1. (2025·常州期末)定义:P是平面内某一点,Q是图形W上任意一点,将P,Q两点间距离的最小值称为点P与图形W的"点图距".如图,在等边△ABC中,点A的坐标为(3,0),点B,C在y轴上.记动点P(t,0)与等边△ABC的"点图距"为y,则y随t变化的图象是()

B 解析:∵点$P(t,0)$,点 B,C 在 y 轴上,∴当$t＜0$时,点$P(t,0)$与等边$\triangle ABC$的“点图距”为 PO 的长度,$\therefore y=-t;$当$t＞0$时,$\because \triangle ABC$是等边三角形,$OA⊥BC$,点 A 的坐标为$(3,0),$$\therefore ∠OAB=∠OAC=30^{\circ },OA=3,\therefore AB=2OB,AB^{2}-OB^{2}=OA^{2},$$\therefore (2OB)^{2}-OB^{2}=3^{2},\therefore OC=OB=\sqrt {3},AC=BC=AB=2\sqrt {3}$,如图所示,过点 P 作$PD⊥AB$于点 D,当$PO=PD$时,$\because ∠BAO=30^{\circ },\therefore AP=2PD=2PO,\because OA=PA+PO=3,\therefore OP=PD=1,AP=2$,此时动点$P(t,0)$与等边$\triangle ABC$的“点图距”$y=1$,当$0≤PO≤1$时,$OP≤PD,$∴动点$P(t,0)$与等边$\triangle ABC$的“点图距”为 OP 的长度，$\therefore y=t(0≤t≤1)$;当$1＜PO≤3$时,$OP＞PD$,∴动点$P(t,0)$与等边$\triangle ABC$的“点图距”为 PD 的长度，$\therefore PD=\frac {1}{2}AP=\frac {1}{2}(OA-OP)=\frac {1}{2}(3-t)=-\frac {1}{2}t+\frac {3}{2},\therefore y=-\frac {1}{2}t+\frac {3}{2}(1＜t≤3)$;当$t＞3$时,动点$P(t,0)$与等边$\triangle ABC$的“点图距”为 AP 的长度，$\therefore y=AP=OP-OA=t-3(t＞3)$.综上所述,$y=\begin{cases}-t(t＜0) \\t(0\leq t\leq1) \\-\frac{1}{2}t+\frac{3}{2}(1＜t\leq3) \\t - 3(t＞3)\end{cases}$,故选 B.

2. (2025·泰州期末)如图,在四边形ABCD中,∠ABD= ∠ACD= 90°,M是AD的中点,N是BC上的动点,连接MN.若AD= 8,BC= 6,则MN的最小值为______.

$\sqrt{7}$ 解析:过点 M 作$ME⊥BC$于点 E,连接 MB,MC,如图,∵垂线段最短,∴当点 N 与点 E 重合时,MN 最小.∵$∠ABD=∠ACD=90^{\circ }$,M 是 AD 的中点,$\therefore MB=MC=\frac {1}{2}AD=4.\because ME⊥BC,\therefore BE=CE=\frac {1}{2}BC=3,\therefore ME=\sqrt {MB^{2}-BE^{2}}=\sqrt {4^{2}-3^{2}}=\sqrt {7}$,∴ MN 的最小值为$\sqrt {7}$.

3. (2024·宿迁期末)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,-2),直线y= $-\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,且M是直线AB上的一个动点,则PM的最小值为______.

4 解析:如图所示,过点 P 作$PH⊥AB$于 H,连接 AP,在$y=-\frac {3}{4}x+3$中,当$y=-\frac {3}{4}x+3=0$时,$x=4$,当$x=0$时,$y=3,\therefore A(4,0),B(0,3),$$\therefore OA=4,PB=5,OB=3,\therefore AB=\sqrt {OB^{2}+OA^{2}}=5.\because S_{\triangle ABP}=\frac {1}{2}PB\cdot OA=\frac {1}{2}AB\cdot PH,\therefore PH=\frac {PB\cdot OA}{AB}=4$.∵ M 是直线 AB 上的一个动点,∴当$MP⊥AB$时,PM 有最小值,即点 M 与点 H 重合时 PM 有最小值,∴ PM 的最小值为 4.

4. (2023·资阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上移动,将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC,则OD的最大值为______.

$\sqrt{7}+1$ 解析:如图,过点 D 作$DF⊥AB$,交 AB 延长线于点 F,取 AB 的中点 E,连接 DE,OE,OD,∵ 等边三角形 ABC 的边长为 2,$\therefore AB=2,∠ABC=60^{\circ }$,由翻折可知$∠DBC=∠ABC=60^{\circ },BD=AB=2,$$\therefore ∠DBF=60^{\circ }.\because DF⊥AB,\therefore ∠DFB=90^{\circ },\therefore ∠BDF=30^{\circ },\therefore BF=\frac {1}{2}BD=1$,由勾股定理可得$DF=\sqrt {3}$,∵ E 是 AB 的中点,$\therefore AE=BE=OE=\frac {1}{2}AB=1,\therefore EF=BE+BF=2,\therefore DE=\sqrt {DF^{2}+EF^{2}}=\sqrt {(\sqrt {3})^{2}+2^{2}}=\sqrt {7}.\therefore OD≤DE+OE=\sqrt {7}+1$,∴当 D,E,O 三点共线时 OD 最大,最大值为$\sqrt {7}+1$.

5. 如图,在△ABC中,∠C= 60°,AC= 5,BC= 4,点D为CB延长线上一点.当点D在CB延长线上运动时,AD-$\frac{1}{2}$BD的最小值为______.

$\frac{9}{2}$ 解析:如图,作 CE 平分$∠ACB$,交 AD 于点 F,过点 D 作$DE⊥CF$交 CF 延长线于点 E,∴ 在$Rt\triangle CDE$中,$∠E=90^{\circ }.\because ∠ACB=60^{\circ },$$\therefore ∠ECD=30^{\circ },\therefore DE=\frac {1}{2}CD=\frac {1}{2}(BD+BC)=\frac {1}{2}(BD+4)=\frac {1}{2}BD+2$.过点 A 作$AG⊥EC$于点 G,$\therefore AD-DE≥AD-DF=AF≥AG,$$\therefore AD-(\frac {1}{2}BD+2)≥AG,\therefore AD-\frac {1}{2}BD≥2+AG$.在$Rt\triangle AGC$中,$∠AGC=90^{\circ },∠ACG=\frac {1}{2}∠ACB=30^{\circ },\therefore AG=\frac {1}{2}AC=\frac {5}{2},\therefore 2+AG=2+\frac {5}{2}=\frac {9}{2},\therefore AD-\frac {1}{2}BD≥\frac {9}{2},\therefore AD-\frac {1}{2}BD$的最小值为$\frac {9}{2}$.

6. (2025·宿迁期末)如图,等腰△ABC中,AB= AC= 13,BC= 10,EF垂直平分AC,分别交AC,AB于点E,F.若点D为BC上一动点,点M为EF上一动点,则CM+DM的最小值为()

A. 8
B. 10
C. 12
D. 13

C 解析:连接 AM,如图,∵ EF 垂直平分 AC,交 AC,AB 于点 E,F,$\therefore AM=CM,\therefore CM+DM=AM+MD$,可知当 A,M,D 三点共线,$AD⊥$BC 时,$CM+DM$有最小值,∵ 等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC=13,BC=10$,点 D 为 BC 的中点,∴ 由等腰三角形“三线合一”可知，$AD⊥BC,BD=\frac {1}{2}BC=5$,则$AD=\sqrt {AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt {13^{2}-5^{2}}=12$,∴ 当 A,M,D 三点共线,$AD⊥BC$时,$CM+DM$有最小值,为 12,故选 C.

7. (2025·无锡期末)如图,△ABC为等边三角形,AB= 2,点D是BC的中点,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且不与端点重合,作∠AEF和∠EFC的平分线交于点G,则DG+CG的最小值为______.

$\sqrt{3}$ 解析:如图,连接 GA,GB,AD,过点 G 作$GP⊥AB$于点 P,$GQ⊥$BC 于点 Q,$GI⊥EF$于点 I,$\because ∠AEF$和$∠EFC$的平分线交于点 G,$\therefore GP=GI,GQ=GI,\therefore PG=QG.\because GP⊥AB,GQ⊥BC,\therefore BG$平分$∠ABC$.∵$\triangle ABC$为等边三角形,$AB=2,\therefore BG$垂直平分 AC,$BC=AB=2,$$\therefore GC=GA.\because \triangle ABC$为等边三角形,点 D 是 BC 的中点,$\therefore AD⊥BC,$$BD=1$,∴ 由勾股定理得$AD=\sqrt {AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt {3},\therefore DG+CG=DG+AG≥AD=\sqrt {3}$,点 A,D,G 三点共线时,DG+CG 取得最小值为$\sqrt {3}$.

8. 如图,∠ABC= 30°,AB= 2,BC= 1,点D是射线BA上的动点,将线段CD绕点D顺时针旋转120°,得到线段ED,连接CE,AE,则CE+AE的最小值是______.

$\sqrt{5}$ 解析:如图,在射线 BC 上取点 F,连接 DF,使$∠BDF=120^{\circ }$,作直线 BE,则$∠DFC=180^{\circ }-∠BDF-∠DBF=30^{\circ },\therefore ∠DFC=∠DBF,$$\therefore BD=FD$.由旋转得$∠EDC=120^{\circ },ED=CD,\therefore ∠EDB+∠BDC=∠EDC=120^{\circ }.\because ∠BDC+∠CDF=∠BDF=120^{\circ },\therefore ∠EDB=∠CDF$.在$\triangle BDE$和$\triangle FDC$中,$\begin{cases}ED = CD \\∠EDB = ∠CDF \\BD = FD\end{cases}$,$\therefore \triangle BDE\cong \triangle FDC(SAS),$$\therefore ∠ABE=∠DFC=30^{\circ }.\because ∠ABE$为定角,点 B 为定点,∴ 点 E 在定直线上,作点 C 关于直线 BE 的对称点$C'$,连接$AC'$交 BE 于$E'$,当点 E 在点$E'$处时$CE+AE$取最小值(由对称得$C'E=CE,\therefore CE+AE=C'E'+AE$,由两点间线段最短可知,点 E 在点$E'$处时,$CE+AE$取最小值,最小值为$C'A$的长),连接$BC'$,则$BC'=BC=1,∠C'BE=∠CBE$.$\because ∠CBE=∠ABE+∠ABC=60^{\circ },\therefore ∠ABC'=∠C'BE+∠ABE=90^{\circ }$.$\therefore AC'=\sqrt {AB^{2}+C'B^{2}}=\sqrt {2^{2}+1^{2}}=\sqrt {5},\therefore CE+AE$的最小值是$\sqrt {5}$.