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8. 某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为A,B,C,D四级,为了增加产量、提高质量,该公司改进了一次生产工艺,使得生产总量增加了一倍。为了解新生产工艺的效果,对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计,绘制了如下扇形统计图：
根据以上信息,下列推断合理的是 ()
A.改进生产工艺后,A级产品的数量没有变化
B.改进生产工艺后,B级产品的数量增加了不到一倍
C.改进生产工艺后,C级产品的数量减少
D.改进生产工艺后,D级产品的数量减少
根据以上信息,下列推断合理的是 ()
A.改进生产工艺后,A级产品的数量没有变化
B.改进生产工艺后,B级产品的数量增加了不到一倍
C.改进生产工艺后,C级产品的数量减少
D.改进生产工艺后,D级产品的数量减少
答案
C
解析
【分析】
解题时可以采用设数法简化计算：先设改进生产工艺前的总产量为100（方便百分数计算），由“总产量增加了一倍”可知改进后总产量为200。再结合扇形统计图给出的各级产品占比，分别算出改进前后A、B、C、D四级产品的实际数量，逐一对比四个选项的推断是否正确即可。
【解析】
设改进生产工艺前的总产量为100件，则改进工艺后总产量为 $100 × 2 = 200$ 件。
1. 计算改进前各级产品数量：
A级：$100 × 30\% = 30$ 件
B级：$100 × 37\% = 37$ 件
C级：$100 × 28\% = 28$ 件
D级：$100 × 5\% = 5$ 件
2. 计算改进后各级产品数量：
A级：$200 × 30\% = 60$ 件，$60＞30$，A级数量增加，A选项错误；
B级：$200 × 60\% = 120$ 件，$(120-37) ÷ 37 \approx 2.24$，即增加了2倍多，超过1倍，B选项错误；
C级：$200 × 6\% = 12$ 件，$12＜28$，C级产品数量减少，C选项正确；
D级：$200 × 4\% = 8$ 件，$8＞5$，D级产品数量增加，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
扇形统计图；百分数的应用
【点评】
本题需要注意不能仅通过占比的大小判断产品数量的变化，要结合改进前后的总产量计算实际数量再比较，避免忽略总量变化导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时可以采用设数法简化计算：先设改进生产工艺前的总产量为100（方便百分数计算），由“总产量增加了一倍”可知改进后总产量为200。再结合扇形统计图给出的各级产品占比，分别算出改进前后A、B、C、D四级产品的实际数量，逐一对比四个选项的推断是否正确即可。
【解析】
设改进生产工艺前的总产量为100件，则改进工艺后总产量为 $100 × 2 = 200$ 件。
1. 计算改进前各级产品数量：
A级：$100 × 30\% = 30$ 件
B级：$100 × 37\% = 37$ 件
C级：$100 × 28\% = 28$ 件
D级：$100 × 5\% = 5$ 件
2. 计算改进后各级产品数量：
A级：$200 × 30\% = 60$ 件，$60＞30$，A级数量增加，A选项错误；
B级：$200 × 60\% = 120$ 件，$(120-37) ÷ 37 \approx 2.24$，即增加了2倍多，超过1倍，B选项错误；
C级：$200 × 6\% = 12$ 件，$12＜28$，C级产品数量减少，C选项正确；
D级：$200 × 4\% = 8$ 件，$8＞5$，D级产品数量增加，D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
扇形统计图；百分数的应用
【点评】
本题需要注意不能仅通过占比的大小判断产品数量的变化，要结合改进前后的总产量计算实际数量再比较，避免忽略总量变化导致判断错误。
【难度系数】
0.7
9. 如图是根据某体育代表团的获得奖牌情况绘制的扇形统计图,共计获得奖牌50枚,图中金牌对应扇形的圆心角的度数是。
答案
$\boldsymbol{144°}$
解析
【分析】
要计算金牌对应扇形的圆心角度数，首先需要明确扇形圆心角的计算规则：扇形圆心角=360°×该部分数量占总体的百分比。我们可以先根据已知的总奖牌数和银牌数量算出银牌的占比，再用整体“1”减去铜牌、银牌的占比得到金牌的占比，最后代入圆心角公式计算即可。
【解析】
第一步：计算银牌占总奖牌的百分比
已知总奖牌共50枚，银牌18枚，因此银牌占比为：$\frac{18}{50} × 100\% = 36\%$
第二步：计算金牌占总奖牌的百分比
铜牌占比为24%，因此金牌占比为：$1 - 24\% - 36\% = 40\%$
第三步：计算金牌对应扇形的圆心角度数
圆心角为：$360° × 40\% = 144°$
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
扇形统计图，百分数计算，扇形圆心角计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题型，核心是掌握扇形统计图中部分占比和对应圆心角的换算关系，计算过程需要注意百分比计算的准确性。
【难度系数】
0.8
要计算金牌对应扇形的圆心角度数，首先需要明确扇形圆心角的计算规则：扇形圆心角=360°×该部分数量占总体的百分比。我们可以先根据已知的总奖牌数和银牌数量算出银牌的占比，再用整体“1”减去铜牌、银牌的占比得到金牌的占比，最后代入圆心角公式计算即可。
【解析】
第一步：计算银牌占总奖牌的百分比
已知总奖牌共50枚，银牌18枚，因此银牌占比为：$\frac{18}{50} × 100\% = 36\%$
第二步：计算金牌占总奖牌的百分比
铜牌占比为24%，因此金牌占比为：$1 - 24\% - 36\% = 40\%$
第三步：计算金牌对应扇形的圆心角度数
圆心角为：$360° × 40\% = 144°$
【答案】
$\boldsymbol{144°}$
【知识点】
扇形统计图，百分数计算，扇形圆心角计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题型，核心是掌握扇形统计图中部分占比和对应圆心角的换算关系，计算过程需要注意百分比计算的准确性。
【难度系数】
0.8
10. 某校组织了足球赛,甲、乙、丙、丁四个班的队伍进入到了决赛。小刚同学在足球场对一部分同学预计“谁能夺得冠军”进行了一次抽样调查,收集的数据整理如下面的统计图表所示。
请根据以上不完整的数据和统计图表,解答下列问题:
(1)这次抽样调查了名同学,a=,m=。
(2)求扇形统计图中丙对应的扇形圆心角的度数。
(3)小刚同学本次抽样调查的结果能否代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法?若能,请估计全校1000名同学中认为“谁能夺得冠军”的人数;若不能,请你说明原因并设计一种能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法的抽样方法。
请根据以上不完整的数据和统计图表,解答下列问题:
(1)这次抽样调查了名同学,a=,m=。
(2)求扇形统计图中丙对应的扇形圆心角的度数。
(3)小刚同学本次抽样调查的结果能否代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法?若能,请估计全校1000名同学中认为“谁能夺得冠军”的人数;若不能,请你说明原因并设计一种能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法的抽样方法。
答案
解：
(1) 抽样调查的总人数为：$24÷48\% = 50$（名）
$a = 50×14\% = 7$
丙对应的百分比为：$\frac{14}{50}×100\% = 28\%$，即$m=28$
所以依次填入：50，7，28。
(2) 丙对应的扇形圆心角的度数为：
$360°×28\% = 100.8°$
(3) 不能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法。
原因：小刚在足球场开展调查，抽取的样本大多是足球爱好者，样本不具有代表性和广泛性，无法反映全校全体同学的观点。
抽样方法：可以按照全校各班级的人数比例，从每个班中随机抽取一定数量的同学进行调查，保证样本覆盖不同年级、不同群体的学生，使样本具备代表性与广泛性。
(1) 抽样调查的总人数为：$24÷48\% = 50$（名）
$a = 50×14\% = 7$
丙对应的百分比为：$\frac{14}{50}×100\% = 28\%$，即$m=28$
所以依次填入：50，7，28。
(2) 丙对应的扇形圆心角的度数为：
$360°×28\% = 100.8°$
(3) 不能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法。
原因：小刚在足球场开展调查，抽取的样本大多是足球爱好者，样本不具有代表性和广泛性，无法反映全校全体同学的观点。
抽样方法：可以按照全校各班级的人数比例，从每个班中随机抽取一定数量的同学进行调查，保证样本覆盖不同年级、不同群体的学生，使样本具备代表性与广泛性。
解析
【分析】
(1) 求解总人数时，结合统计图表找到支持乙班夺冠的人数为24人，对应扇形占比为48%，根据“总人数=对应数量÷对应占比”即可计算；求a时，a是支持丁班的人数，已知丁班占比14%，用总人数乘丁班占比即可得到结果；求m时，先找到支持丙班的人数为14人，用丙班人数除以总人数再乘100%就能得到丙班对应的百分比m。
(2) 扇形统计图中某部分对应圆心角度数的计算方法为：$360°×该部分所占百分比$，代入丙班的占比即可求解。
(3) 判断抽样结果是否能代表全体，核心是看样本是否具有代表性、广泛性和随机性，本次调查地点为足球场，调查对象多为足球爱好者，无法覆盖全体学生群体，因此不具备代表性；设计抽样方法时只要保证样本随机覆盖不同类型的学生即可。
【解析】
(1) 已知支持乙班的人数为24人，占总人数的48%，因此抽样调查的总人数为：
$24÷48\% = 50$（名）
支持丁班的人数a为：
$a = 50×14\% = 7$
支持丙班的人数为14人，因此丙班对应的百分比为：
$\frac{14}{50}×100\% = 28\%$，即$m=28$。
(2) 丙对应的扇形圆心角的度数为：
$360°×28\% = 100.8°$
(3) 不能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法。
原因：小刚在足球场开展调查，抽取的样本大多是足球爱好者，样本不具有代表性和广泛性，无法反映全校全体同学的观点。
抽样方法：可以按照全校各班级的人数比例，从每个班中随机抽取一定数量的同学进行调查，保证样本覆盖不同年级、不同群体的学生，使样本具备代表性与广泛性。
【答案】
(1) 50，7，28
(2) $100.8°$
(3) 不能，原因：抽样样本多为足球爱好者，不具有代表性和广泛性；抽样方法可按各班人数比例随机抽取学生调查（合理即可）。
【知识点】
统计图表综合应用，扇形圆心角计算，抽样调查的可靠性
【点评】
本题结合校园赛事的生活场景出题，既考查了统计图表的基础计算能力，也考查了对抽样调查合理性的判断和实践应用能力，贴合生活实际，能有效检验对统计核心概念的掌握情况。
【难度系数】
0.75
(1) 求解总人数时，结合统计图表找到支持乙班夺冠的人数为24人，对应扇形占比为48%，根据“总人数=对应数量÷对应占比”即可计算；求a时，a是支持丁班的人数，已知丁班占比14%，用总人数乘丁班占比即可得到结果；求m时，先找到支持丙班的人数为14人，用丙班人数除以总人数再乘100%就能得到丙班对应的百分比m。
(2) 扇形统计图中某部分对应圆心角度数的计算方法为：$360°×该部分所占百分比$，代入丙班的占比即可求解。
(3) 判断抽样结果是否能代表全体，核心是看样本是否具有代表性、广泛性和随机性，本次调查地点为足球场，调查对象多为足球爱好者，无法覆盖全体学生群体，因此不具备代表性；设计抽样方法时只要保证样本随机覆盖不同类型的学生即可。
【解析】
(1) 已知支持乙班的人数为24人，占总人数的48%，因此抽样调查的总人数为：
$24÷48\% = 50$（名）
支持丁班的人数a为：
$a = 50×14\% = 7$
支持丙班的人数为14人，因此丙班对应的百分比为：
$\frac{14}{50}×100\% = 28\%$，即$m=28$。
(2) 丙对应的扇形圆心角的度数为：
$360°×28\% = 100.8°$
(3) 不能代表全校同学对“谁能夺得冠军”的看法。
原因：小刚在足球场开展调查，抽取的样本大多是足球爱好者，样本不具有代表性和广泛性，无法反映全校全体同学的观点。
抽样方法：可以按照全校各班级的人数比例，从每个班中随机抽取一定数量的同学进行调查，保证样本覆盖不同年级、不同群体的学生，使样本具备代表性与广泛性。
【答案】
(1) 50，7，28
(2) $100.8°$
(3) 不能，原因：抽样样本多为足球爱好者，不具有代表性和广泛性；抽样方法可按各班人数比例随机抽取学生调查（合理即可）。
【知识点】
统计图表综合应用，扇形圆心角计算，抽样调查的可靠性
【点评】
本题结合校园赛事的生活场景出题，既考查了统计图表的基础计算能力，也考查了对抽样调查合理性的判断和实践应用能力，贴合生活实际，能有效检验对统计核心概念的掌握情况。
【难度系数】
0.75
