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1 下列说法正确的是 （
A.$-\frac{3π xy}{2}$的系数为$-\frac{3}{2}$
B.$m$是单项式，5不是单项式
C.$-x^3y$的次数是3
D.多项式$x^2y^2 -2x^2 +1$是$x^2y^2, -2x^2$与1三项的和
D
）A.$-\frac{3π xy}{2}$的系数为$-\frac{3}{2}$
B.$m$是单项式，5不是单项式
C.$-x^3y$的次数是3
D.多项式$x^2y^2 -2x^2 +1$是$x^2y^2, -2x^2$与1三项的和
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查单项式、多项式的基础概念，解题时需依次回忆单项式的系数、次数定义，单项式的判定规则，多项式的项的定义，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π属于常数，因此$-\frac{3π xy}{2}$的系数为$-\frac{3π}{2}$，不是$-\frac{3}{2}$，A错误。
B选项：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，因此m是单项式，5也是单项式，B错误。
C选项：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，$-x^3y$中x的指数是3，y的指数是1，总次数为$3+1=4$，不是3，C错误。
D选项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项需包含前面的符号，因此多项式$x^2y^2 -2x^2 +1$是$x^2y^2$、$-2x^2$与1三项的和，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
【点评】
这道题属于整式章节的基础概念题，易错点在于容易忽略π是常数、计算单项式次数时漏算某一字母的指数、判断多项式的项时遗漏前面的符号，熟练掌握基础概念即可快速判断。
【难度系数】
0.8
这道题考查单项式、多项式的基础概念，解题时需依次回忆单项式的系数、次数定义，单项式的判定规则，多项式的项的定义，逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π属于常数，因此$-\frac{3π xy}{2}$的系数为$-\frac{3π}{2}$，不是$-\frac{3}{2}$，A错误。
B选项：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，因此m是单项式，5也是单项式，B错误。
C选项：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，$-x^3y$中x的指数是3，y的指数是1，总次数为$3+1=4$，不是3，C错误。
D选项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项需包含前面的符号，因此多项式$x^2y^2 -2x^2 +1$是$x^2y^2$、$-2x^2$与1三项的和，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式的相关概念
2. 多项式的相关概念
【点评】
这道题属于整式章节的基础概念题，易错点在于容易忽略π是常数、计算单项式次数时漏算某一字母的指数、判断多项式的项时遗漏前面的符号，熟练掌握基础概念即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2（1）$4x^4y + x^3y^2 - 2x^2y^3 - 4xy^4 + 6y^4$ 是
（2）多项式$a^2b - \dfrac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$的次数最高的项的系数是
五
次五
项式；（2）多项式$a^2b - \dfrac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$的次数最高的项的系数是
$-\frac{1}{3}$
。答案
(1) 五 五 (2) $-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解决这两道题需要用到多项式的相关基础概念，解题思路如下：
（1）判断几次几项式：第一步先拆分多项式为单个的单项式（即每个项，注意包含项前的符号），第二步分别计算每个单项式的次数（单项式次数是所有字母的指数和），找到最高的次数就是多项式的次数；第三步数所有单项式的个数，就是多项式的项数，常数项也要算入项数。
（2）找最高次项的系数：先逐个计算多项式中每个项的次数，找到次数最高的项，再提取该项的数字因数（注意包含前面的正负号）就是所求系数。
【解析】
（1）对多项式$4x^4y + x^3y^2 - 2x^2y^3 - 4xy^4 + 6y^4$拆分计算：
各项分别为$4x^4y$（次数$4+1=5$）、$x^3y^2$（次数$3+2=5$）、$-2x^2y^3$（次数$2+3=5$）、$-4xy^4$（次数$1+4=5$）、$6y^4$（次数$4$）。
可得最高次数为5，总共有5个项，因此该多项式是五次五项式。
（2）对多项式$a^2b - \dfrac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$拆分计算：
各项次数分别为：$a^2b$次数$2+1=3$，$-\dfrac{a^3b^2}{3}$次数$3+2=5$，$5a^3$次数$3$，$-b^3$次数$3$。
最高次项为$-\dfrac{a^3b^2}{3}$，其数字因数为$-\dfrac{1}{3}$，即最高次项的系数是$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) 五 五 (2) $-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
多项式的项数，多项式的次数，单项式的系数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题核心是准确计算单项式的次数，同时要注意项的系数需要包含前面的符号，属于基础概念考查题，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决这两道题需要用到多项式的相关基础概念，解题思路如下：
（1）判断几次几项式：第一步先拆分多项式为单个的单项式（即每个项，注意包含项前的符号），第二步分别计算每个单项式的次数（单项式次数是所有字母的指数和），找到最高的次数就是多项式的次数；第三步数所有单项式的个数，就是多项式的项数，常数项也要算入项数。
（2）找最高次项的系数：先逐个计算多项式中每个项的次数，找到次数最高的项，再提取该项的数字因数（注意包含前面的正负号）就是所求系数。
【解析】
（1）对多项式$4x^4y + x^3y^2 - 2x^2y^3 - 4xy^4 + 6y^4$拆分计算：
各项分别为$4x^4y$（次数$4+1=5$）、$x^3y^2$（次数$3+2=5$）、$-2x^2y^3$（次数$2+3=5$）、$-4xy^4$（次数$1+4=5$）、$6y^4$（次数$4$）。
可得最高次数为5，总共有5个项，因此该多项式是五次五项式。
（2）对多项式$a^2b - \dfrac{a^3b^2}{3} + 5a^3 - b^3$拆分计算：
各项次数分别为：$a^2b$次数$2+1=3$，$-\dfrac{a^3b^2}{3}$次数$3+2=5$，$5a^3$次数$3$，$-b^3$次数$3$。
最高次项为$-\dfrac{a^3b^2}{3}$，其数字因数为$-\dfrac{1}{3}$，即最高次项的系数是$-\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) 五 五 (2) $-\dfrac{1}{3}$
【知识点】
多项式的项数，多项式的次数，单项式的系数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题核心是准确计算单项式的次数，同时要注意项的系数需要包含前面的符号，属于基础概念考查题，熟练掌握相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3 新考向 结论开放题 写出一个同时满足① 只含有字母$a$和$b$,② 每一项的次数都是$2$,③ 按字母$a$的降幂排列这些条件的二次三项式:
答案不唯一,如$a^2+ab+b^2$
.答案
答案不唯一,如$a^2+ab+b^2$
解析
【分析】
解题时先逐一拆解题目要求，明确各条件的含义：①只含a、b，即多项式中不能出现其他字母和常数项；②每一项次数为2，即每个单项式中a、b的指数之和为2；③是三项式，即共有3个符合要求的单项式；④按a的降幂排列，即各项中a的指数从大到小排列。首先确定a的最高次项：要满足次数为2，第一项a的指数为2，对应项可写为$a^2$；接着找a的指数次高的项，a的指数为1，要满足次数为2，b的指数为1，对应项可写为$ab$；最后找a的指数最小的项，a的指数为0，要满足次数为2，b的指数为2，对应项可写为$b^2$，将三个项相加即可得到符合要求的多项式。
【解析】
第一步，确定项数：需为三项式，因此要构造3个符合要求的单项式。
第二步，匹配次数要求：每个单项式仅含a、b，且a、b的指数和为2，可选的单项式有$a^2$、$ab$、$b^2$（系数不为0即可，此处取系数为1）。
第三步，按a的降幂排列：三个单项式中a的指数依次为2、1、0，按从大到小排列后组合得$a^2+ab+b^2$，经核对所有条件均满足，答案不唯一，其他符合条件的结果也正确。
【答案】
答案不唯一,如$a^2+ab+b^2$
【知识点】
多项式的相关概念；单项式的次数；降幂排列
【点评】
本题属于结论开放型基础题，核心考查对多项式的项、次数以及字母降幂排列规则的掌握，解题时需逐一核对所有条件，避免遗漏要求即可快速写出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时先逐一拆解题目要求，明确各条件的含义：①只含a、b，即多项式中不能出现其他字母和常数项；②每一项次数为2，即每个单项式中a、b的指数之和为2；③是三项式，即共有3个符合要求的单项式；④按a的降幂排列，即各项中a的指数从大到小排列。首先确定a的最高次项：要满足次数为2，第一项a的指数为2，对应项可写为$a^2$；接着找a的指数次高的项，a的指数为1，要满足次数为2，b的指数为1，对应项可写为$ab$；最后找a的指数最小的项，a的指数为0，要满足次数为2，b的指数为2，对应项可写为$b^2$，将三个项相加即可得到符合要求的多项式。
【解析】
第一步，确定项数：需为三项式，因此要构造3个符合要求的单项式。
第二步，匹配次数要求：每个单项式仅含a、b，且a、b的指数和为2，可选的单项式有$a^2$、$ab$、$b^2$（系数不为0即可，此处取系数为1）。
第三步，按a的降幂排列：三个单项式中a的指数依次为2、1、0，按从大到小排列后组合得$a^2+ab+b^2$，经核对所有条件均满足，答案不唯一，其他符合条件的结果也正确。
【答案】
答案不唯一,如$a^2+ab+b^2$
【知识点】
多项式的相关概念；单项式的次数；降幂排列
【点评】
本题属于结论开放型基础题，核心考查对多项式的项、次数以及字母降幂排列规则的掌握，解题时需逐一核对所有条件，避免遗漏要求即可快速写出正确答案。
【难度系数】
0.8
4 下列运算正确的是 （
A.$(2x - 3y)+(3x + 4y)=5x +7y$
B.$(3a -4b)-(2a -5b)=a -9b$
C.$\frac{2}{3}(9x -6y)-2(x -2y)=4x$
D.$-5a +(3a -2)-(3a -7)=-5a -9$
C
）A.$(2x - 3y)+(3x + 4y)=5x +7y$
B.$(3a -4b)-(2a -5b)=a -9b$
C.$\frac{2}{3}(9x -6y)-2(x -2y)=4x$
D.$-5a +(3a -2)-(3a -7)=-5a -9$
答案
4.C
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题思路是逐个验证每个选项的运算是否正确：①先根据去括号法则去掉括号，括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项都要变号；若括号前有系数，需将系数乘到括号内的每一项。②再合并同类项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最后对比运算结果和选项给出的结果是否一致即可。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
选项A：$\begin{aligned}(2x - 3y)+(3x + 4y)&=2x - 3y + 3x + 4y\\&=(2x+3x)+(-3y+4y)\\&=5x + y\end{aligned}$，与选项中的$5x+7y$不符，A错误。
选项B：$\begin{aligned}(3a -4b)-(2a -5b)&=3a -4b -2a +5b\\&=(3a-2a)+(-4b+5b)\\&=a + b\end{aligned}$，与选项中的$a-9b$不符，B错误。
选项C：$\begin{aligned}\frac{2}{3}(9x -6y)-2(x -2y)&=6x -4y -2x +4y\\&=(6x-2x)+(-4y+4y)\\&=4x\end{aligned}$，与选项结果一致，C正确。
选项D：$\begin{aligned}-5a +(3a -2)-(3a -7)&=-5a +3a -2 -3a +7\\&=(-5a+3a-3a)+(-2+7)\\&=-5a +5\end{aligned}$，与选项中的$-5a-9$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式加减运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握去括号的符号变化规则，以及合并同类项的方法，计算时要注意不要漏乘括号内的项，同时要准确处理符号，避免因符号错误导致运算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的加减运算，解题思路是逐个验证每个选项的运算是否正确：①先根据去括号法则去掉括号，括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项都要变号；若括号前有系数，需将系数乘到括号内的每一项。②再合并同类项，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最后对比运算结果和选项给出的结果是否一致即可。
【解析】
我们对每个选项逐一运算验证：
选项A：$\begin{aligned}(2x - 3y)+(3x + 4y)&=2x - 3y + 3x + 4y\\&=(2x+3x)+(-3y+4y)\\&=5x + y\end{aligned}$，与选项中的$5x+7y$不符，A错误。
选项B：$\begin{aligned}(3a -4b)-(2a -5b)&=3a -4b -2a +5b\\&=(3a-2a)+(-4b+5b)\\&=a + b\end{aligned}$，与选项中的$a-9b$不符，B错误。
选项C：$\begin{aligned}\frac{2}{3}(9x -6y)-2(x -2y)&=6x -4y -2x +4y\\&=(6x-2x)+(-4y+4y)\\&=4x\end{aligned}$，与选项结果一致，C正确。
选项D：$\begin{aligned}-5a +(3a -2)-(3a -7)&=-5a +3a -2 -3a +7\\&=(-5a+3a-3a)+(-2+7)\\&=-5a +5\end{aligned}$，与选项中的$-5a-9$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式加减运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握去括号的符号变化规则，以及合并同类项的方法，计算时要注意不要漏乘括号内的项，同时要准确处理符号，避免因符号错误导致运算失误。
【难度系数】
0.8
5 一个多项式减去$x^2 - 2y^2$等于$x^2 + y^2$，则这个多项式为（
A.$2x^2 - y^2$
B.$-2x^2 + y^2$
C.$2x^2 + y^2$
D.$-2x^2 - y^2$
A
）A.$2x^2 - y^2$
B.$-2x^2 + y^2$
C.$2x^2 + y^2$
D.$-2x^2 - y^2$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查整式加减的应用，解题时首先根据减法运算中“被减数=减数+差”的数量关系，确定要求的多项式等于已知的两个多项式的和；接下来按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果，计算时注意同类项的合并方法：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A - (x^2 - 2y^2) = x^2 + y^2$
根据被减数=减数+差，可得：
$A = (x^2 - 2y^2) + (x^2 + y^2)$
去括号（括号前为正号，括号内各项符号不变）：
$A = x^2 - 2y^2 + x^2 + y^2$
合并同类项：
$A = (x^2 + x^2) + (-2y^2 + y^2) = 2x^2 - y^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题属于基础计算题，核心是通过减法各部分的关系列出正确的算式，运算过程中只需遵循去括号和合并同类项的规则即可，易错点是混淆去括号时的符号变化，本题中括号前为加号，无需改变括号内项的符号，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查整式加减的应用，解题时首先根据减法运算中“被减数=减数+差”的数量关系，确定要求的多项式等于已知的两个多项式的和；接下来按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果，计算时注意同类项的合并方法：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
设这个多项式为$A$，根据题意可得：
$A - (x^2 - 2y^2) = x^2 + y^2$
根据被减数=减数+差，可得：
$A = (x^2 - 2y^2) + (x^2 + y^2)$
去括号（括号前为正号，括号内各项符号不变）：
$A = x^2 - 2y^2 + x^2 + y^2$
合并同类项：
$A = (x^2 + x^2) + (-2y^2 + y^2) = 2x^2 - y^2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题属于基础计算题，核心是通过减法各部分的关系列出正确的算式，运算过程中只需遵循去括号和合并同类项的规则即可，易错点是混淆去括号时的符号变化，本题中括号前为加号，无需改变括号内项的符号，难度较低。
【难度系数】
0.9
6 孙爷爷今年a岁，张伯伯今年$(a-20)$岁，经过$x$年后，他们的年龄相差 （
A.20岁
B.$(a+20)$岁
C.$(a-20)$岁
D.$a$岁
A
）A.20岁
B.$(a+20)$岁
C.$(a-20)$岁
D.$a$岁
答案
6.A
解析
【分析】
解决本题的核心是明确年龄差始终不变的规律：两个人的年龄会随着时间推移同时增加相同的岁数，因此年龄差永远不会改变。解题时既可以先计算今年两人的年龄差，直接得到x年后的年龄差；也可以分别表示出x年后两人的年龄，再作差计算验证结果。
【解析】
方法一：利用年龄差不变规律求解
今年孙爷爷a岁，张伯伯$(a-20)$岁，今年的年龄差为：
$a-(a-20)=a-a+20=20$（岁）
因为年龄差不随时间变化，所以x年后他们仍相差20岁。
方法二：计算x年后的年龄差验证
x年后，孙爷爷的年龄为$(a+x)$岁，张伯伯的年龄为$(a-20+x)$岁，年龄差为：
$\begin{aligned}&(a+x)-(a-20+x)\\=&a+x-a+20-x\\=&20\end{aligned}$
因此经过x年后，他们的年龄相差20岁，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，年龄差不变规律
【点评】
本题属于基础题，重点考查年龄差的不变性质，熟练掌握整式的去括号、合并同类项运算即可快速求解，也可直接通过计算当前年龄差得到结果，减少计算步骤。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确年龄差始终不变的规律：两个人的年龄会随着时间推移同时增加相同的岁数，因此年龄差永远不会改变。解题时既可以先计算今年两人的年龄差，直接得到x年后的年龄差；也可以分别表示出x年后两人的年龄，再作差计算验证结果。
【解析】
方法一：利用年龄差不变规律求解
今年孙爷爷a岁，张伯伯$(a-20)$岁，今年的年龄差为：
$a-(a-20)=a-a+20=20$（岁）
因为年龄差不随时间变化，所以x年后他们仍相差20岁。
方法二：计算x年后的年龄差验证
x年后，孙爷爷的年龄为$(a+x)$岁，张伯伯的年龄为$(a-20+x)$岁，年龄差为：
$\begin{aligned}&(a+x)-(a-20+x)\\=&a+x-a+20-x\\=&20\end{aligned}$
因此经过x年后，他们的年龄相差20岁，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
用字母表示数，整式的加减运算，年龄差不变规律
【点评】
本题属于基础题，重点考查年龄差的不变性质，熟练掌握整式的去括号、合并同类项运算即可快速求解，也可直接通过计算当前年龄差得到结果，减少计算步骤。
【难度系数】
0.8
7 当$a+b=3$时，多项式$2(a+2b)-(3a+5b)+5$的值为
2
。答案
7.2
解析
【分析】
本题已知a+b的整体值，无需单独求解a、b的具体数值，解题思路为：先根据去括号法则去掉多项式中的括号，再合并同类项将多项式化简，变形为含有a+b的形式，最后将a+b=3整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：对多项式先化简再求值：
$2(a+2b)-(3a+5b)+5$
$=2a + 4b - 3a - 5b + 5$（去括号法则：括号前是负号，去括号后括号内各项变号）
$=(2a-3a)+(4b-5b)+5$（合并同类项）
$=-a - b + 5$
$=-(a+b) + 5$（变形为含$a+b$的整体形式）
将$a+b=3$代入上式，得：
原式$=-3 + 5 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，合并同类项
【点评】
本题是整式求值的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的前提，运用整体代入可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b的整体值，无需单独求解a、b的具体数值，解题思路为：先根据去括号法则去掉多项式中的括号，再合并同类项将多项式化简，变形为含有a+b的形式，最后将a+b=3整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：对多项式先化简再求值：
$2(a+2b)-(3a+5b)+5$
$=2a + 4b - 3a - 5b + 5$（去括号法则：括号前是负号，去括号后括号内各项变号）
$=(2a-3a)+(4b-5b)+5$（合并同类项）
$=-a - b + 5$
$=-(a+b) + 5$（变形为含$a+b$的整体形式）
将$a+b=3$代入上式，得：
原式$=-3 + 5 = 2$
【答案】
2
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值，合并同类项
【点评】
本题是整式求值的常规题型，核心考查整体代入的数学思想，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的前提，运用整体代入可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
