5. 如图,在三角形屋架 $ A B C $ 中, $ A D $ 是 $ \triangle A B C $ 的中线, $ A B = A C $.求证： $ \triangle A B D \cong \triangle A C D $.

证明: $\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,
$\therefore$ .
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD$().

证明: $\because AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,
$\therefore BD = CD$.
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ BD = CD, \\ AD = AD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle ACD(SSS)$.

6. 练思维 推理能力 如图,已知在长方形 $ A B C D $ 中, $ A B = 8 \mathrm { ~ c m } $, $ A D = 12 \mathrm { ~ c m } $,点 $ E $ 在边 $ A B $ 上, $ B E = 3 \mathrm { ~ c m } $,点 $ F $ 在线段 $ B C $ 上以 $ 3 \mathrm { ~ c m / s } $ 的速度由点 $ B $ 向点 $ C $ 运动,到达点 $ C $ 后马上折返,向点 $ B $ 运动；点 $ G $ 在线段 $ C D $ 上以 $ v \mathrm { ~ c m / s } $ 的速度由点 $ C $ 向点 $ D $ 运动.点 $ F $, $ G $ 同时出发,当点 $ G $ 到达终点停止运动时,点 $ F $ 也随之停止运动,设运动时间为 $ t \mathrm { ~ s } $.若以 $ E $, $ B $, $ F $ 为顶点的三角形和以 $ F $, $ C $, $ G $ 为顶点的三角形全等,则 $ t = $______$ \mathrm { ~ s } $.

2 或 6 [解析]$\because$ 四边形 $ABCD$ 为长方形, $AB = 8cm$, $AD = 12cm$, $\therefore \angle B = \angle C = 90^{\circ}$, $BC = AD = 12cm$, $CD = AB = 8cm$.
(1) 当点 $F$ 由点 $B$ 向点 $C$ 运动时, 有以下两种情况:
① 当 $\triangle BEF \cong \triangle CGF$ 时, $BE = CG$, $BF = CF$.
$\because BC = 12cm$,
$\therefore BF = CF = 6cm$,
$\therefore t = 6 ÷ 3 = 2(s)$.
② 当 $\triangle BEF \cong \triangle CFG$ 时, $BE = CF$, $BF = CG$.
$\because BC = 12cm$, $BE = 3cm$,
$\therefore BF = BC - CF = 9cm$.
又 $\because CD = 8cm$, $CG = BF = 9cm$,
$\therefore CG ＞ CD$, 即点 $G$ 在 $CD$ 的延长线上, 此种情况不存在.
(2) 当点 $F$ 折返时, 有以下两种情况:
① 当 $\triangle BEF \cong \triangle CGF$ 时,
由 (1)① 可知, $CF = 6cm$,
$\therefore$ 点 $F$ 运动的路程为 $BC + CF = 12 + 6 = 18(cm)$,
$\therefore t = 18 ÷ 3 = 6(s)$.
② 当 $\triangle BEF \cong \triangle CFG$ 时,
由 (1)② 可知, 此种情况不存在.
综上所述, 若以 $E$, $B$, $F$ 为顶点的三角形和以 $F$, $C$, $G$ 为顶点的三角形全等, 则 $t$ 为 $2s$ 或 $6s$.
【易错警示】在解决动点全等三角形问题时, 分类讨论是解答此类题的难点, 对应边不明确的情况下需考虑多种情况.

7. (江苏泰州期末)如图,锐角三角形 $ A B C $ 的两条高 $ B D $, $ C E $ 相交于点 $ O $,且 $ C E = B D $,若 $ \angle A B C = 65 ^ { \circ } $,求 $ \angle C B D $ 的度数.

解: $\because CE \perp AB$, $BD \perp AC$,
$\therefore \triangle BCE$ 和 $\triangle CBD$ 是直角三角形.
在 $Rt\triangle BCE$ 和 $Rt\triangle CBD$ 中,
$\left\{\begin{array}{l} BC = CB, \\ CE = BD, \end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BCE \cong Rt\triangle CBD$(),
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$.
$\because \angle ABC = 65^{\circ}$,
$\therefore \angle ACB = 65^{\circ}$,
$\therefore \angle CBD = 90^{\circ} - \angle ACB =$.

解: $\because CE \perp AB$, $BD \perp AC$,
$\therefore \triangle BCE$ 和 $\triangle CBD$ 是直角三角形.
在 $Rt\triangle BCE$ 和 $Rt\triangle CBD$ 中,
$\left\{\begin{array}{l} BC = CB, \\ CE = BD, \end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle BCE \cong Rt\triangle CBD(HL)$,
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$.
$\because \angle ABC = 65^{\circ}$,
$\therefore \angle ACB = 65^{\circ}$,
$\therefore \angle CBD = 90^{\circ} - \angle ACB = 25^{\circ}$.
【解题技巧】直角三角形的两个锐角互余, 互余的两个角的度数之和等于 $90^{\circ}$.

8. (江苏扬州)如图,小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了,需要重新配一块与原来大小、形状完全相同的玻璃.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为 $ \triangle A B C $,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是()

A. $ A B $, $ B C $, $ C A $
B. $ A B $, $ B C $, $ \angle B $
C. $ A B $, $ A C $, $ \angle B $
D. $ \angle A $, $ \angle B $, $ B C $

C [解析]A 选项利用“SSS”, B 选项利用“SAS”, D 选项利用“AAS”, 均可证明两个三角形全等, 所以能配出符合要求的玻璃, 故 A, B, D 选项不符合题意. C 选项 $AB$, $AC$, $\angle B$ 为“SSA”, 无法配出符合要求的玻璃, 故 C 选项符合题意.

9. (江苏泰州)如图, $ \angle A = \angle D = 90 ^ { \circ } $, $ A C = D B $, $ A C $, $ D B $ 相交于点 $ O $.求证： $ O B = O C $.

证明: 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DCB$ 中,
$\left\{\begin{array}{l} BC = CB, \\ AC = DB, \end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DCB$(),
$\therefore \angle OCB = \angle OBC$,
$\therefore OB = OC$.

证明: 在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DCB$ 中,
$\left\{\begin{array}{l} BC = CB, \\ AC = DB, \end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DCB(HL)$,
$\therefore \angle OCB = \angle OBC$,
$\therefore OB = OC$.