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1.分式方程$\frac{1}{x-4}=\frac{3}{x+2}$的解是 （
A.$x=0$
B.$x=-5$
C.$x=7$
D.$x=1$
C
）A.$x=0$
B.$x=-5$
C.$x=7$
D.$x=1$
答案
1. C
2.若关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{m}{x-3}$有解，则$m$的取值范围为（
A.$m＜3$
B.$m≥3$
C.$m≠3$
D.$m＞3$
C
）A.$m＜3$
B.$m≥3$
C.$m≠3$
D.$m＞3$
答案
2. C
3. 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x+1}{3}≤ 3, \\4x-2＜3x+a\end{cases}$的解集为$x≤ 4$，且关于$y$的分式方程$\dfrac{a-8}{y+2}-\dfrac{y}{y+2}=1$的解均为负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是 ______ 。
答案
3. 12
4.已知关于$x$的分式方程$\dfrac{x+a}{x-2}-\dfrac{5}{x}=1$无解，求$a$的值.
答案
4. 解:a 的值为 3 或－2.
5.解方程:(1)$\frac{5-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$；
(2)$\frac{1}{x-2}+1=\frac{2x}{2x+1}$。
(2)$\frac{1}{x-2}+1=\frac{2x}{2x+1}$。
答案
5. 解:(1)原分式方程无解.
(2)$x=\frac{1}{3}$.
(2)$x=\frac{1}{3}$.
6.阅读材料,解答下列问题:
当$a≠b$时,一般来说会有$a^2+b≠a+b^2$,然而当$a$和$b$是特殊的分数时,这个等式却是成立的.例如:$(\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+(\frac{2}{3})^2$,$(\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$,$(\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+(\frac{4}{5})^2$,……,$(\frac{1}{100})^2+\frac{99}{100}=\frac{1}{100}+(\frac{99}{100})^2$……
(1)【特例验证】请再写出一个具有上述特征的等式:
(2)【猜想结论】用$n$($n$为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为
(3)【证明推广】①(2)中得到的等式一定成立吗?请说明理由.
②等式$(\frac{m}{n})^2+\frac{n-m}{n}=\frac{m}{n}+(\frac{n-m}{n})^2$($m,n$为任意实数,且$n≠0$)成立吗?若成立,请写出一个这种形式的等式(要求$m,n$中至少有一个为无理数);若不成立,请说明理由.
当$a≠b$时,一般来说会有$a^2+b≠a+b^2$,然而当$a$和$b$是特殊的分数时,这个等式却是成立的.例如:$(\frac{1}{3})^2+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+(\frac{2}{3})^2$,$(\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^2$,$(\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+(\frac{4}{5})^2$,……,$(\frac{1}{100})^2+\frac{99}{100}=\frac{1}{100}+(\frac{99}{100})^2$……
(1)【特例验证】请再写出一个具有上述特征的等式:
$(\frac{1}{6})^2+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^2$(答案不唯一)
.(2)【猜想结论】用$n$($n$为正整数)表示分数的分母,上述等式可表示为
$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2$
.(3)【证明推广】①(2)中得到的等式一定成立吗?请说明理由.
②等式$(\frac{m}{n})^2+\frac{n-m}{n}=\frac{m}{n}+(\frac{n-m}{n})^2$($m,n$为任意实数,且$n≠0$)成立吗?若成立,请写出一个这种形式的等式(要求$m,n$中至少有一个为无理数);若不成立,请说明理由.
答案
6. 解:(1)$(\frac{1}{6})^2+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^2$(答案不唯一)
(2)$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2$
(3)①成立.理由如下：
因为$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)}{n^2}=\frac{n^2-n+1}{n^2}$,
$\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2=\frac{n}{n^2}+\frac{n^2-2n+1}{n^2}=\frac{n^2-n+1}{n^2}$,
所以$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2$.
②成立.
例如:$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{2})^2$.(答案不唯一)
(2)$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2$
(3)①成立.理由如下：
因为$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)}{n^2}=\frac{n^2-n+1}{n^2}$,
$\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2=\frac{n}{n^2}+\frac{n^2-2n+1}{n^2}=\frac{n^2-n+1}{n^2}$,
所以$(\frac{1}{n})^2+\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2$.
②成立.
例如:$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}+(\frac{2-\sqrt{2}}{2})^2$.(答案不唯一)
