.当AD=时,△ABC∽△ACD.

9.9

10. [2026合肥蜀山区模拟] 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$AD=5$，$BC=10$，四边形$EFGH$和四边形$HGNM$均为正方形，且点$E,F,G,N,M$都在$△ ABC$的边上，那么$△ AEM$与四边形$BCME$的面积比为________。

10.$1:3$