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9.若$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2}$计算的结果为整式，则“”中的式子可能是().
A.$y-x$
B.$y+x$
C.$2x$
D.$\frac{1}{x}$
A.$y-x$
B.$y+x$
C.$2x$
D.$\frac{1}{x}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次对多项式$y^2 - x^2$用平方差公式因式分解，再对原式进行约分简化；最后根据“计算结果为整式”的要求（即化简后分母不含字母），逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 先处理分式除法，转化为乘法，同时因式分解$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{y^2 - x^2}{x} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
2. 约分化简：分子分母的公因式$x+y$约去，可得：
$\mathrm{化简结果} = \frac{□ × (y-x)}{x}$
3. 若结果为整式，则分母的$x$需要被约去，即$□$中的式子应含有因式$x$：
选项A：代入$□=y-x$，得$\frac{(y-x)^2}{x}$，分母含$x$，不是整式，排除；
选项B：代入$□=y+x$，得$\frac{(y+x)(y-x)}{x}=\frac{y^2 - x^2}{x}$，分母含$x$，不是整式，排除；
选项C：代入$□=2x$，得$\frac{2x × (y-x)}{x}=2(y-x)$，$x$约去后结果为整式，符合要求；
选项D：代入$□=\frac{1}{x}$，得$\frac{\frac{1}{x} × (y-x)}{x}=\frac{y-x}{x^2}$，分母含$x^2$，不是整式，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算；平方差公式；整式的定义
【点评】
本题将分式运算和整式的概念结合考查，解题的核心是先正确利用分式除法法则化简原式，再结合整式的要求筛选符合条件的选项，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先回忆分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；其次对多项式$y^2 - x^2$用平方差公式因式分解，再对原式进行约分简化；最后根据“计算结果为整式”的要求（即化简后分母不含字母），逐一验证选项即可得到答案。
【解析】
先对原式进行化简：
1. 先处理分式除法，转化为乘法，同时因式分解$y^2 - x^2=(y-x)(y+x)$：
$\frac{□}{x+y} ÷ \frac{x}{y^2 - x^2} = \frac{□}{x+y} × \frac{y^2 - x^2}{x} = \frac{□}{x+y} × \frac{(y-x)(y+x)}{x}$
2. 约分化简：分子分母的公因式$x+y$约去，可得：
$\mathrm{化简结果} = \frac{□ × (y-x)}{x}$
3. 若结果为整式，则分母的$x$需要被约去，即$□$中的式子应含有因式$x$：
选项A：代入$□=y-x$，得$\frac{(y-x)^2}{x}$，分母含$x$，不是整式，排除；
选项B：代入$□=y+x$，得$\frac{(y+x)(y-x)}{x}=\frac{y^2 - x^2}{x}$，分母含$x$，不是整式，排除；
选项C：代入$□=2x$，得$\frac{2x × (y-x)}{x}=2(y-x)$，$x$约去后结果为整式，符合要求；
选项D：代入$□=\frac{1}{x}$，得$\frac{\frac{1}{x} × (y-x)}{x}=\frac{y-x}{x^2}$，分母含$x^2$，不是整式，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算；平方差公式；整式的定义
【点评】
本题将分式运算和整式的概念结合考查，解题的核心是先正确利用分式除法法则化简原式，再结合整式的要求筛选符合条件的选项，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 计算:
(1) $\frac{-a^2b}{2c} · (-\frac{4cd}{5ab^2})$；
(2) $\frac{xy^3}{2z^3} ÷ \frac{3x^2y^2}{-4z^2}$；
(3) $\frac{x^2 -4x +4}{x^2 +2x +1} · \frac{x+1}{x^2 -4}$；
(4) $\frac{x^2 -4x}{x} ÷ (x^2 -16)$。
(1) $\frac{-a^2b}{2c} · (-\frac{4cd}{5ab^2})$；
(2) $\frac{xy^3}{2z^3} ÷ \frac{3x^2y^2}{-4z^2}$；
(3) $\frac{x^2 -4x +4}{x^2 +2x +1} · \frac{x+1}{x^2 -4}$；
(4) $\frac{x^2 -4x}{x} ÷ (x^2 -16)$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{a^2b}{2c} · \frac{4cd}{5ab^2}$
$=\frac{a^2b · 4cd}{2c · 5ab^2}$
$=\frac{2ad}{5b}$
(2) 原式$=\frac{xy^3}{2z^3} · \frac{-4z^2}{3x^2y^2}$
$=-\frac{xy^3 · 4z^2}{2z^3 · 3x^2y^2}$
$=-\frac{2y}{3xz}$
(3) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2} · \frac{x+1}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{(x-2)^2 · (x+1)}{(x+1)^2 · (x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}$
$=\frac{x-2}{x^2+3x+2}$
(4) 原式$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{x^2-16}$
$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{1}{x+4}$
(1) 原式$=\frac{a^2b}{2c} · \frac{4cd}{5ab^2}$
$=\frac{a^2b · 4cd}{2c · 5ab^2}$
$=\frac{2ad}{5b}$
(2) 原式$=\frac{xy^3}{2z^3} · \frac{-4z^2}{3x^2y^2}$
$=-\frac{xy^3 · 4z^2}{2z^3 · 3x^2y^2}$
$=-\frac{2y}{3xz}$
(3) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2} · \frac{x+1}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{(x-2)^2 · (x+1)}{(x+1)^2 · (x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}$
$=\frac{x-2}{x^2+3x+2}$
(4) 原式$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{x^2-16}$
$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{1}{x+4}$
解析
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题可按以下步骤思考：
1. 处理符号：根据负号的数量判断结果符号，同号得正、异号得负；
2. 统一运算：除法运算先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；
3. 分解因式：若分子、分母是多项式，先利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分解因式；
4. 约分化简：找出分子分母的公因式约去，最终结果化为最简分式。
其中(1)(2)是单项式分式的乘除，直接按上述步骤计算即可；(3)(4)含多项式，需先分解因式再约分。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2b}{2c} · \frac{4cd}{5ab^2}$
$=\frac{a^2b · 4cd}{2c · 5ab^2}$
$=\frac{2ad}{5b}$
(2) 原式$=\frac{xy^3}{2z^3} · \frac{-4z^2}{3x^2y^2}$
$=-\frac{xy^3 · 4z^2}{2z^3 · 3x^2y^2}$
$=-\frac{2y}{3xz}$
(3) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2} · \frac{x+1}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{(x-2)^2 · (x+1)}{(x+1)^2 · (x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}$
$=\frac{x-2}{x^2+3x+2}$
(4) 原式$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{x^2-16}$
$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{1}{x+4}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{2ad}{5b}}$；(2) $\boxed{-\frac{2y}{3xz}}$；(3) $\boxed{\frac{x-2}{x^2+3x+2}}$（或$\boxed{\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}}$）；(4) $\boxed{\frac{1}{x+4}}$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的常规基础题，解题关键是牢记运算规则，除法转乘法时注意颠倒除式的分子分母，含多项式的运算要先分解因式再约分，计算时需留心符号判断，避免因符号错误、因式分解错误或约分不彻底丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的乘除运算，解题可按以下步骤思考：
1. 处理符号：根据负号的数量判断结果符号，同号得正、异号得负；
2. 统一运算：除法运算先转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；
3. 分解因式：若分子、分母是多项式，先利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分解因式；
4. 约分化简：找出分子分母的公因式约去，最终结果化为最简分式。
其中(1)(2)是单项式分式的乘除，直接按上述步骤计算即可；(3)(4)含多项式，需先分解因式再约分。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2b}{2c} · \frac{4cd}{5ab^2}$
$=\frac{a^2b · 4cd}{2c · 5ab^2}$
$=\frac{2ad}{5b}$
(2) 原式$=\frac{xy^3}{2z^3} · \frac{-4z^2}{3x^2y^2}$
$=-\frac{xy^3 · 4z^2}{2z^3 · 3x^2y^2}$
$=-\frac{2y}{3xz}$
(3) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)^2} · \frac{x+1}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{(x-2)^2 · (x+1)}{(x+1)^2 · (x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}$
$=\frac{x-2}{x^2+3x+2}$
(4) 原式$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{x^2-16}$
$=\frac{x(x-4)}{x} · \frac{1}{(x+4)(x-4)}$
$=\frac{1}{x+4}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{2ad}{5b}}$；(2) $\boxed{-\frac{2y}{3xz}}$；(3) $\boxed{\frac{x-2}{x^2+3x+2}}$（或$\boxed{\frac{x-2}{(x+1)(x+2)}}$）；(4) $\boxed{\frac{1}{x+4}}$
【知识点】
分式乘除法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除的常规基础题，解题关键是牢记运算规则，除法转乘法时注意颠倒除式的分子分母，含多项式的运算要先分解因式再约分，计算时需留心符号判断，避免因符号错误、因式分解错误或约分不彻底丢分。
【难度系数】
0.8
11. 已知$A=\dfrac{x+1}{x-1}, B=\dfrac{x-1}{x^2-2x+1}, C=\dfrac{x-2}{2x-4}$. 先在A,B,C中任选2个分式用“÷”连接并进行化简,再从0,1,2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
答案
解：选择$A÷ B$进行化简：
$\begin{aligned}A÷ B&=\frac{x+1}{x-1}÷\frac{x-1}{x^2-2x+1}\\&=\frac{x+1}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x-1}\\&=x+1\end{aligned}$
要使原分式有意义，需满足$x-1≠0$，$2x-4≠0$，即$x≠1$且$x≠2$，
因此只能选取$x=0$代入，
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
$\begin{aligned}A÷ B&=\frac{x+1}{x-1}÷\frac{x-1}{x^2-2x+1}\\&=\frac{x+1}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x-1}\\&=x+1\end{aligned}$
要使原分式有意义，需满足$x-1≠0$，$2x-4≠0$，即$x≠1$且$x≠2$，
因此只能选取$x=0$代入，
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：第一步，先从A、B、C中任选两个分式构造除法运算，这里以选择$A÷B$为例；第二步，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步，对分式的分子、分母进行因式分解，再约分得到最简结果；第四步，先确定分式有意义的条件：所有分式的分母不为0，且作为除数的分式不为0，排除不符合条件的x值，再从给定的数中选合适的x代入最简式求值。
【解析】
选择$A÷ B$进行化简：
$\begin{aligned}A÷ B&=\frac{x+1}{x-1}÷\frac{x-1}{x^2-2x+1}\\&=\frac{x+1}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x-1}\\&=x+1\end{aligned}$
要使原分式有意义，需满足所有分母不为0、除数不为0：
即$x-1≠0$，$2x-4≠0$，综合得$x≠1$且$x≠2$，
因此只能选取$x=0$代入，
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，约分
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题时要注意先确定自变量的取值范围，排除使分母或除式为0的数值后再代入计算，避免出现无意义的错误。
【难度系数】
0.7
解题可按以下步骤思考：第一步，先从A、B、C中任选两个分式构造除法运算，这里以选择$A÷B$为例；第二步，根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第三步，对分式的分子、分母进行因式分解，再约分得到最简结果；第四步，先确定分式有意义的条件：所有分式的分母不为0，且作为除数的分式不为0，排除不符合条件的x值，再从给定的数中选合适的x代入最简式求值。
【解析】
选择$A÷ B$进行化简：
$\begin{aligned}A÷ B&=\frac{x+1}{x-1}÷\frac{x-1}{x^2-2x+1}\\&=\frac{x+1}{x-1}·\frac{(x-1)^2}{x-1}\\&=x+1\end{aligned}$
要使原分式有意义，需满足所有分母不为0、除数不为0：
即$x-1≠0$，$2x-4≠0$，综合得$x≠1$且$x≠2$，
因此只能选取$x=0$代入，
当$x=0$时，原式$=0+1=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，约分
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题时要注意先确定自变量的取值范围，排除使分母或除式为0的数值后再代入计算，避免出现无意义的错误。
【难度系数】
0.7
12. (运算能力)(1)计算$(a-b)(a^2+ab+b^2)$；(2)利用所学知识以及(1)所得等式，化简
答案
解：
(1) 原式$=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(2) 由(1)可得$m^3 - n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，
根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{m^3 - n^3}{m^2 + mn + n^2} · \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2}$
对各多项式因式分解：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m^2 + mn + n^2} · \frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约分后得：
$=m+n$
(1) 原式$=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
$=a^3 - b^3$
(2) 由(1)可得$m^3 - n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，
根据分式除法法则，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{m^3 - n^3}{m^2 + mn + n^2} · \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2}$
对各多项式因式分解：
$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m^2 + mn + n^2} · \frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约分后得：
$=m+n$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问为多项式乘多项式运算，按照“用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则展开，合并同类项即可得到结果；
(2) 第二问为分式化简，首先利用(1)得出的立方差公式对$m^3-n^3$因式分解，再根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，随后用完全平方公式分解$m^2+2mn+n^2$，用平方差公式分解$m^2-n^2$，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
原式$=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
合并同类项得：$=a^3 - b^3$
(2) 由(1)的结论可得$m^3 - n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，因此：
原式$=\frac{m^3 - n^3}{m^2 + mn + n^2} · \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2}$
对各多项式因式分解：
由完全平方公式得$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，由平方差公式得$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入上式：
原式$=\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m^2 + mn + n^2} · \frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约去分子分母的公因式$m^2+mn+n^2$、$m-n$、$m+n$，最终结果为$m+n$。
【答案】
(1) $a^3 - b^3$；(2) $m+n$
【知识点】
多项式乘多项式，分式乘除运算，公式法因式分解
【点评】
本题侧重考查基础运算法则和公式的应用，先通过多项式乘法推导立方差公式，再结合分式乘除规则、因式分解常用公式进行化简，难度不大，熟练掌握相关公式和运算顺序即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问为多项式乘多项式运算，按照“用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”的法则展开，合并同类项即可得到结果；
(2) 第二问为分式化简，首先利用(1)得出的立方差公式对$m^3-n^3$因式分解，再根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，随后用完全平方公式分解$m^2+2mn+n^2$，用平方差公式分解$m^2-n^2$，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则计算：
原式$=a· a^2 + a· ab + a· b^2 - b· a^2 - b· ab - b· b^2$
$=a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$
合并同类项得：$=a^3 - b^3$
(2) 由(1)的结论可得$m^3 - n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$，根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，因此：
原式$=\frac{m^3 - n^3}{m^2 + mn + n^2} · \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2}$
对各多项式因式分解：
由完全平方公式得$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，由平方差公式得$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入上式：
原式$=\frac{(m-n)(m^2 + mn + n^2)}{m^2 + mn + n^2} · \frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约去分子分母的公因式$m^2+mn+n^2$、$m-n$、$m+n$，最终结果为$m+n$。
【答案】
(1) $a^3 - b^3$；(2) $m+n$
【知识点】
多项式乘多项式，分式乘除运算，公式法因式分解
【点评】
本题侧重考查基础运算法则和公式的应用，先通过多项式乘法推导立方差公式，再结合分式乘除规则、因式分解常用公式进行化简，难度不大，熟练掌握相关公式和运算顺序即可快速解题。
【难度系数】
0.7
