9. 如图,在△ABC中,射线AD平分∠BAC,交BC边于点D,分别过点B,C作射线AD的垂线,垂足分别是P,Q。
（1）求证:△ABP∽△ACQ。
（2）设AB=2,AC=3,△BDP的面积为a,求△CDQ的面积。(用含a的代数式表示)

(1) 因为$∠BPA=∠CQA=90°,∠BAP=∠CAQ$,所以$△ ABP∽△ ACQ$。
(2) 由(1)可得$\frac{BP}{CQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$。又因为$△ BPD∽△ CQD$,所以$\frac{S_{△ BPD}}{S_{△ CQD}}=(\frac{BP}{CQ})^2=\frac{4}{9}$,所以$S_{△ CQD}=\frac{9}{4}a$。

【分析】
（1）要证明△ABP∽△ACQ，可通过两角对应相等的相似判定定理推导：首先根据角平分线的性质可得一组对应角相等，再结合BP、CQ都垂直于AD可得两个直角相等，即可满足相似判定条件。
（2）先借助第（1）问的相似结论得到BP与CQ的边长比，再通过两角对应相等证明△BDP∽△CDQ，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合已知△BDP的面积即可求出△CDQ的面积。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵BP⊥AD，CQ⊥AD，
∴∠BPA=∠CQA=90°，
∴△ABP∽△ACQ（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
由（1）中△ABP∽△ACQ，可得对应边成比例：$\frac{BP}{CQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，
∵∠BPD=∠CQD=90°，∠BDP=∠CDQ（对顶角相等），
∴△BDP∽△CDQ（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△BDP}}{S_{△CDQ}}=(\frac{BP}{CQ})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
已知$S_{△BDP}=a$，代入得$\frac{a}{S_{△CDQ}}=\frac{4}{9}$，解得$S_{△CDQ}=\frac{9}{4}a$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$\frac{9}{4}a$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题时需先根据已知条件找到三角形相似的判定条件，再结合相似的性质求解边长或面积关系，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7