11. 如图①，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=8$，$BC=6$，$D$是$AB$上一点，且$AD=2$，过点$D$作$DE// BC$交$AC$于点$E$，将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转到图②的位置，则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为。

11. $\frac{4}{5}$ 【点拨】$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC=90°,AB=8,BC=6,\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$
在题图①中, $\because DE// BC,\therefore ADE∽△ ABC.\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}.$
在题图②中, 将 $△ ADE$ 绕点 $A$ 顺时针旋转后, 得 $∠ DAB=∠ EAC$, 由旋转的性质可得 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ 仍成立, $\therefore\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}.$
$\therefore△ ADB∽△ AEC.\therefore\frac{BD}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$

12. [2025湖北] 如图①，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=n\ \mathrm{cm}$. 动点$P$，$Q$均以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$C$同时出发，点$P$沿折线$C\rightarrow B\rightarrow A$向点$A$运动，点$Q$沿边$CA$向点$A$运动. 当点$Q$运动到点$A$时，两点都停止运动.$△ PCQ$的面积$S$（单位：$\mathrm{cm}^2$）与运动时间$t$（单位：$\mathrm{s}$）的关系如图②所示.
(1)$m=$；
(2)$n=$.

12.(1)8 【点拨】$\because$ 当 $t=4$ 时, 点 $P$ 与点 $B$ 重合, $\therefore CP=CQ=4\ \mathrm{cm}.\because∠ ACB=90°,\therefore m=\frac{1}{2}×4×4=8.$
(2)12 【点拨】由图象可知, 当 $t=10$ 时, $S=10$, 此时 $CQ=10\ \mathrm{cm},BP=10-BC=6\ \mathrm{cm}.$ 过点 $P$ 作 $PD⊥ AC$ 于点 $D$, 如图, 则 $∠ PDA=90°,\therefore S=\frac{1}{2}×10PD=10,\therefore PD=2\ \mathrm{cm}.$
$\because∠ PDA=∠ BCA=90°,∠ A=∠ A,\therefore△ ADP∽△ ACB,$
$\therefore\frac{AP}{AB}=\frac{PD}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\therefore AP=\frac{1}{2}AB,\therefore P$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2BP=12\ \mathrm{cm}.$

三、解答题(共48分)
① ②
13.(24分) [2025镇江] 如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$和$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上,点A的横坐标为-1,点B的横坐标为$n(n＞3)$,点C的坐标为$(3,0)$,$AC⊥BC$,$AC=2BC$.
(1)求点A,B的坐标和反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的表达式;

(2)点D,E分别在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$和$y=-\dfrac{2}{x}$的图象上,与点A,B构成以AB为边的平行四边形,则点D,E的坐标分别为,.
.

13.(1)【解】$\because$ 点 $A$ 的横坐标为 $-1$, 且点 $A$ 在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象上, $\therefore A(-1,2).$
作 $AF⊥ x$ 轴, $BN⊥ x$ 轴, 如图①, $\therefore∠ AFC=∠ BNC=90°,$
$\because AC⊥ BC,\therefore∠ ACB=90°,\therefore∠ ACF+∠ BCN=90°.$
$\because∠ CBN+∠ BCN=90°,\therefore∠ ACF=∠ CBN.$
$\therefore△ AFC∽△ CNB.$
$\because AC=2BC,\therefore\frac{BN}{FC}=\frac{CN}{AF}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}.$
$\because A(-1,2)$, 点 $C$ 的坐标为 $(3,0),\therefore OF=1,AF=2,OC=3,\therefore FC=4.$
$\therefore\frac{BN}{4}=\frac{CN}{2}=\frac{1}{2},\therefore BN=2,CN=1,$
$\therefore ON=OC+CN=4,\therefore B(4,2).$
$\because B(4,2)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的图象上,
$\therefore k=2×4=8,$
$\therefore$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＞0)$ 的表达式为 $y=\frac{8}{x}.$
(2)$D(-4,-2)$;$E(1,-2)$ 【点拨】$\because D,E$ 分别在反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 和 $y=-\frac{2}{x}$ 的图象上, $\therefore$ 设 $D(a,\frac{8}{a}),E(b,-\frac{2}{b}).$
$\because A(-1,2),B(4,2),\therefore AB// x$ 轴, 且 $AB=5.$ $\because D,E$ 与点 $A,B$ 构成以 $AB$ 为边的平行四边形, $\therefore AB// DE$, 且 $DE=AB$, 如图②, $\therefore DE// x$ 轴, 且 $DE=5,\therefore\begin{cases}|a-b|=5,①\\\frac{8}{a}=-\frac{2}{b},②\end{cases}$ 解得 $b_1=1,b_2=-1$(舍), 则 $a=-4,\therefore D(-4,-2),E(1,-2).$

14.(24分) [2025上海] 在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点，连接AE,AF,EF.
(1)当E是边BC的中点时.
①如图①,如果AE=EF,求证:∠BAE=∠CFE;
②如图②,如果CF=DF,连接BF交AE于点G,求$S_{△ BEG}:S_{△ AEF}$的值;
(2)如图③,如果AD=5,AB=3,CF=1,∠AEB=∠AFE=∠EFC,求AF的长.

14.(1)①【证明】如图①, 延长 $FE,AB$ 交于 $H.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AB// CD,$
$\therefore∠ EBH=∠ ECF,∠ H=∠ CFE.$
$\because E$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BE=CE.$
$\therefore△ BEH≌△ CEF(\mathrm{AAS}),\therefore EH=EF.$
$\because AE=EF,\therefore AE=EH,\therefore∠ H=∠ BAE.$
$\therefore∠ BAE=∠ CFE.$
②【解】如图②, 延长 $BF,AD$ 交于 $M.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore AD// BC,AD=BC,$
$\therefore△ BEG∽△ MAG,△ BCF∽△ MDF.$
$\therefore\frac{BE}{AM}=\frac{GE}{AG}=\frac{BG}{GM},\frac{BC}{DM}=\frac{BF}{MF}=\frac{CF}{DF}=1,$
$\therefore BF=MF,BC=DM.$
$\because E$ 是边 $BC$ 的中点, $\therefore BC=2CE=2BE.$
设 $CE=BE=m$, 则 $BC=DM=AD=2m,$
$\therefore AM=AD+DM=4m.$
$\therefore\frac{GE}{AG}=\frac{BG}{MG}=\frac{BE}{AM}=\frac{m}{4m}=\frac{1}{4}.$
$\because\frac{BF}{MF}=1,\therefore\frac{BG}{GF}=\frac{2}{3}.$
$\therefore\frac{S_{△ BGE}}{S_{△ BGA}}=\frac{S_{△ GFE}}{S_{△ GFA}}=\frac{GE}{AG}=\frac{1}{4},\frac{S_{△ ABG}}{S_{△ AFG}}=\frac{BG}{FG}=\frac{2}{3}.$
设 $S_{△ ABG}=4n$, 则 $S_{△ BGE}=n,S_{△ AFG}=6n,$
$\therefore S_{△ BGF}=\frac{3}{2}n,\therefore\frac{S_{△ BGE}}{S_{△ AEF}}=\frac{S_{△ BGE}}{S_{△ AGF}+S_{△ BGF}}=\frac{n}{6n+\frac{3}{2}n}=\frac{2}{15}.$
(2)【解】如图③, 延长 $AD,EF$ 交于 $M.$
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
$\therefore CD=AB=3.$
$\because AD// BC,$
$\therefore∠ AEB=∠ EAD.$
$\because∠ AEB=∠ AFE,\therefore∠ EFA=∠ EAD.$
又 $\because∠ AEF=∠ MEA,\therefore△ AEF∽△ MEA.$
$\because∠ AEB+∠ AEF+∠ FEC=∠ EFC+∠ FCE+∠ FEC=180°,∠ AEB=∠ EFC,\therefore∠ AEF=∠ FCE.$
又 $\because∠ AFE=∠ EFC,\therefore△ AEF∽△ ECF.$
$\because AD// BC,\therefore△ ECF∽△ MDF,\therefore\frac{EC}{DM}=\frac{EF}{FM}=\frac{CF}{DF}.$
$\because CF=1,\therefore DF=CD-CF=2.$
设 $CE=s,FE=t,\because△ AEF∽△ ECF,$
$\therefore\frac{CF}{EF}=\frac{CE}{AE}=\frac{EF}{AF}$, 即 $\frac{1}{t}=\frac{s}{AE}=\frac{t}{AF}.\therefore AE=st,AF=t^2.$
$\because\frac{EC}{DM}=\frac{EF}{FM}=\frac{CF}{DF}$, 即 $\frac{s}{DM}=\frac{t}{FM}=\frac{1}{2},$
$\therefore DM=2s,FM=2t,\therefore AM=AD+DM=5+2s.$
$\because△ AEF∽△ MEA,\therefore\frac{EF}{AE}=\frac{AE}{EM}=\frac{AF}{AM},$
即 $\frac{t}{st}=\frac{st}{t+2t}=\frac{t^2}{5+2s},\therefore\begin{cases}\frac{t}{st}=\frac{st}{t+2t},\\\frac{st}{t+2t}=\frac{t^2}{5+2s},\end{cases}$
解得 $\begin{cases}s=\sqrt{3},\\t^2=\frac{5\sqrt{3}+6}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}s=-\sqrt{3},\\t^2=\frac{6-5\sqrt{3}}{3}\end{cases}$(舍去), $\therefore AF=\frac{5\sqrt{3}+6}{3}.$