5.如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与y轴的交点为$(0,3)$，它的对称轴为直线$x=1$，有下列结论：①$c=3$；②$2a+b=0$；③$a-b+c＞0$；④方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个根在2,3之间。其中正确的有（）。

A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

5. C 解析
∵二次函数的图象与 y 轴的交点为(0,3),
∴c=3,故①正确.
∵该二次函数图象的对称轴为直线 x=1,
∴$-\frac{b}{2a}=1$,
∴2a+b=0,
故②正确.
由图象可知,当 x=-1 时,y＜0,
∴a-b+c＜0,故③错误.
由条件可知抛物线与 x 轴的另一个交点在 2,3 之间,
∴方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的一个根在 2,3 之间,故④正确. 故选 C.

6.若抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过点$(1,-1)$，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是().

A.有两个大于1的不相等的实数根
B.有两个小于1的不相等的实数根
C.有两个实数根，其中一个大于1，另一个小于1
D.没有实数根

6. C 解析
∵a＞0,
∴抛物线开口向上. 又抛物线经过点(1,-1),
∴抛物线的顶点在 x 轴的下方,
∴抛物线与 x 轴一定有两个交点,这两个交点分别在点(1,0)的左右两边,
∴关于 x 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个实数根,其中一个大于 1,另一个小于 1. 故选 C.

7. 一元二次方程$x^2 +7x +9 =1$的根与二次函数$y = x^2 +7x +9$的图象有什么关系？试利用图象求该方程的根的近似值。（结果保留小数点后一位）

7. 解 一元二次方程 $x^2 +7x +9 =1$ 的根是二次函数 $y=x^2 +7x +9$ 的图象与直线 y=1 交点的横坐标.
作出二次函数 $y=x^2 +7x +9$ 的图象与直线 y=1,如图所示. 由图可以看出,x≈-5.6,或 x≈-1.4,
∴一元二次方程 $x^2 +7x +9 =1$ 的实数根为 $x_1≈-5.6,x_2≈-1.4$.

8. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象过点 $ A(2,0) $，且与函数 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 的图象相交于 $ B,C $ 两点，点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，点 $ C $ 在 $ y $ 轴上.
(1) 求该二次函数的解析式.
(2) 如果 $ P(x,y) $ 是线段 $ BC $ 上的动点，$ O $ 为坐标原点，试求 $ △ AOP $ 的面积 $ S_{△ AOP} $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并求自变量 $ x $ 的取值范围.
(3) 线段 $ BC $ 上是否存在点 $ P $，使得 $ PO = AO $？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

8. 解 (1)由题意可知,二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象过点 C(0,3),所以 c=3.
把点 A(2,0),B(4,0) 的坐标代入 $y=ax^2+bx+3$,
得 $\begin{cases}4a+2b+3=0,\\16a+4b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{3}{8},\\b=-\frac{9}{4}.\end{cases}$
所以该二次函数的解析式为 $y=\frac{3}{8}x^2 -\frac{9}{4}x +3$.
(2) 如图, $S_{△AOP} = \frac{1}{2}OA · y = \frac{1}{2}×2 · y = y = -\frac{3}{4}x + 3$（0 ≤ x＜4）.
(3)不存在点 P,使得 PO=AO. 理由如下:
设存在点 P($x_0,y_0$),满足 PO=AO,则 PO=2.
如图,$PO=\sqrt{x_0^2+y_0^2}$,所以 $x_0^2+y_0^2=4$.
又因为 $y_0=-\frac{3}{4}x_0 +3$,
所以 $25x_0^2 -72x_0 +80=0$.
因为 $Δ=(-72)^2 -4×25×80 =-2816＜0$,所以此一元二次方程无解.
故不存在点 P,使得 PO=AO.