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3.已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是
40°或 100°
.答案
3.40°或 100° 【解析】当∠A 是顶角时,△ABC 的顶角度数是 40°;当∠A 是底角时,△ABC 的顶角度数是 $180°−2×40°=100°$.
综上,△ABC 的顶角度数是 40°或 100°.
综上,△ABC 的顶角度数是 40°或 100°.
4. 如图,在等腰三角形ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP并延长交BC于点E,连接BP并延长交AC于点F.求证:
(1)$∠ CAE=∠ CBF$;
(2)$AE=BF$.
(1)$∠ CAE=∠ CBF$;
(2)$AE=BF$.
答案
4.【证明】(1)因为△ABC 为等腰三角形,所以 AC=
BC,所以∠CAB=∠CBA. 因为 CH 为底边上的高,所以 CH 也是底边上的中线,即 CH 垂直平分线段 AB,所以 PA=PB,所以∠PAB=∠PBA. 因为 ∠CAE = ∠CAB − ∠PAB, ∠CBF = ∠CBA−∠PBA,所以∠CAE=∠CBF.
(2)在△ACE 和△BCF 中,$\begin{cases}∠CAE=∠CBF,\\AC=BC,\\∠ACE=∠BCF,\end{cases}$
所以△ACE≌△BCF(ASA),所以 AE=BF.
BC,所以∠CAB=∠CBA. 因为 CH 为底边上的高,所以 CH 也是底边上的中线,即 CH 垂直平分线段 AB,所以 PA=PB,所以∠PAB=∠PBA. 因为 ∠CAE = ∠CAB − ∠PAB, ∠CBF = ∠CBA−∠PBA,所以∠CAE=∠CBF.
(2)在△ACE 和△BCF 中,$\begin{cases}∠CAE=∠CBF,\\AC=BC,\\∠ACE=∠BCF,\end{cases}$
所以△ACE≌△BCF(ASA),所以 AE=BF.
5.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的.如图,借助“三等分角仪”能三等分任一角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O处相连并可绕点O转动,点C固定,$OC=CD=DE$,点D,E可在槽中滑动,若$∠ BDE=75°$,则$∠ O$的度数是（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
5.C 【解析】因为 OC = CD = DE,所以∠O =
∠ODC,∠DCE = ∠DEC,所以∠DCE = ∠DEC =
∠O+∠ODC=2∠O. 因为∠O+∠OED=3∠O=
∠BDE=75°,所以∠O=25°.
∠ODC,∠DCE = ∠DEC,所以∠DCE = ∠DEC =
∠O+∠ODC=2∠O. 因为∠O+∠OED=3∠O=
∠BDE=75°,所以∠O=25°.
6.如图，在$△ ABC$中，$AB=BC$，$DF ⊥ BC$于点D，交AC于点F.F是AC的中点，求证：$∠ CFD=\frac{1}{2}∠ B$.
答案
6.【证明】如图,连接 BF. 因为
AB=BC,且 F 是 AC 的中点,所以 BF⊥AC,∠ABF=
∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$,
所以∠CFD+∠BFD=90°. 因为 DF⊥BC,所以∠BDF=90°,所以∠CBF+∠BFD=90°,所以∠CFD=∠CBF,所以∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$.
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,$AD=8$,$AD$是$∠ BAC$的平分线.若$P$,$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是
9.6
.答案
7.9.6 【解析】如图,连接 PB,因为 AB=AC,AD 是
∠BAC 的平分线,所以 AD 垂直平分 BC,所以 PB=PC,
所以 PC + PQ = PB + PQ≥BQ,所以当 B,P,Q 三点共线且 BQ⊥AC 时,PB+PQ 的值最小,即 PC+PQ 的值最小,最小值为 BQ 的长.
因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BQ$,所以 BQ=
$\frac{BC·AD}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$,即 PC+PQ 的最小值是 9.6.
