登录
任务1：完成下列进位制转换.
(1)十进制数22转换成二进制数为
(2)已知$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，则$89=($
任务2：已知$m$是大于5的正整数，完成下列填空.
(1)若十进制数$k=m^4+3m$，则$k=($
(2)将$(513)_m$转换成十进制数为
任务3：已知$a$，$b$，$c$均是大于1的正整数，且$a+b=c$，将$(11)_a$，$(11)_b$，$(11)_c$转换成十进制数分别记为$x$，$y$，$z$. 试探究$x+y$与$z$之间的数量关系，并说明理由.
(1)十进制数22转换成二进制数为
$(10110)_2$
；(2)已知$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，则$89=($
131
$)_8$.任务2：已知$m$是大于5的正整数，完成下列填空.
(1)若十进制数$k=m^4+3m$，则$k=($
10030
$)_m$；(2)将$(513)_m$转换成十进制数为
$5m^2+m+3$
.（用含$m$的式子表示）任务3：已知$a$，$b$，$c$均是大于1的正整数，且$a+b=c$，将$(11)_a$，$(11)_b$，$(11)_c$转换成十进制数分别记为$x$，$y$，$z$. 试探究$x+y$与$z$之间的数量关系，并说明理由.
答案
1. (1) $(10110)_2$
1. (2) 131
2. (1) 10030
2. (2) $5m^2+m+3$
3. 解：$(11)_a=1×a^1+1×a^0=a+1=x$，
$(11)_b=1×b^1+1×b^0=b+1=y$，
$(11)_c=1×c^1+1×c^0=c+1=z$，
所以$x+y=a+1+b+1=a+b+2$.
因为$a+b=c$，
所以$x+y=c+2=z+1$，
即$x+y=z+1$.
1. (2) 131
2. (1) 10030
2. (2) $5m^2+m+3$
3. 解：$(11)_a=1×a^1+1×a^0=a+1=x$，
$(11)_b=1×b^1+1×b^0=b+1=y$，
$(11)_c=1×c^1+1×c^0=c+1=z$，
所以$x+y=a+1+b+1=a+b+2$.
因为$a+b=c$，
所以$x+y=c+2=z+1$，
即$x+y=z+1$.
解析
【分析】
解决进位制相关问题的核心是掌握位权展开规则：n进制的数，从右往左数第k位（k从0开始计数）的数字对应的位权是$n^k$，将各位数字与对应位权相乘后求和，即可得到对应的十进制数；反过来，若已知十进制数对应某进制的位权展开式，直接按高位到低位取各次幂的系数，就能得到该进制下的数。
任务1(1)十进制转二进制用“除2取余，逆序排列”的方法即可；(2)直接提取八进制各次幂的系数按顺序排列即可。
任务2(1)将k的表达式对应m进制的位权展开，提取各次幂的系数按高位到低位排列得到m进制数；(2)直接对m进制数$(513)_m$做位权展开得到十进制表达式。
任务3先将三个不同进制的$(11)$都转换为十进制代数式，再结合$a+b=c$的条件推导$x+y$与$z$的数量关系即可。
【解析】
任务1
(1) 十进制数22转二进制，用除2取余法：
$22÷2=11$，余0；
$11÷2=5$，余1；
$5÷2=2$，余1；
$2÷2=1$，余0；
$1÷2=0$，余1。
将余数从下到上逆序排列，得到二进制数$10110$，即$(10110)_2$。
(2) 已知$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，八进制数各位对应$8^2、8^1、8^0$的系数，按高位到低位依次取系数1、3、1，得到八进制数$(131)_8$，故填131。
任务2
(1) 把$k=m^4+3m$整理为m进制的位权展开形式：$k=1×m^4+0×m^3+0×m^2+3×m^1+0×m^0$，按高位到低位取各次幂的系数1、0、0、3、0，得到m进制数$(10030)_m$，故填10030。
(2) 将$(513)_m$按位权展开得十进制数：$5×m^2+1×m^1+3×m^0=5m^2+m+3$。
任务3
先将各进制数转换为十进制：
$(11)_a=1×a^1+1×a^0=a+1=x$，
$(11)_b=1×b^1+1×b^0=b+1=y$，
$(11)_c=1×c^1+1×c^0=c+1=z$，
则$x+y=(a+1)+(b+1)=a+b+2$，
已知$a+b=c$，代入得$x+y=c+2$，
又$z=c+1$，因此$x+y=(c+1)+1=z+1$，即$x+y=z+1$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{(10110)_2}$
(2) $\boldsymbol{131}$
2. (1) $\boldsymbol{10030}$
(2) $\boldsymbol{5m^2+m+3}$
3. $\boldsymbol{x+y=z+1}$
【知识点】
1. 进位制转换
2. 位权展开法
3. 代数式运算
【点评】
本题围绕进位制的核心规则分层设计，从基础的进制转换计算到结合代数式的规律探究，既考查了进位制基本概念的掌握情况，也锻炼了逻辑推导和代数式变形的能力，熟练掌握位权展开法是解决这类问题的核心突破口。
【难度系数】
0.7
解决进位制相关问题的核心是掌握位权展开规则：n进制的数，从右往左数第k位（k从0开始计数）的数字对应的位权是$n^k$，将各位数字与对应位权相乘后求和，即可得到对应的十进制数；反过来，若已知十进制数对应某进制的位权展开式，直接按高位到低位取各次幂的系数，就能得到该进制下的数。
任务1(1)十进制转二进制用“除2取余，逆序排列”的方法即可；(2)直接提取八进制各次幂的系数按顺序排列即可。
任务2(1)将k的表达式对应m进制的位权展开，提取各次幂的系数按高位到低位排列得到m进制数；(2)直接对m进制数$(513)_m$做位权展开得到十进制表达式。
任务3先将三个不同进制的$(11)$都转换为十进制代数式，再结合$a+b=c$的条件推导$x+y$与$z$的数量关系即可。
【解析】
任务1
(1) 十进制数22转二进制，用除2取余法：
$22÷2=11$，余0；
$11÷2=5$，余1；
$5÷2=2$，余1；
$2÷2=1$，余0；
$1÷2=0$，余1。
将余数从下到上逆序排列，得到二进制数$10110$，即$(10110)_2$。
(2) 已知$89=1×8^2+3×8^1+1×8^0$，八进制数各位对应$8^2、8^1、8^0$的系数，按高位到低位依次取系数1、3、1，得到八进制数$(131)_8$，故填131。
任务2
(1) 把$k=m^4+3m$整理为m进制的位权展开形式：$k=1×m^4+0×m^3+0×m^2+3×m^1+0×m^0$，按高位到低位取各次幂的系数1、0、0、3、0，得到m进制数$(10030)_m$，故填10030。
(2) 将$(513)_m$按位权展开得十进制数：$5×m^2+1×m^1+3×m^0=5m^2+m+3$。
任务3
先将各进制数转换为十进制：
$(11)_a=1×a^1+1×a^0=a+1=x$，
$(11)_b=1×b^1+1×b^0=b+1=y$，
$(11)_c=1×c^1+1×c^0=c+1=z$，
则$x+y=(a+1)+(b+1)=a+b+2$，
已知$a+b=c$，代入得$x+y=c+2$，
又$z=c+1$，因此$x+y=(c+1)+1=z+1$，即$x+y=z+1$。
【答案】
1. (1) $\boldsymbol{(10110)_2}$
(2) $\boldsymbol{131}$
2. (1) $\boldsymbol{10030}$
(2) $\boldsymbol{5m^2+m+3}$
3. $\boldsymbol{x+y=z+1}$
【知识点】
1. 进位制转换
2. 位权展开法
3. 代数式运算
【点评】
本题围绕进位制的核心规则分层设计，从基础的进制转换计算到结合代数式的规律探究，既考查了进位制基本概念的掌握情况，也锻炼了逻辑推导和代数式变形的能力，熟练掌握位权展开法是解决这类问题的核心突破口。
【难度系数】
0.7
