基础知识·预习
问题1 如何判定一个三角形是等腰三角形？并说说你的理由。
问题2 若已知等腰三角形的底边及底边上高的长度，利用直尺和圆规作出这个等腰三角形的一般步骤是什么？说说这个作法正确的理由。

解：
问题1
判定方法一：有两边相等的三角形是等腰三角形。
理由：这是等腰三角形的定义，满足两边相等的三角形直接符合等腰三角形的概念。
判定方法二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该三角形是等腰三角形（简记为“等角对等边”）。
理由：在△ABC中，设∠B=∠C，过点A作AD⊥BC于D。
在△ABD和△ACD中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ ADC=90° \\∠ B=∠ C \\AD=AD\end{cases}$
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
问题2
作图步骤：
1. 作线段BC，使BC的长度等于已知的底边长度；
2. 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
3. 在直线MN上，从点D出发截取线段DA，使DA的长度等于已知的底边上的高的长度；
4. 连接AB、AC，△ABC即为所求作的等腰三角形。
理由：
∵点A在线段BC的垂直平分线MN上，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC，AD的长度等于已知的高的长度，
∴AD是等腰△ABC底边BC上的高，满足题目的所有要求。

【典型例题 1】如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, CD ⊥ AB$ 于点 $D, BF$ 平分 $∠ ABC$ 交 $CD$ 于点 $E$, 交 $AC$ 于点 $F$. 求证: $CE=CF$.

【证明】因为 $∠ ACB=90°, CD ⊥ AB$, 所以 $∠ CBF+∠ CFB=90°, ∠ DBE+∠ DEB=90°$. 因为 $BF$ 平分 $∠ ABC$, 所以 $∠ CBF=∠ DBE$, 所以 $∠ CFB=∠ DEB$. 因为 $∠ FEC=∠ DEB$,
所以 $∠ CFB=∠ FEC$, 所以 $CE=CF$.
规律方法 等腰三角形的判定方法
“等角对等边”是证明两条线段相等的重要方式之一,当所要证明相等的两条线段(或与之相等的相关线段)在同一个三角形中时,即可考虑运用该判定方法进行证明.

证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠CBF + ∠CFB = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠EDB=90°，
∴ ∠DBE + ∠DEB = 90°。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE，
∴ ∠CFB = ∠DEB。
又∵ ∠FEC = ∠DEB，
∴ ∠CFB = ∠FEC，
∴ CE=CF（等角对等边）。

1.(2024·重庆中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ A=36°,BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长度为.

1.2 【解析】因为 $AB=AC,∠A=36°$,所以 $∠ABC=∠C=72°$. 因为 $BD$ 平分 $∠ABC$,所以 $∠CBD=∠ABD=36°$,所以 $∠BDC=72°$,所以 $∠BDC=∠C$,所以 $BD=BC=2$. 因为 $∠A=36°,∠ABD=36°$,所以 $∠A=∠ABD$,所以 $AD=BD=2$.