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3. 计算:
(1) $\frac{3a}{4y} · \frac{2y^2}{3a^2}$;
(2) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$.
(1) $\frac{3a}{4y} · \frac{2y^2}{3a^2}$;
(2) $\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a^2+2a}$.
答案
解：
(1) 原式$=\frac{3a · 2y^2}{4y · 3a^2}$
$=\frac{6ay^2}{12a^2y}$
$=\frac{y}{2a}$
(2) 原式$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{a+2}{a(a-2)(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
(1) 原式$=\frac{3a · 2y^2}{4y · 3a^2}$
$=\frac{6ay^2}{12a^2y}$
$=\frac{y}{2a}$
(2) 原式$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{a+2}{a(a-2)(a+2)}$
$=\frac{1}{a(a-2)}$
$=\frac{1}{a^2-2a}$
解析
【分析】
这两道题均为分式乘法运算，解题需遵循分式乘法的运算逻辑：首先按照“分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母”的法则列式，其次若分式中存在可因式分解的多项式，先因式分解再寻找分子分母的公因式约分，最终将结果化为最简分式。第(1)题两个因式都是单项式分式，直接按法则计算后约分即可；第(2)题第二个分式的分母是多项式，先提取公因式因式分解，再约分能简化计算过程。
【解析】
(1) 按照分式乘法法则，分子、分母分别相乘：
原式$=\frac{3a · 2y^2}{4y · 3a^2}$
$=\frac{6ay^2}{12a^2y}$
约去分子分母的公因式$6ay$，得：
$\frac{y}{2a}$
(2) 先对第二个分式的分母提公因式因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$，再按分式乘法法则计算：
原式$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{a+2}{a(a-2)(a+2)}$
约去分子分母的公因式$a+2$（$a+2≠0$），得：
$\frac{1}{a(a-2)}$
展开分母后为：
$\frac{1}{a^2-2a}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{y}{2a}}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{a^2-2a}}$
【知识点】
分式的乘法法则；提公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，重点考查分式乘法的常规运算步骤，运算时先因式分解再约分可有效降低计算出错概率，需注意约分要找全公因式，最终结果必须为最简分式。
【难度系数】
0.8
这两道题均为分式乘法运算，解题需遵循分式乘法的运算逻辑：首先按照“分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母”的法则列式，其次若分式中存在可因式分解的多项式，先因式分解再寻找分子分母的公因式约分，最终将结果化为最简分式。第(1)题两个因式都是单项式分式，直接按法则计算后约分即可；第(2)题第二个分式的分母是多项式，先提取公因式因式分解，再约分能简化计算过程。
【解析】
(1) 按照分式乘法法则，分子、分母分别相乘：
原式$=\frac{3a · 2y^2}{4y · 3a^2}$
$=\frac{6ay^2}{12a^2y}$
约去分子分母的公因式$6ay$，得：
$\frac{y}{2a}$
(2) 先对第二个分式的分母提公因式因式分解：$a^2+2a=a(a+2)$，再按分式乘法法则计算：
原式$=\frac{a+2}{a-2} · \frac{1}{a(a+2)}$
$=\frac{a+2}{a(a-2)(a+2)}$
约去分子分母的公因式$a+2$（$a+2≠0$），得：
$\frac{1}{a(a-2)}$
展开分母后为：
$\frac{1}{a^2-2a}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{y}{2a}}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{a^2-2a}}$
【知识点】
分式的乘法法则；提公因式法因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础运算题，重点考查分式乘法的常规运算步骤，运算时先因式分解再约分可有效降低计算出错概率，需注意约分要找全公因式，最终结果必须为最简分式。
【难度系数】
0.8
4.化简$\frac{1-x}{x} ÷ \frac{x-1}{x^2}$，结果是（）。
A.$-x$
B.$x$
C.$x^2$
D.$-x^2$
A.$-x$
B.$x$
C.$x^2$
D.$-x^2$
答案
A
解析
【分析】
解决分式除法化简题，首先回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，第一步先把除法运算转化为乘法运算；接下来观察分子、分母的因式，发现1-x和x-1互为相反数，可将1-x变形为-(x-1)，再找出分子分母的公因式进行约分，约分时注意不要忽略符号，最终就能得到化简结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，因此：
$\begin{aligned}\frac{1-x}{x} ÷ \frac{x-1}{x^2}&=\frac{1-x}{x} × \frac{x^2}{x-1}\\&=\frac{-(x-1)}{x} × \frac{x^2}{x-1}\\&=-x \quad (x≠0且x≠1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式除法法则，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式乘除的运算规则，解题的关键是正确将除法转化为乘法，同时注意互为相反数的因式的符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
解决分式除法化简题，首先回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，第一步先把除法运算转化为乘法运算；接下来观察分子、分母的因式，发现1-x和x-1互为相反数，可将1-x变形为-(x-1)，再找出分子分母的公因式进行约分，约分时注意不要忽略符号，最终就能得到化简结果。
【解析】
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，因此：
$\begin{aligned}\frac{1-x}{x} ÷ \frac{x-1}{x^2}&=\frac{1-x}{x} × \frac{x^2}{x-1}\\&=\frac{-(x-1)}{x} × \frac{x^2}{x-1}\\&=-x \quad (x≠0且x≠1)\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
分式除法法则，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式乘除的运算规则，解题的关键是正确将除法转化为乘法，同时注意互为相反数的因式的符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
5. 计算：
(1) $3xy^2 ÷ \dfrac{6y^2}{x}$；
(2)
(1) $3xy^2 ÷ \dfrac{6y^2}{x}$；
(2)
答案
解：
(1) 原式$=3xy^2 · \frac{x}{6y^2}$
$=\frac{3xy^2 · x}{6y^2}$
$=\frac{x^2}{2}$
(2) 原式$=\frac{x-1}{(x+2)^2} ÷ \frac{1-x}{x+2}$
$=\frac{x-1}{(x+2)^2} · \frac{x+2}{1-x}$
$=\frac{x-1}{(x+2)^2} · \frac{x+2}{-(x-1)}$
$=-\frac{1}{x+2}$
(1) 原式$=3xy^2 · \frac{x}{6y^2}$
$=\frac{3xy^2 · x}{6y^2}$
$=\frac{x^2}{2}$
(2) 原式$=\frac{x-1}{(x+2)^2} ÷ \frac{1-x}{x+2}$
$=\frac{x-1}{(x+2)^2} · \frac{x+2}{1-x}$
$=\frac{x-1}{(x+2)^2} · \frac{x+2}{-(x-1)}$
$=-\frac{1}{x+2}$
解析
【分析】
做分式乘除运算时，首先遵循“遇除化乘”的原则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式即可。
对于(1)题：先将分式除法转化为乘法，再对系数和相同字母分别约分即可得到结果；
对于(2)题：先利用完全平方公式对第一个分式的分母因式分解，再将除法转化为乘法，注意到(1-x)与(x-1)互为相反数，可变形为-(x-1)，之后约去公因式，化简即可。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数：
原式$=3xy^2 · \dfrac{x}{6y^2}$
整理分子的乘积：
$=\dfrac{3xy^2 · x}{6y^2}$
约去分子分母的公因式$3y^2$：
$=\dfrac{x^2}{2}$
(2) 先用完全平方公式因式分解$x^2+4x+4=(x+2)^2$：
原式$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} ÷ \dfrac{1-x}{x+2}$
将除法转化为乘法：
$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} · \dfrac{x+2}{1-x}$
将$1-x$变形为$-(x-1)$便于约分：
$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} · \dfrac{x+2}{-(x-1)}$
约去公因式$(x-1)$和$(x+2)$后化简：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{2}$；(2) $-\dfrac{1}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，需要注意互为相反数的因式变形时不要遗漏负号，计算时要细心处理符号和公因式的约分。
【难度系数】
0.7
做分式乘除运算时，首先遵循“遇除化乘”的原则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子、分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式即可。
对于(1)题：先将分式除法转化为乘法，再对系数和相同字母分别约分即可得到结果；
对于(2)题：先利用完全平方公式对第一个分式的分母因式分解，再将除法转化为乘法，注意到(1-x)与(x-1)互为相反数，可变形为-(x-1)，之后约去公因式，化简即可。
【解析】
(1) 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数：
原式$=3xy^2 · \dfrac{x}{6y^2}$
整理分子的乘积：
$=\dfrac{3xy^2 · x}{6y^2}$
约去分子分母的公因式$3y^2$：
$=\dfrac{x^2}{2}$
(2) 先用完全平方公式因式分解$x^2+4x+4=(x+2)^2$：
原式$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} ÷ \dfrac{1-x}{x+2}$
将除法转化为乘法：
$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} · \dfrac{x+2}{1-x}$
将$1-x$变形为$-(x-1)$便于约分：
$=\dfrac{x-1}{(x+2)^2} · \dfrac{x+2}{-(x-1)}$
约去公因式$(x-1)$和$(x+2)$后化简：
$=-\dfrac{1}{x+2}$
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{2}$；(2) $-\dfrac{1}{x+2}$
【知识点】
分式的乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，需要注意互为相反数的因式变形时不要遗漏负号，计算时要细心处理符号和公因式的约分。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)\ \mathrm{m}$，乙工程队每天修$(a-2)^2\ \mathrm{m}$，其中$a＞2$，则甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
答案
解：甲工程队修900 m所用时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
答：甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路如下：第一步，根据公式分别求出甲修900m、乙修600m的工作时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的几倍，只需用甲的时间除以乙的时间；第三步，计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对分子分母的多项式因式分解，最后约分得到最简结果即可，题目给出a＞2，所有分母均不为0，无需考虑分式无意义的情况。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
甲工程队修900 m所用时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
【答案】
甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
【知识点】
1.分式乘除运算 2.因式分解 3.工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式运算，解题关键是先准确表示两个工程队的工作时间，再按照分式除法法则计算，计算时先对多项式因式分解再约分，可简化计算、减少错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题思路如下：第一步，根据公式分别求出甲修900m、乙修600m的工作时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的几倍，只需用甲的时间除以乙的时间；第三步，计算分式除法时，先将除法转化为乘法，再对分子分母的多项式因式分解，最后约分得到最简结果即可，题目给出a＞2，所有分母均不为0，无需考虑分式无意义的情况。
【解析】
根据工作时间=工作总量÷工作效率：
甲工程队修900 m所用时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
所求倍数为：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2} &= \frac{900}{(a+2)(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{600} \\&= \frac{3(a-2)}{2(a+2)} \\&= \frac{3a-6}{2a+4}\end{aligned}$
【答案】
甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
【知识点】
1.分式乘除运算 2.因式分解 3.工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式运算，解题关键是先准确表示两个工程队的工作时间，再按照分式除法法则计算，计算时先对多项式因式分解再约分，可简化计算、减少错误。
【难度系数】
0.7
7.若$x$为正整数,则计算$\frac{x^2 -1}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}$的结果是().
A.正整数
B.负整数
C.非负整数
D.非正整数
A.正整数
B.负整数
C.非负整数
D.非正整数
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆分式乘法的运算规则：分式相乘，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要先约分简化计算。首先对第一个分式的分子$x^2-1$用平方差公式因式分解，再找出两个分式分子分母的公因式约分，得到最简结果后，结合$x$是正整数的条件判断结果的类型即可。
【解析】
解：先对原式因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}\frac{x^2 -1}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}&=\frac{(x+1)(x-1)}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}\\&=x-1\end{aligned}$
已知$x$是正整数，因此$x≥1$：
当$x=1$时，$x-1=0$；
当$x＞1$时，$x-1$为正整数；
因此计算结果为0或正整数，属于非负整数。
【答案】
C
【知识点】
分式乘法法则，平方差公式，有理数分类
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，解题的核心是先因式分解再约分，避免直接展开计算增加运算量，同时要注意结合$x$的取值范围全面判断结果的类型，不要遗漏$x=1$时结果为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆分式乘法的运算规则：分式相乘，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，能约分的要先约分简化计算。首先对第一个分式的分子$x^2-1$用平方差公式因式分解，再找出两个分式分子分母的公因式约分，得到最简结果后，结合$x$是正整数的条件判断结果的类型即可。
【解析】
解：先对原式因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}\frac{x^2 -1}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}&=\frac{(x+1)(x-1)}{x+4} · \frac{x+4}{x+1}\\&=x-1\end{aligned}$
已知$x$是正整数，因此$x≥1$：
当$x=1$时，$x-1=0$；
当$x＞1$时，$x-1$为正整数；
因此计算结果为0或正整数，属于非负整数。
【答案】
C
【知识点】
分式乘法法则，平方差公式，有理数分类
【点评】
本题是分式乘法的基础题型，解题的核心是先因式分解再约分，避免直接展开计算增加运算量，同时要注意结合$x$的取值范围全面判断结果的类型，不要遗漏$x=1$时结果为0的特殊情况。
【难度系数】
0.7
8. 如图是小淇化简分式 $\frac{x^2 -4}{x^2 -4x +4} · \frac{2x -x^2}{x^2 +4x +4}$ 的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的卡片(图右侧)序号为().
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{\_\_\_\_\_\_} · \frac{x(2-x)}{(x+2)^2}$
$=\frac{x+2}{x-2} · \frac{x(2-x)}{(x+2)^2}$
$=\frac{1}{x-2} · \frac{-x}{x+2} \_\_\_\_\_\_$
$=-\frac{x}{\_\_\_\_\_\_}.$
右侧卡片：
① $x+2$
② $(x-2)$
③ $(x-2)^2$
④ $(x+2)^2$
选项：
A.④①②
B.③①②
C.③②①
D.④②①
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{\_\_\_\_\_\_} · \frac{x(2-x)}{(x+2)^2}$
$=\frac{x+2}{x-2} · \frac{x(2-x)}{(x+2)^2}$
$=\frac{1}{x-2} · \frac{-x}{x+2} \_\_\_\_\_\_$
$=-\frac{x}{\_\_\_\_\_\_}.$
右侧卡片：
① $x+2$
② $(x-2)$
③ $(x-2)^2$
④ $(x+2)^2$
选项：
A.④①②
B.③①②
C.③②①
D.④②①
答案
C
解析
【分析】
解决这道题需按照分式乘法化简的常规思路推进：首先对分子、分母中的多项式因式分解，再逐步约去分子分母的公因式，最终得到最简分式，我们按化简顺序逐个确定横线处的内容即可。
【解析】
我们按化简步骤逐一推导横线处的表达式：
1. 第一个横线对应第一个分式的分母$x^2-4x+4$，由完全平方公式因式分解得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，对应卡片③；
2. 第二个横线推导：将第二步式子中$2-x$变形为$-(x-2)$，即第二个分式的分子变为$-x(x-2)$，再约掉分子分母的公因式$x+2$，此时式子变为$\frac{1}{x-2} · \frac{-x·(x-2)}{x+2}$，因此第二个横线是$(x-2)$，对应卡片②；
3. 第三个横线推导：对第三步的式子约分，约掉分子分母的公因式$x-2$，计算得$\frac{1}{x-2} · \frac{-x(x-2)}{x+2}=-\frac{x}{x+2}$，因此第三个横线是$x+2$，对应卡片①。
综上，横线上依次填入的卡片序号为③②①，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式化简的基本步骤，解题的关键是正确对多项式因式分解，约分过程中要注意符号处理，如$2-x=-(x-2)$，不要遗漏负号导致出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题需按照分式乘法化简的常规思路推进：首先对分子、分母中的多项式因式分解，再逐步约去分子分母的公因式，最终得到最简分式，我们按化简顺序逐个确定横线处的内容即可。
【解析】
我们按化简步骤逐一推导横线处的表达式：
1. 第一个横线对应第一个分式的分母$x^2-4x+4$，由完全平方公式因式分解得$x^2-4x+4=(x-2)^2$，对应卡片③；
2. 第二个横线推导：将第二步式子中$2-x$变形为$-(x-2)$，即第二个分式的分子变为$-x(x-2)$，再约掉分子分母的公因式$x+2$，此时式子变为$\frac{1}{x-2} · \frac{-x·(x-2)}{x+2}$，因此第二个横线是$(x-2)$，对应卡片②；
3. 第三个横线推导：对第三步的式子约分，约掉分子分母的公因式$x-2$，计算得$\frac{1}{x-2} · \frac{-x(x-2)}{x+2}=-\frac{x}{x+2}$，因此第三个横线是$x+2$，对应卡片①。
综上，横线上依次填入的卡片序号为③②①，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘法、因式分解、分式约分
【点评】
本题重点考查分式化简的基本步骤，解题的关键是正确对多项式因式分解，约分过程中要注意符号处理，如$2-x=-(x-2)$，不要遗漏负号导致出错。
【难度系数】
0.7
